2.5从力的做功到向量的数量积 同步练习 2023——2024学年北师大版（2019）高中数学必修第二册（含解析）

2.5从力的做功到向量的数量积同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．平面向量，则（ ）
A．3 B．5 C．7 D．11
2．已知向量，向量，向量，若与共线，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．若单位向量，的夹角为，则与的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．若O是所在平面内的一点，且满足，则的形状为（　　）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形
5．如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（ ）

A．10 B．13 C．18 D．26
6．已知非零向量，满足，设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充要条件
B．甲是乙的充分条件但不是必要条件
C．甲是乙的必要条件但不是充分条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
7．已知向量与是非零向量，且满足在上的投影向量为，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
8．已知为不共线的平面向量，，若，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．如图是一个正六边形，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．在上的投影向量为
10．已知，则（ ）
A．若，则存在唯一的实数p，q，使得
B．若，则
C．若，则
D．若，则在上的投影向量为
11．已知向量，，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．的最大值为6 D．若，则
12．下列说法正确的是（ ）
A．向量在向量上的投影向量可表示为
B．若，则与的夹角的范围是
C．若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则，的夹角为
D．若，则
三、填空题
13．已知向量，，若与所成的角为锐角，则实数的取值范围为 .
14．已知非零向量满足，.若为在上的投影向量，则向量夹角的余弦值为
15．在中，令，，若，，，，则的边上的中线长为 ．
16．在中，，为边的中点，为的中点．相交于点.则中线的长为 .的余弦值为 ．
四、解答题
17．已知向量是同一平面内的三个向量，其中．
(1)若，且，求向量的坐标；
(2)若是单位向量，且，求与的夹角.
18．如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点.
(1)求的余弦值.
(2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由.
19．个有次序的实数所组成的有序数组称为一个维向量，其中称为该向量的第个分量.特别地，对一个维向量，若，，称为维信号向量.设，，则和的内积定义为，且.
(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量；
(2)证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量；
(3)已知个两两垂直的2024维信号向量满足它们的前个分量都是相同的，求证：.
20．已知在中，N是边AB的中点，且，设AM与CN交于点P．记．

(1)用表示向量；
(2)若，且，求的余弦值．
21．如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标.
(1)设，，求的值；
(2)若，求的大小.
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参考答案：
1．B
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示及模的坐标表示即可求解.
【详解】因为，所以，
所以.
故选：B
2．C
【分析】根据向量共线以及垂直的坐标表示，列出关于的方程组，求解即可.
【详解】因为与共线，所以，解得.
又，所以，解得，所以，所以.
故选：C.
3．D
【分析】求出与的数量积以及模长，根据向量的夹角公式，即可求得答案.
【详解】由题意知单位向量，的夹角为，则，
故，
，
，
故，
故选：D
4．D
【分析】根据平面向量的线性运算可以得出，进而得到，由此可判断出的形状.
【详解】∵，，
∴，两边平方，化简得∴.
∴为直角三角形.
因为不一定等于，所以不一定为等腰直角三角形.
故选：D.
5．B
【分析】根据三角形外接圆的性质，结合数量积的几何意义求解可得可得与，再根据平面向量的运算可得出结论．
【详解】是边的中点，可得，
是的外接圆的圆心，
，
同理可得，
．
故选：B．
6．A
【分析】将平方转化为数量积，根据可得乙等价于，即甲、乙互为充要条件.
【详解】乙:等价于，
即，
因为，所以，所以乙等价于，即，
所以甲、乙互为充要条件.
故选：A
7．A
【分析】根据投影向量、向量数量积等知识求得正确答案.
【详解】设与的夹角为，
在上的投影向量为
所以，
所以，
所以为钝角，且.
故选：A
8．D
【分析】根据向量的加法法则，结合投影向量的求解即可求解.
【详解】由可得，
又，如图所示，由平行四边形法则可得四边形为菱形，
故互相垂直平分，所以在方向上的投影向量为，
故选：D．
9．ABD
【分析】利用平面向量的加法减法法则和数乘运算即可判断A，B正确，C错误；利用投影向量的定义即可判断D正确.
【详解】
对A， ，故A正确；
对B，由图易得，直线平分角，且为正三角形，根据平行四边形法则有，与共线且同方向．易知，均为含角的直角三角形，故，则，而，故，故，故B正确；
对C，因为， ，故C错误；
对D，，则在上的投影向量为，故D正确．
故选：ABD．
10．ACD
【分析】首先根据选项，分别代入，再根据向量坐标公式，即可判断选项.
【详解】A：当时，不共线，所以可以作为一组基向量，
由平面向量基本定理得，存在唯一的实数p，q使得，所以A正确；
B：若，则，
所以不成立，所以B错误；
C：若，则，
所以，所以C正确；
D：若，则，
所以在上的投影向量为，所以D正确．
故选：ACD
11．ACD
【分析】根据，有，可判断A选项；根据，得，可判断B选项；根据向量减法三角形法则有，分别求出，，有，反向时取得最大值，根据向量的几何意义判断C选项；根据，得，又，可计算，从而判断D选项.
【详解】若，则，解得，A正确；
若，则，解得， 所以，B错误；
因为，，而，
当且仅当，反向时等号成立，在平面直角坐标系中，设向量，的起点为
坐标原点，向量的终点在以坐标原点为圆心，半径为的圆上，向量
终点在第二象限，当，反向，则向量的终点应在第四象限，
此时，，所以C正确；
若，则，
即，所以，
，
所以，D正确.
故选：ACD
12．AB
【分析】根据向量数量积的定义，投影向量的定义，以及向量夹角的定义，即可判断选项.
【详解】A.根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量可表示为，故A正确；
B.根据，可知，，所以与的夹角的范围是，故B正确；
C.由向量夹角的定义可知，，的夹角为，故C错误；
D. 若，则或或，其中零向量与其它向量不一定垂直，故D错误.
故选：AB
13．
【分析】根据数量积为正可求参数的取值范围，注意与不共线同向.
【详解】因为与所成的角为锐角，故且不共线同向.
故即.
若共线，则即，
故实数的取值范围为.
故答案为：.
14．
【分析】根据题意，由平面向量的数量积运算和向量的投影向量的计算公式，结合其夹角公式代入计算，即可得到结果.
【详解】由，为在上的投影向量，
设向量的夹角为，，
所以，故，
故答案是：.
15．
【分析】根据题意可得，易知，再由模长及数量积可得结果.
【详解】设的中点为，如下图所示：

则，
由，可得；
所以，
可得中线长.
故答案为：
16．
【分析】如图，建立平面直角坐标系，利用平面向量模和夹角的坐标表示，即可求解.
【详解】以A为坐标原点，所在方向为x轴，过A做垂线为y轴，
与x轴夹角为.如图：
则，
得，所以.
又，所以.
故答案为：； ．
17．(1)或
(2)
【分析】（1）设，由，且，列出方程组，求得的值，即可求解；
（2）由，求得，利用向量的夹角公式，求得，即可求解.
【详解】（1）解：设，因为，且，
可得，解得或，
所以或.
（2）解：因为，且为单位向量，可得，，
又因为，可得，所以，
则，
因为，所以.
18．(1)
(2)存在或者
【分析】（1）建立平面直角坐标系，运用向量法求解夹角即可.
（2）分类讨论点的位置，依据条件求解即可.
【详解】（1）
如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系.
则.
由于就是的夹角.
∴.
∴的余弦值为.
（2）设.
.
∴.由题得.
①当点在上时，设，
；
②当点在上时，设，
∴舍去；
③当点在上时，设，
∴舍去；
④当点在上时，设，
∴.
综上，存在或者.
19．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意，结合两两垂直的定义，即可求解；
（2）根据题意，不妨设，得到有7个分量为，设的前7个分量中有个，得到7个分量中有个，进而求得的值，即可求解；
（3）任取，得到，设的第个分量之和为，结合，列出不等式，即可求解.
【详解】（1）根据题意，结合维向量的定义，
则两两垂直的4维信号向量可以为：.
（2）假设存在14个两两垂直的14维信号向量，
因为将这14个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的内积不变，
所以不妨设，
因为，所以有7个分量为，
设的前7个分量中有个，则后7个分量中有个，
所以，可得，矛盾，
所以不存在14个两两垂直的14维信号向量.
（3）任取，计算内积，将所有这些内积求和得到，
则，设的第个分量之和为，
则从每个分量的角度考虑，每个分量为的贡献为，
所以，
令所以，所以.
【点睛】关键点睛：本题以新定义为背景考查向量的运算，解题的关键是根据所给线性相关的定义进行运算判断.
20．(1)，．
(2)．
【分析】（1）由平面向量加减运算求解；
（2）利用运算求解.
【详解】（1），
，
．
（2）N，P，C三点共线，∴由得，
，即，
,即的余弦值为．
21．(1)6
(2)
【分析】（1）根据平面向量数量积的定义进行求解即可；
（2）根据平面向量数量积的运算性质进行求解即可.
【详解】（1）∵，，∴；
（2）∵，
∴.
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