2.6平面向量的应用 同步练习 2023——2024学年北师大版（2019）高中数学必修第二册（含解析）

2.6平面向量的应用同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在等腰中，角A，B，C所对应的边为a，b，c，，，P是外接圆上一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．如图， A 、 B 、 C 三点在半径为1 的圆 O 上运动，且， M 是圆 O 外一点，，则的最大值是（ ）
A．5 B．8 C．10 D．12
3．在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则（ ）
A． B． C． D．
4．在中，角的对边分别为，且，则等于（ ）
A． B．
C． D．
5．在中，若，则等于（ ）
A．1 B．2 C． D．
6．如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为.已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度取）最接近（ ）

A． B． C． D．
7．湖南省衡阳市的来雁塔，始建于明万历十九年（1591年），因鸿雁南北迁徙时常在境内停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为测量来雁塔的高度，因地理条件的限制，分别选择C点和一建筑物DE的楼顶E为测量观测点，已知点A为塔底，在水平地面上，来雁塔AB和建筑物DE均垂直于地面（如图所示）.测得，在C点处测得E点的仰角为30°，在E点处测得B点的仰角为60°，则来雁塔AB的高度约为（ ）（，精确到）
A． B． C． D．
8．费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.已知在中，，为的费马点，若，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知角A，B，C是三角形ABC的三个内角，下列结论一定成立的有（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
10．中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，，下列选项正确的是（ ）
A．
B．若，则只有一解
C．若为锐角三角形，则b取值范围是
D．若D为边上的中点，则的最大值为
11．若的三个内角的正弦值为，则（ ）
A．一定能构成三角形的三条边
B．一定能构成三角形的三条边
C．一定能构成三角形的三条边
D．一定能构成三角形的三条边
12．在中，，这个三角形的周长可能等于（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．在中，为上一点，为的角平分线，则 .
14．已知为的内角所对的边，其中的面积为，且，则线段的长为 ．
15．在中，角A，B，C所对应的边为a，b，c.若的面积，其外接圆半径，且，则 .
16．某人从点向正东方向走30 m到达点，再向正北方向走 m到达点，则此人的位移的大小是 m，方向是北偏东 ．
四、解答题
17．的内角的对边分别为已知，为的角平分线．
(1)求的值；
(2)若，求的长．
18．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量，，且.
(1)求角C；
(2)若，的面积为，求的周长.
19．如图，已知点是边长为1的正三角形的中心，线段经过点，并绕点转动，分别交边于点，设，其中．
(1)求的值；
(2)求面积的最小值，并指出相应的的值．
20．在中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知，．
(1)若的面积等于，求的周长；
(2)若，求．
21．已知函数．
(1)当时，求函数在上的值域；
(2)在中，内角的对边分别为为的平分线，若的最小正周期是，求的面积．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．C
【分析】根据正弦定理求出外接圆半径，建立平面直角坐标系，求出三角形顶点坐标，设，根据向量的坐标运算，求出的表达式，结合三角函数性质，即可求得答案.
【详解】由题意等腰中，，，
故，设外接圆半径为R，则；
以的外接圆圆心为原点，以的垂直平分线为y轴，
过点O作的平行线为x轴，建立平面直角坐标系，

则，设，，
则，，
则，
，
故，
因为，故，
即的取值范围是，
故选：C
2．C
【分析】根据圆的几何性质、向量运算以及向量绝对值三角不等式，求得答案.
【详解】连接，如下图所示：
因为 ，则为圆 O 的一条直径，故 O 为的中点，
所以 ，
所以
.
当且仅当 M 、O 、C 共线且 、 同向时，等号成立，
因此， 的最大值为
故选：C.
3．D
【分析】根据已知条件，结合余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：的面积，
，
，
则，
，
，
，
，，，
，
．
故选：D．
4．D
【分析】先由，求出三个角，进而可得各角正弦值，再由正弦定理，即可得出结果.
【详解】在中，,所以，
由正弦定理可得：，
故选:D.
5．B
【分析】利用正弦定理求解即可.
【详解】∵，∴，
∵，∴.
故选：B.
6．A
【分析】设每根绳子上的拉力大小为T，根据平衡条件列式求解即可．
【详解】设每根绳子上的拉力大小为T，则根据平衡条件可得，,
解得．
所以降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小约为1.41N．
故选：A.
7．B
【分析】现从四棱锥中提取两个直角三角形和的边角关系，进而分别解出两个三角形边的长，求出来雁塔AB的高度即可.
【详解】过点作，交于点，
在直角三角形中，因为，
所以，
在直角三角形中，因为，
所以，
则.
故选：B.
8．D
【分析】根据题意作出图形，设，利用正弦定理将表示为关于的式子，然后利用三角恒等变形与三角函数的值域求的取值范围即可.
【详解】设，
则，，
由得，
解得，满足，，

在中，，
可得，
同理可得，
所以
，
因为
，
所以当，即时，最大值为，
结合，可得的最小值为，
所以当时，由最小值，
即的取值范围是.
故选：D.
【点睛】方法点睛：对于三角中有关边的最值问题，我们通常利用正弦定理将边转化为角，然后利用三角公式变形求最值.
9．ACD
【分析】根据三角形内角和定理、诱导公式、正弦定理等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，，选项A正确；
B选项，，选项B错误；
在中，由正弦定理得，故C和D正确.
故选：ACD
10．CD
【分析】利用平面向量数量积公式及三角形面积公式可判定A，利用正弦定理可判定B，利用角的范围结合正弦定理可判定C，利用平面向量中线的性质及数量积公式结合余弦定理、基本不等式可判定D.
【详解】根据平面向量数量积公式及三角形面积公式由，
因为，所以，故A错误；
由上可知：，故有两解，故B错误；
若为锐角三角形，
则，且，即，
由正弦定理可知：，故C正确；
若D为边上的中点，则，
由余弦定理知，
根据基本不等式有，当且仅当时取得等号，
所以，
即，故D正确.
故选：CD.
11．AD
【分析】根据正弦定理边角化，结合三角形三边满足的关系即可根据选项逐一求解.
【详解】对于A，由正弦定理得，
所以，，作为三条线段的长一定能构成三角形，A正确，
对于B，由正弦定理得，
例如，则，
由于，，故不能构成三角形的三条边长，故B错误，
对于C, 由正弦定理得，
例如：、、，则、、，
则，，，作为三条线段的长不能构成三角形，C不正确；
对于D，由正弦定理可得，不妨设，则，故，且，
所以，故D正确，
故选：AD
12．AB
【分析】由余弦定理先求出，注意检验是否满足三角形三边关系，由此即可得解.
【详解】由题意，由余弦定理有，即，
化简得，解得或，
经检验或均满足三角形三边关系，
所以这个三角形的周长可能为或.
故选：AB.
13．
【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式列式计算即得.
【详解】由得，，
解得.
故答案为：
14．/
【分析】由三角形面积公式列方程得，分解向量得，结合数量积的计算利用转换法求模即可.
【详解】由，解得，

因为，所以，
所以，
所以
，
所以．
故答案为：.
15．或
【分析】根据三角形面积可推出的值，利用同角的三角函数关系以及正弦定理边化角化简，可得，即可求得答案.
【详解】由题可知的面积，即，则；
由外接圆半径，得，
故，
结合，
得，
即，由于，
故，又，
故或，
故答案为：或
16． 60
【分析】通过向量的加法运算，然后计算模长可得.
【详解】如图所示，
此人的位移是，且，
所以(m)，
又，0°180°，所以，
所以的方向为北偏东．
17．(1)
(2)
【分析】（1）用正弦定理得到边长之间的关系，再将面积比转化为边长比求解即可.
（2）利用余弦定理求出边长关系，解方程即可.
【详解】（1）因为，所以，
因为，所以，得，由正弦定理得．
因为AD为∠BAC的角平分线，所以．
所以．
（2）设△ABC的BC边上的高为h，由（Ⅰ）知，，
所以，
在△ABD中，由余弦定理，得，
在△ACD中，由余弦定理，得，
所以，
即，
解得．
18．(1)；
(2).
【分析】（1）利用向量平行的坐标公式，结合正余弦定理，结合的范围，即可求得结果；
（2）由三角形面积公式求得，且，进而求得，由余弦定理求得，再求周长即可.
【详解】（1）由向量平行的坐标公式，得，
由正弦定理，得，即，
由余弦定理，得，又，故.
（2）由三角形面积公式，得，故，
所以为等腰三角形，所以.
将代入（1）中所求，则，
解得（舍去）或，
所以的周长为.
19．(1)
(2)时，取得最小值．
【分析】（1）由正三角形的中心的性质，有，又三点共线，所以；
（2）面积表示为的函数，通过换元和基本不等式，求最小值.
【详解】（1）延长交与，由是正三角形的中心，得为的中点，
则，
由，，得，
又三点共线，所以，即．
（2）是边长为1的正三角形，则，
．
由，则，
，，解得，
．
设，则，
则，当且仅当，即时取等号，
所以当，即时，取得最小值．
【点睛】方法点睛：
应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．求算式的限值范围，根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
20．(1)6；
(2).
【分析】（1）根据余弦定理和三角形面积公式求得，结合已知条件即可求得三角形周长；
（2）根据已知条件求得，结合余弦定理求得，再根据正弦定理求得，进而解得，再求即可.
【详解】（1）由余弦定理得，，整理得：，
又因为的面积等于，所以，得；
联立方程组，即，
解得（舍去）或，
所以的周长为．
（2）因为，由正弦定理得：，
联立方程组，则，
解得（舍去）或，则，
所以，
又因为，所以，即，所以， 故，
.
21．(1)；
(2).
【分析】（1）根据三角恒等变换将化为一般式，再利用整体法，结合正弦函数单调性，即可求得值域；
（2）根据题意，求得，利用等面积法和余弦定理，求得，再求三角形面积即可.
【详解】（1）
,
当时，，又，故，
又在上单调递增，在单调递减，且，
故函数在上的值域为.
（2）由（1）知，，由其最小正周期为，
可得，又，解得，则；
由，即，又，可得，则，即；
为的平分线，故可得，
则，即，；
在三角形中由余弦定理可得，即，
将代入上式可得：，即，
解得，或（舍去）；
故的面积为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页