数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列前n项和公式 课件（共32张ppt）

(共32张PPT)
4.3.2　第1课时　等比数列前n项和公式
第四章 数列
故事引入
国际象棋起源于古印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.
已知一千颗麦粒的质量约为40g，据查，2016——2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.
新知探索
等比数列的前n项和
问题1 国王一共应该给他多少颗麦粒？
思考　对于S64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，
用2乘以等式的两边可得2S64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，
对这两个式子作怎样的运算能解出S64
新知探索
等比数列的前n项和
问题2 我们如何推导出等比数列的前n项和公式？
合作探究——等比数列的前n项和公式
认真看视频，回答以下几个问题：
1.视频中用了什么方法推导等比数列的前n项和呢？它有哪些关键的步骤呢？
2.等比数列的前n项和公式是什么？有什么要注意的地方？
3.你能否解决本节开头的问题吗？
合作交流研讨——等比数列的前n项和公式
新知探索
等比数列的前n项和
归纳重点
用公比q乘①的两边，可得
①-② 得
即
设等比数列的首项为，公比为q，如何求等比数列的前n项和呢？
由及等比数列的通项公式得
①
②
等比数列前n项和公式推导——“错位相减法”
当1 时，即 时，=；
当1 时，即 时， =.
步
骤
乘公比，
错位写，
正位减.
温馨提示：使用公式求和时，若公比q不确定 需对
q=1 和 q≠1 的情况加以讨论。
新知讲解
借助等比数列前n项和公式，解决本课开头提出的问题.
由 ，q=2，n=64，可得
如果一千颗麦粒的质量约为40g，那么以上这些麦粒的总质量超过了7 000亿吨，约是2016—2017年度世界小麦产量的981倍. 因此，国王根本不可能实现他的诺言.
超过了
新知探索
等比数列的前n项和
梳理　等比数列的前n项和公式
已知量 首项a1，项数n与公比q 首项a1，末项an与公比q
公式 Sn＝_______________
Sn＝_______________
新知探索
等比数列的前n项和
梳理　一般地，使用等比数列求和公式时需注意
(1) 一定不要忽略q＝1的情况；
(3) 在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn.
知道其中任意三个，可求其余两个.
典例精析
题型一：等比数列的前n项和的计算
典例精析
题型一：等比数列的前n项和的计算
方法小结
计算等比数列基本量的方法技巧
（1）等比数列的基本量有 ， ， ， ， ，知道其中任何三个量，都可以求其余的两个量，即“知三求二”.
（2）计算等比数列的基本量的关键是掌握等比数列的通项公式与前 项和公式，通常将已知条件转化为首项和公比的方程（组）求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的，这里运用了方程的思想.
1.牢记公式
2.紧扣基本量
3.计算准确
教材例题讲解
例7.已知数列是等比数列.
(1)若求
(2)若求；
(3)若求.
课本35页
思考：等比数列的基本量有 ， ， ， ， ，知道其中几个量，就可以确定其余的几个量？
知三求二
解(1)：∵，，所以
典例精析
题型二：等比数列与等差数列
变式训练
解（1） ， ， 成等差数列， .当时，上式不成立，舍去.
当 时，有 ，又 ，
得 ，又 ，即 ，
解得 或 （舍去）.∴数列 的公比 .
2. 在等比数列中：（1）若 ， ， 成等差数列，求公比 ；（2）若 ，求和公比q.
典例精析
题型二：等比数列与等差数列结合
典例精析
例3　已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝t，点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上．
(1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列？
(2)在(1)的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn.
解　(1)因为点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上，所以an＋1＝3Sn＋1，
当n≥2时，an＝3Sn－1＋1.
于是an＋1－an＝3(Sn－Sn－1) an＋1－an＝3an an＋1＝4an.
又当n＝1时，a2＝3S1＋1 a2＝3a1＋1＝3t＋1，
所以当t＝1时，a2＝4a1，此时，数列{an}是等比数列．
题型三：分组求和
典例精析
题型三：分组求和
例3　已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝t，点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上．
(1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列？
(2)在(1)的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn.
解　 (2)由(1)，可得an＝4n－1，an＋1＝4n，
所以bn＝log4an＋1＝n，cn＝4n－1＋n，
那么Tn＝c1＋c2＋…＋cn
＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n)
＝(40＋41＋…＋4n－1)＋(1＋2＋…＋n)
＝＋.
课堂练习
已知等差数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)若()，求数列的前项和.
解(1)：设数列的公差为，则由
得解得
∴的通项公式为.
课堂练习
已知等差数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)若()，求数列的前项和.
解(2)：由得.
当且时，
当时，则
∴数列的前项和则
典例精析
题型三：分组求和
反思与感悟　分组求和的适用题型
一般情况下形如cn＝an±bn，其中数列与一个是等差数列，另一个是等比数列，求数列的前n项和，分别利用等差数列和等比数列前n项和公式求和即可．
跟踪练习
√
跟踪练习
2.等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于( )
√
解析　当x＝1时，Sn＝n；
跟踪练习
√
跟踪练习
4.设数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则 ________.
1 033
解析　∵数列是以2为首项，1为公差的等差数列，
∴an＝2＋×1＝n＋1，
∵ 是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴bn＝1×2n－1＝2n－1，
∴ 2n－1＋1，∴ ＋10＝1 033.
实际应用
例12 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3， .
(1)写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系;
(2) 将(1)中的递推公式表示成cn+1－k = r(cn－k)的形式，其中k，r为常数;
(3) 求S10= c1＋c2＋c3＋ ＋c10的值(精确到1).
探究新知
探究：等比数列的前n项和公式的实际应用
实际问题
实际结果
数学问题
数学结果
抽象
转化
回 答
反馈
数学 方法
拓展作业
例3 已知等比数列的公比 ，前n项和为，证明，，成等比数列，并求这个数列的公比.
课堂小结
谢
谢
垂
听