4.1同角三角函数的基本关系 同步练习 2023——2024学年北师大版（2019）高中数学必修第二册（含解析）

4.1同角三角函数的基本关系同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知向量，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则“”是“”的（ ）条件.
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
3．若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．已知 ，且为第二象限角.则（　　）
A． B． C． D．
5．已知角的正弦线的方向与轴正方向相同，余弦线的方向与轴正方向相反，且它们的长度相等，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，若的终边与圆心在原点的单位圆交于点，且为第二象限角，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，是等腰直角斜边的三等分点，则等于（ ）

A． B． C． D．
二、多选题
9．已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．的最小正周期为
B．在上单调递增
C．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
D．函数的最小值为
11．已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知下列等式的左右两边都有意义，则下列等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．已知角的终边经过点，则 ．
14．已知点是角终边上一点，将角的终边逆时针旋转得到角，且，则 ．
15．如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形中较小的内角为，大正方形的面积为1，小正方形的面积是，则 ．
16．在平面直角坐标系xOy中，以x轴非负半轴为始边作角，，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知点A，B的横坐标分别为，，则 ，的值为 .
四、解答题
17．已知．
(1)化简，
(2)若，求的值．
18．在平面直角坐标系：中，角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点.
(1)若，求的值；
(2)若，求点的坐标.
19．已知函数
(1)若，求的值域；
(2)若，都有恒成立，求a的取值范围．
20．已知．
(1)若为奇函数，求的值，并解方程；
(2)解关于的不等式．
21．在中，，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使三角形唯一确定，求：
(1)的值；
(2)的面积.
条件①：，；条件②：，；条件③：，为等腰三角形.
注：如果选择多个条件解答或选择不符合要求的条件解答，本题得0分.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．D
【分析】由题意得，即，代入即可求解．
【详解】已知向量，，
若，则，即，
则的值为．
故选：D．
2．A
【分析】根据同角三角函数基本关系结合充分条件、必要条件定义进行判断即可.
【详解】充分性：若，又，则，故充分性成立；
必要性：若，，则，故必要性不成立；
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3．D
【分析】利用同角三角函数的关系、三角函数值域、指数幂运算，结合函数的单调性及不等式的放缩比较大小.
【详解】，.
故选：D．
4．C
【分析】利用同角三角函数间的基本关系求出的值即可．
【详解】∵，且为第二象限角.
∴ .
故选：C．
5．A
【分析】根据三角函数线的定义和同角基本关系式可解.
【详解】由题意，可知，
所以，即A正确，B错误；
而，C错误；
由同角基本关系式，，
而由题意，，所以D错误.
故选：A
6．A
【分析】将原式中的分子、分母同除以，再将代入即可.
【详解】由题意，可知，
则，
故选:A．
7．D
【分析】由三角函数定义、平方关系以及角的范围即可求解.
【详解】由题意，所以.
故选：D.
8．D
【分析】由全等以及余弦定理得，结合平方关系以及商数关系即可得解.
【详解】由题意及图形：设三角形的直角边为3，则斜边为，又由于为三等分点，
所以，又，
在中有余弦定理得：，
在中，利用余弦定理得：，
在中利用同角间的三角函数关系可知：．
故选：D.
9．ABD
【分析】当时，则由求得的值，进而根据各选项的要求逐项判断.
【详解】由题意，代入，即，
整理得，即，
解得或，因为，所以，
于是，故B正确.
因为，所以，故A正确；
，故C错误；
，故D正确；
故选：ABD.
10．ABD
【分析】根据周期可得，代入最值点可得，进而根据函数的不等式即可根据周期，单调性以及平移求解ABC，利用换元法，结合二次函数的性质即可求解D.
【详解】由图可得：，
又，
，又，
，
将代入得，
即，，
即，，
，
对于A，最小正周期，故正确；
对于B，令，，解得，，
可得的单调递增区间为，，当时，单调递增区间为，故B正确；
对于C，函数的图象向左平移个单位长度，所得到的函数解析式为：，故C不正确；
对于D，，
令，所以，
故最小值为，D正确，
故选：ABD
11．BD
【分析】由同角三角函数的基本关系式即可求解.
【详解】∵，，，
∵ ∴或（不合题意），
∴，，，
故选：BD.
12．ABC
【分析】对于A、B，由同角三角函数的基本关系进行化简证明即可，对于C、D，由诱导公式进行化简证明即可.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：ABC.
13．
【分析】利用任意角的三角函数的定义、诱导公式，计算即可．
【详解】的终边经过点，
．
则
.
故答案为：．
14．3
【分析】依题意可得，利用诱导公式得到，代入等式得到弦的齐次式，求得正切值即得.
【详解】依题意，，则，
于是，由可得：，
因，则，故得：，
解得：，即.
故答案为：3.
15．
【分析】直角三角形的两条直角边分别为，可得小正方形的边长为，利用同角三角函数基本关系即可求解.
【详解】直角三角形中较小的内角为，
则直角三角形的两条直角边分别为，
所以小正方形的边长为，
所以，
即，
即，
所以，
所以.
故答案为：.
16． 7
【分析】利用三角函数的定义及同角三角函数关系即可求解.
【详解】因为的横坐标分别为，，
所以，.
因为为锐角，，
所以，
因为为锐角，所以,
;
因为,,所以，
所以
.
故答案为: 7;
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式化简即可；
（2）由和诱导公式来即可求解.
【详解】（1），
即.
（2）由题意，且，则.
于是.
18．(1)
(2)
【分析】（1）结合三角函数定义以及平方关系、诱导公式化简求值即可；
（2）由平方关系结合以及是第二象限角即可求解.
【详解】（1）由题意，，
所以.
（2）若，而，，
所以，即，
解得或（舍去），从而，
即，所以点.
19．(1)
(2)
【分析】（1）使用换元法结合三角函数性质计算即可得；
（2）使用换元法分类讨论计算即可得.
【详解】（1）当时，，
令，
则，
由，则，故，又，故，
即的值域为；
（2）令，则，
当时，，，
则，
由，即，化简得，
令，，
由，故，故在上单调递增，
故，解得；
当时，，，
故，
则有，即，
由，故有，，
解得，
综上所述，.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用换元法，将复杂的三角函数转化为熟悉的二次函数问题，再结合分类讨论的思想即可.
20．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由为奇函数，可令，求出的值，并根据对数运算求出，即得方程的解集；
（2）将不等式代入化简为，即，分别在三种情况下分类讨论即可.
【详解】（1）的定义域为R，
因为为奇函数，则，
解得，故，
又，即，
所以函数为奇函数，故.
又，即，
解得，即.
（2）因为，， ，
关于的不等式可转化为，
即，
①当时，；
②当时，，解得，
③当时，或，解得或，，
综上，当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为.
21．(1)①不能选，若选择②，答案为，若选择③，答案为；
(2)①不能选，若选择②，答案为，若选择③，答案为
【分析】（1）选择①，得到，为钝角，则也为钝角，这样的三角形不存在；选择②，由余弦定理得到，结合正弦定理得到；选择③，为顶角，所以，由余弦定理得到，由正弦定理得到；
（2）选择②或③，由三角形面积公式求出答案.
【详解】（1）选择①：，，显然，
因为大边对大角，故，
因为，故为钝角，则A也为钝角，显然这样的三角形不存在，①舍去；
选择②：，，，
由余弦定理得，
即，故，
解得，（舍），此时三角形唯一确定，
因为，，所以，
由正弦定理得，所以；
选择③：，为等腰三角形，
在中，因为，所以为钝角.
所以为顶角，所以.
因为，，
故，即，
所以.
因为，，所以，
由正弦定理得，所以.
（2）不能选择①，
选择②：因为.
选择③：因为.
答案第1页，共2页
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