2.3从速度的倍数到向量的数乘 同步练习 2023——2024学年北师大版（2019）高中数学必修第二册（含解析）

2.3从速度的倍数到向量的数乘同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知在所在平面内，满足，，且，则点依次是的（ ）
A．重心，外心，垂心 B．重心，外心，内心
C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，内心
2．已知点是的重心，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知和是两个不共线的向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，点是的中点，设，则（ ）
A． B．
C． D．
5．给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若与共线，与共线，则与也共线；③若与共线，则A，B，C三点在同一条直线上；④与是非零向量，若与同向，则与反向；⑤已知为实数，若，则与共线.其中真命题的序号（ ）
A．③④ B．②③
C．②④ D．④⑤
6．在中，若，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知与为非零向量，，若三点共线，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．已知平面向量，，则“”是“存在，使得”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
9．如图，是所在的平面内一点，且满足，，是的三等分点，则下列不正确的（ ）
A． B．
C． D．
10．在中，点是边的中点，是边的三分之一分点，（靠近点的）， 与交于点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知，若点满足，则下列说法正确的是（ ）
A．点一定在内部 B．
C． D．
12．如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．在平行四边形ABCD中，点G在AC上，且满足，若，则 .
14．已知向量，，满足，且，，则当时，的最小值为 ．
15．已知向量，不共线，如果，，，则共线的三个点是 .
16．若点是所在平面内一点，且满足则与的面积之比为 ；若为的中点，与交于点，设，则 .
四、解答题
17．设是不共线的两个非零向量．
(1)若，求证：三点共线；
(2)若与共线，求实数k的值．
18．如图，中，AB边的中点为P，重心为G．在外任取一点O，作向量，，，，．

(1)试用，表示．
(2)试用，，表示．
19．经过的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设，.
(1)证明：为定值；
(2)求m＋n的最小值.
20．已知不共线．
(1)若，求证：三点共线；
(2)若向量与共线，求实数的值．
21．如图所示，在中，点D是边BC的中点，点E是线段AD靠近A的三等分点.过点E的直线与边AB，AC分别交于点P，Q.设，，其中，.
(1)试用与表示，；
(2)求证：为定值，并求此定值.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．C
【分析】根据各点所满足的表达式，利用平面向量运算律并结合几何关系的向量表示可分别求得点依次是的外心，重心，垂心.
【详解】因为，所以点O到三个顶点的距离相等，
所以O为的外心；
如下图所示：
记BC的中点为D，因为，
所以，所以P，A，D三点共线，
故点P在中线AD上，
同理点P也在的另外两条中线上，即点P为中线的交点，即为重心；
作，因为，
所以，
所以，所以点N在BE上，
同理点N在的另外两条高上，即为高的交点，所以N为的垂心.
故选：C
2．D
【分析】利用三角形重心的性质，结合平面向量的线性运算，即可求得答案.
【详解】设的中点为D，连接，点是的重心，则P在上，
且
，
由此可知A，B，C错误，D正确，
故选：D
3．B
【分析】根据三点共线可得，列出方程组即可得解.
【详解】因为，
且，，三点共线，
所以存在实数，使得，即，
则，解得.
故选：B
4．D
【分析】根据平面向量线性运算的几何意义，结合平面向量基本定理进行求解即可.
【详解】因为即，点为的中点，
所以，
所以.
故选：A.
5．A
【分析】根据向量的概念，举例即可得出答案.
【详解】
对于①，如图，中，，但是它们的起点、终点均不相同.故①错误；
对于②，若，则与任意向量均满足条件，故②错误；
对于③，因为与共线，且有公共点A，所以，A，B，C三点在同一条直线上，故③正确；
对于④，由已知可得，使得，所以，，所以与反向，故④正确；
对于⑤，若，则不论与如何，均有，故不能说明与共线，故⑤错误.
综上所述，③④正确.
故选：A.
6．D
【分析】设分别为的中点，结合三角形相似推出，由题意可得，确定四边形面积的最大值，即可得答案.
【详解】设分别为的中点，连接，
则，则∽，故,
则，故
又，则，
故，
当时，四边形面积最大，最大值为，
故的面积的最大值为，
故选：D
7．D
【分析】根据三点共线可得向量共线，由此结合向量的相等列式求解，即得答案.
【详解】由题意知，三点共线，故,
且共线，
故不妨设，则，
所以，解得，
故选：D
8．A
【分析】利用向量共线的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】当，时，满足，但不存在，使得；
当时，可得；
所以“”是“存在，使得”的必要不充分条件.
故选：A
9．ABD
【分析】根据向量的概念，可推断四边形为平行四边形，进而根据向量的平行四边形法则和三角形法则可判断.
【详解】由于是所在的平面内一点，且满足，，是的三等分点，
故，则四边形为平行四边形，所以，故A错误；
因四边形为平行四边形，故是的中点，，故B错误；
，故C正确；
，故D错误；
故选：ABD
10．ABD
【分析】根据题意，结合平面向量的线性运算法则，以及三角形的面积公式，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，点是边的中点，是边的三分之一分点，
可得，所以A正确；
设为的中点，连接，则，
在中，因为分别为的中点，可得且，
在中，由分别为的中点，且，可得，
所以，所以，
所以，所以B正确；
由，可得且，
则，且，
所以，所以C不正确；
由，，
且，
所以，所以D正确.
故选：ABD.
11．ABC
【分析】设、分别是、的中点，依题意可得，从而得到点是中位线上靠近点的三等分点，即可判断A，再根据面积关系判断C、D，又平面向量线性运算法则判断B.
【详解】由，所以，
设、分别是、的中点，所以，
于是点是中位线上靠近点的三等分点，则点一定在内部，故A正确；
又，所以，则，故B正确；
由A可知，，且，
所以，，即，故C正确；
所以，故D错误；
故选：ABC
12．AC
【分析】根据向量的线性运算分别判断各选项.
【详解】A选项：，A选项正确；
B选项：，B选项错误；
C选项：，C选项正确；
D选项：，D选项错误；
故选：AC.
13．1
【分析】利用向量线性运算求得，与题干对照即可求解.
【详解】，则，，
所以.
故答案为：1
14．/0.75
【分析】利用向量加减法的平行四边形法则作图，由题意转化为求的最小值即可得解.
【详解】设，则，如图，
，，，
即，
，，，
即，
，
设，
则，
由在直线上，可知当时，最小，
此时，
故的最小值为.
故答案为：
15．，，
【分析】利用共线向量的充要条件化简求解即可.
【详解】因为，
所以，共线，且有公共点，所以，，三点共线.
故答案为：，，
16． /
【分析】由，可得三点共线，可得，从而可求出与的面积之比；由，可得，再利用共线定理可得答案.
【详解】因为，所以，
所以，所以与共线，
因为与有公共端点，
所以三点共线，
所以，
所以，即与的面积之比为，
因为为的中点，与交于点，
所以，
因为，所以，
因为三点共线和三点共线，
所以，解得，
所以，
故答案为：，
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可.
（2）由共线性质求出参数即可.
【详解】（1）由，
得,
,
所以，且有公共点B，
所以三点共线.
（2）由与共线，
则存在实数，使得，
即，又是不共线的两个非零向量，
因此，解得，或，
实数k的值是
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据平面向量线性运算的性质进行求解即可；
（2）根据平面向量线性运算的性质，结合三角形重心的性质进行求解即可.
【详解】（1）
．
（2）
．

19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用三角形重心的性质，结合平面向量共线定理进行求解即可；
（2）运用基本不等式进行求解即可.
【详解】（1）设，
因为的重心是G点，
所以，
，
，
因为G， P，Q三点共线，
所以存在，使得，即，
所以有；
（2）因为，
所以，
当且仅当时取等号，即当时取等号，
所以m＋n的最小值为.
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明，可得三点共线；
（2）利用向量共线的条件，设，列方程组求实数的值．
【详解】（1）证明：，，
则有，可得且为公共点，
所以三点共线.
（2）向量与共线，则存在唯一实数，使得，
可得，即，解得 .
21．(1)，.
(2)证明见解析；定值为.
【分析】（1）根据向量的平行四边形法则和三角形法则，即可求解；
（2）由题意求得，结合三点共线，得到，即可求解.
【详解】（1）解：因为点为的中点，
由向量的平行四边形法则，可得，
在中，由向量的三角形法则，可得.
（2）证明：在中，点为的中点，且点为靠近的三等分点，
且
所以,
因为三点共线，所以，解得，
即为定值.
答案第1页，共2页
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