2.1.2向量的基本关系 同步练习 北师大版（2019）高中数学必修第二册（含解析）

2.1.2向量的基本关系同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设点是正方形的中心，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．与共线
2．设是单位向量，，，，则四边形是（ ）
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
3．设点O是正三角形ABC的中心，则向量，，是（ ）
A．相同的向量 B．模相等的向量
C．共线向量 D．共起点的向量
4．已知两个非零向量与共线，下列说法不正确的是（　　）
A．或
B．与平行
C．与方向相同或相反
D．存在实数，使得
5．下列说法错误的是（ ）
A．
B．、是单位向量，则
C．若，则
D．任一非零向量都可以平行移动
6．如图所示，在平行四边形中成立的是（ ）

A． B．
C． D．
7．给出下列四个命题：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，则. 其中的正确命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．在长方体中，与相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列结论中，错误的是（ ）
A．表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；
B．若，则，不是共线向量；
C．若，则四边形是平行四边形；
D．有向线段就是向量，向量就是有向线段.
10．（多选题）给出下列命题，不正确的有（　　）
A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
B．若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则四边形ABCD为平行四边形
C．的充要条件是且
D．已知λ，μ为实数，若，则与共线
11．给出下面四个命题，其中是真命题的是（ ）
A．
B．零向量与任意向量平行
C．是的充分不必要条件
D．向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上
12．给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．若，则或
B．若向量是向量的相反向量，则
C．向量与相等
D．若向量，，满足，，则
三、填空题
13．已知是单位向量，在四边形ABCD中，，，则四边形ABCD的形状为 ．（矩形、正方形、菱形、梯形）.
14．已知向量，将按向量平移后得向量，则 ．
15．如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A，B，C，D，E，F，O中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，与向量共线的向量共有 个.
16．如图，和是在各边的处相交的两个全等的三角形，设的边长为a，图中列出了长度均为的若干个向量，则：
（1）与相等的向量有 ；
（2）与共线，且模相等的向量有 ．
四、解答题
17．如图，O是正六边形ABCDEF的中心.

(1)图中所示的向量中与的模相等的向量有几个
(2)图中所示的向量中与共线的向量有几个
18．如图所示，四边形为正方形，为平行四边形，

(1)与模长相等的向量有多少个？
(2)写出与相等的向量有哪些？
(3)与共线的向量有哪些？
(4)请列出与相等的向量．
19．如图，四边形和四边形都是平行四边形．
(1)写出与向量相等的向量；
(2)写出与向量共线的向量．
20．已知向量，，．
(1)求的最小值及相应t的值；
(2)若与共线，求与的夹角．
21．如图所示，在平行四边形中，，分别是，的中点.
(1)写出与向量共线的向量；
(2)求证：.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．B
【分析】画出图形，结合相等向量与共线向量的定义判断即可.
【详解】如图，

因为，方向相同，长度相等，故，故A正确；
因为，方向不同，故，故B错误；
因为，，三点共线，所以，故C正确；
因为，所以与共线，故D正确.
故选：B
2．B
【分析】根据共线向量及菱形知识可得解.
【详解】因为，，
所以，即，
所以，
所以四边形是平行四边形，
因为，即，
所以四边形是菱形.
故选：B
3．B
【分析】根据正三角形的中心到三个顶点的距离相等，得到这三个向量的模长相等，即可判断得解
【详解】是正的中心，向量分别是以三角形的中心和顶点为起点和终点的向量，
到三个顶点的距离相等，但向量，，不是相同向量，也不是共线向量，也不是起点相同的向量.
故选：B
4．A
【分析】根据共线向量的概念，以及向量共线定理，逐项判断，即可得出结果.
【详解】非零向量与共线，
对于A，，，故A错误；
对于B，∵向量与共线，∴向量与平行，故B正确；
对于C，∵向量与共线，∴与方向相同或相反，故C正确；
对于D，∵与共线，∴存在实数，使得，故D正确．
故选:A．
5．C
【分析】运用向量、单位向量、相反向量的定义可判断.
【详解】对于A项，因为，所以，故A项正确；
对于B项，由单位向量的定义知，，故B项正确；
对于C项，两个向量不能比较大小，故C项错误；
对于D项，因为非零向量是自由向量，可以自由平行移动，故D项正确.
故选：C.
6．D
【分析】根据平行四边形的性质及相等向量的定义判断即可.
【详解】在平行四边形中且，且，
所以，.
故选：D
7．A
【分析】根据向量的概念及零向量，平行向量的概念进行判断.
【详解】对于①，前一个零是实数，后一个应是零向量，故①错误；
对于②，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定，故②错误；
对于③，两个向量平行，它们的方向相同或相反，模未必相等，③错误；
对于④，若，则，④正确.
故选：A.
8．C
【分析】由向量相等的定义即可判断.
【详解】由相等向量的定义：方向相同且大小相等的两个向量是相等向量，
故在长方体中，与相等的向量是、、，
故选：C
9．BCD
【详解】对于A，表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同，故A正确；
对于B，若也有可能，长度不等，但方向相同或相反，即共线，故B错误；
对于C，若，则，可以方向不同，所以四边形不一定是平行四边形，故C错误；
对于D，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，故D错误.
故选：BCD.
10．ACD
【分析】根据向量共线的定义以及命题的充分必要条件的定义一一判断求解.
【详解】A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，
但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；
B正确，因为＝，所以＝且，
又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；
C错误，当且方向相反时，即使，也不能得到，
所以且不是的充要条件，而是必要不充分条件；
D错误，当时，与可以为任意向量，满足，
但与不一定共线．
故选:ACD.
11．AB
【分析】利用相反向量的定义判断选项A；利用规定：零向量和任意向量平判断选项B；利用相等向量的定义判断选项C；利用平行四边形可判断选项D.
【详解】对A，，A正确；
对B，我们规定：零向量与任意向量平行，B正确；
对C，由只能确定长度相等，不等确定方向，
所以推不出，
又由可得，
所以是的必要不充分条件，C错误；
对D，在平行四边形中，向量与向量是共线向量，
但点A，B，C，D不在同一条直线上，D错误；
故选:AB.
12．BD
【分析】A选项，由于方向不确定，A错误；B选项，根据相反向量的定义得到B正确；C选项，，C错误；D选项，根据相等向量的概念进行判断.
【详解】对于选项A：若，即向量与的模相等，但方向不确定，故A错误；
对于选项B：相反向量是指大小相等方向相反的两个向量，故B正确；
对于选项C：向量与互为相反向量，故，故C错误；
对于选项D：若，，则，方向相同大小相等，故，若，，中有零向量结论也正确，所以D正确．
故选：BD．
13．菱形；
【分析】利用向量得到四边形对边和邻边的位置关系，判断四边形的形状.
【详解】是单位向量，在四边形ABCD中，，，
则，在四边形ABCD中，，，可知四边形ABCD是平行四边形，
又，，所以四边形ABCD是菱形.
故答案为：菱形.
14．
【分析】根据向量相等的定义判断即可得.
【详解】与方向相同长度相等则向量相等,.
故答案为: .
15．9
【分析】根据正六边形的特点，以及向量共线的定义可求答案.
【详解】由正六边形的性质可知，与向量共线的向量有，共9个.
故答案为：9.
16． 、 、、、、
【分析】根据相等向量、共线向量以及模的概念结合图形进行分析求解.
【详解】（1）由图可知，与相等的向量有、；
（2）由图可知，与共线，且模相等的向量有、、、、，
故答案为：、；、、、、.
17．(1)11
(2)4
【分析】（1）根据平面向量的概念即可得出结论；
（2）由共线向量的概念即可得出结论.
【详解】（1）因为ABCDEF为正六边形，所以中心O到各顶点的距离相等，且均等于正六边形的边长.
因此题图中所示的向量中与 的模相等的向量有，，， ，，，，，，，，共11个.
（2）由题知，图中所示的向量中与 共线的向量有，、、，共4个.
18．(1)有9个
(2)，
(3)，，，，，，
(4)
【分析】（1）（2）（3）（4）根据平面几何的性质及相等向量、共线向量的定义判断即可.
【详解】（1）因为四边形为正方形，为平行四边形，
所以，
所以与模长相等的向量有、、、、、、、、共个.
（2）与相等的向量有、.
（3）与共线的向量有，，，，，，.
（4）因为为平行四边形，所以且，
所以与相等的向量为.
19．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据向量相等的概念直接求解；
（2）根据共线向量的概念直接求解即可.
【详解】（1）∵四边形和四边形都是平行四边形，
∴，，
∴.
故与向量相等的向量是，.
（2）由共线向量的条件知，与共线的向量有，，，，，，.
20．(1)最小值为，此时
(2)
【分析】（1）求出向量的坐标，再由向量的模长公式求出，根据二次函数求最值，即可得出答案.
（2）由与共线可求出，再由向量的夹角公式即可得出答案.
【详解】（1）因为，，
所以，
所以，
当且仅当取“＝”，
即的最小值为，此时．
（2）因为，，
所以由与共线得，
解得，此时，
设，的夹角为θ，
则，又,
故与的夹角为．
21．(1)，，；
(2)证明见解析.
【分析】根据条件，可得四边形为平行四边形，即可写出与向量共线的向量；
根据题意可得出四边形是平行四边形，从而得出，，进而得出结论.
【详解】（1）解：因为在平行四边形中，，分别是，的中点，，，
所以四边形为平行四边形，所以.
所以与向量共线的向量为：，，.
（2）证明：在平行四边形中，，.
因为，分别是，的中点，
所以且，
所以四边形是平行四边形，
所以，，
故.
答案第1页，共2页
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