4.2两角和与差的三角函数公式 同步练习 2023——2024学年北师大版（2019）高中数学必修第二册（含解析）

4.2两角和与差的三角函数公式同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知都是第二象限角，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．若函数在上恰有两个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．在中，为边上一点，，且的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
5．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数的对称中心是，则（ ）
A． B． C．3 D．0
7．函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
8．在中，角，，的对边分别为，，，已知，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数，则下列判断正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称
C．在区间上单调递增 D．当时，
10．已知函数（）的最小正周期为，则（ ）
A．
B．函数在上为增函数
C．是的一个对称中心
D．函数的图像关于轴对称
11．下列说法正确的有（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“”是真命题
C．命题“”的否定是“”
D．“，使”是假命题，则
12．主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线，且经过点，则下列说法正确的是（ ）
A．函数是奇函数
B．函数在区间上单调递减
C．，使得
D．，存在常数使得
三、填空题
13．已知，若，则的最大值为 ．
14．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是 ．
15．圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根呈南北方向的水平长尺（称为“圭”）和一根直立于圭面的标杆（称为“表”），如图．成语有云：“立竿见影”，《周髀算经》里记载的二十四节气就是通过圭表测量日影长度来确定的．利用圭表测得某市在每年夏至日的早上8：00和中午13：00的太阳高度角分别为（）和（）．设表高为1米，则影差 米（参考数据：，）
16．如图是六角螺母的横截面，其内圈是半径为1的圆，外框是以为中心，边长为2的正六边形，则到线段的距离为 ；若是圆上的动点，则的取值范围是 .

四、解答题
17．如图，在中，点D在边BC上，．
(1)若，，，求AB；
(2)若是锐角三角形，，求的取值范围．
18．已知函数.
(1)求的单调递减区间；
(2)将的图象上的各点纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位.得到的图象，当时，方程有解，求实数的取值范围.
19．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积．
(1)求；
(2)若,，求．
20．记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．
(1)求角C；
(2)若的周长为20，面积为，求边c．
21．已知函数（，，）的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式和单调递增区间；
(2)若，，求的值．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．C
【分析】根据两者之间的推出关系可得正确的选项.
【详解】若，则即，
而都是第二象限角，故，故，
故“”是“”的充分条件.
若，因为都是第二象限角，故，
所以即，
故“”是“”的必要条件，
所以“”是“”的充要条件.
故选：C.
2．C
【分析】利用三角恒等变换先化简函数式，结合三角函数的图象与性质计算即可.
【详解】
，
令，得,
由，,得．
因为恰有两解，
所以．
故选：C
3．D
【分析】由求出，再由，利用两角差的余弦公式计算即可.
【详解】∵，∴，又，∴，
∴
．
故选：D
4．A
【分析】由面积公式求出，即可得到为等腰三角形，则，在中由正弦定理求出，即可求出，最后由利用两角差的正弦公式计算可得.
【详解】因为，解得，
所以为等腰三角形，则，
在中由正弦定理可得，即，解得，
因为，所以为锐角，所以，
所以
.
故选：A
5．A
【分析】根据条件求得，再根据正弦定理及三角恒等变换将表示为的三角函数，求得的最大值.
【详解】因为，
所以,
即,
由正弦定理可得,
即,
即, 因为,
所以,
因为, 所以;
由正弦定理可得,
则
, 其中，,
因为,
所以,
从而当时, 取得最大值为.
故选：A
6．D
【分析】利用辅助角公式和对称中心得到最小正周期，求出，由求出，再计算出.
【详解】，其中，
由的对称中心是知，两个相邻的对称中心相距，
故的最小正周期，
即，所以，
解得，故．
故选：D．
7．B
【详解】先用三角恒等变换化简得到，再用正弦型函数的单调性可求得函数的单调递增区间.
【分析】因为
，
令，解得，
故的单调递增区间为，
故选：B.
8．B
【分析】利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式得到，即可得到，从而求出、.
【详解】因为，由正弦定理可得，
即，又，所以，
因为且，所以，所以
又，所以，.
故选：B
9．BC
【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断AB选项；利用正弦型函数的单调性可判断C选项；利用正弦型函数的值域可判断D选项.
【详解】因为，
对于A选项，，故函数的图象不关于直线对称，A错；
对于B选项，，故函数的图象关于点对称，B对；
对于C选项，当时，，则函数在区间上单调递增，C对；
对于D选项，当时，，则，
所以，，D错.
故选：BC.
10．BD
【分析】对A，根据辅助角公式，结合最小正周期公式求解即可；对B，根据判断即可；对C，根据判断即可；对D，化简判断即可.
【详解】对A，，又最小正周期为，故，则，故A错误；
对B，，当时，，为正弦函数的单调递增区间，故B正确；
对C，，故不是的一个对称中心，故C错误；
对D，为偶函数，图像关于轴对称，故D正确.
故选：BD
11．AC
【分析】求得方程的解，结合充分、必要条件的判定，可判定A正确；结合三角函数的性质，可判定B错误；根据由全称命题与存在性命题的关系，可判定C正确；根据题意得出，使”是真命题，结合二次函数的性质，可判定D错误.
【详解】对于A中，由方程，解得或，
所以是的充分不必要条件，所以A正确；
对于B中，由，
所以不存在，使得，所以为假命题，所以B不正确；
对于C中，由全称命题与存在性命题互为否定关系，
可得：命题的否定为，所以C正确；
对于D中，由，使”是假命题，
可得，使”是真命题，则满足，
解得，所以D错误.
故选：AC.
12．ABD
【分析】由经过可求出的解析式，利用奇偶性定义可判断A；利用正弦函数的单调性可判断B；求的值可判断D，利用，分、、，三种情况求的化简式可判断C．
【详解】因为经过，
所以，即，，解得，，
又，所以，则，
对于A，，
时，令，可得，
故为奇函数，所以A正确；
对于B，时，，
对于在上单调递减，可得在上单调递减，
所以B正确；
对于D，
，
所以恒为，即存在常数m=0，所以D正确；
对于C，当，时，，
当，时，，
当，时，
，所以C错误．
故答案为：ABD.
【点睛】关键点睛：对于C选项的关键点是利用，分、、，三种情况求的化简式.
13．
【分析】，分别求与的最大值得的最大值.
【详解】将视为的函数，故，其中，，
所以当时的最大值为1，
设，当时，取得最大值，所以的最大值为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题求解关键是将视为的函数，使用辅助角公式转化，再分别求与的最大值.
14．
【分析】先把函数化成的形式，再根据函数在给定区间上的值域求的取值范围.
【详解】因为
.
又.
因为.
故答案为：
15．2.232
【分析】由正弦定理和三角函数得到，利用正弦和差公式得到，求出（米）.
【详解】在中，（米）．
在中，由正弦定理，得，
即，
所以（米）．
因为，
且，
所以，所以（米）．
故答案为：
16． 1
【分析】根据正六边形的性质即可求解空1，利用向量的坐标运算即可由三角函数的性质求解.
【详解】取中点为，
由于正六边形的边长为2，所以,
因此到线段的距离为,
建立如图所示的直角坐标系，则,
，
，
由于,
故，
故答案为：1；

17．(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，在与中，利用余弦定理求解即得.
（2）由给定条件，求出角的范围，再利用正弦定理边化角，借助差角的正弦及正切函数的性质求解即得.
【详解】（1）在中，由余弦定理得，
即，而，解得，则，
在中，，由余弦定理得.
（2）在锐角中，，，且，则，
由正弦定理得，
显然，即有，因此，即，
所以的取值范围是.
18．(1)
(2)
【分析】（1）结合降幂公式和辅助角公式化简，结合整体法可求的单调递减区间；
（2）结合平移法则易得，由求出范围，进而得到范围.
【详解】（1）因为，
由，解得，
所以的递减区间为；
（2）由（1）知，那么将图象上各点纵坐标保持不变，
横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位，得到．
当时，，
由方程有解，可得实数的取值范围为．
19．(1)
(2)12
【分析】（1）由三角形面积公式、正弦定理及同角三角函数基本关系得解；
（2）根据三角恒等变换化简后由正余弦定理求解即可.
【详解】（1）由题意可知，，
由正弦定理可知：，
因为，所以.
（2）由，可知角为锐角，
所以，得，，
所以，
由，
又，得，
由正弦定理得，所以，
由余弦定理，
得.
20．(1)
(2)7
【分析】（1）根据正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式和同角的三角函数关系化简，即可求解；
（2）根据三角形的面积公式可得，由余弦定理计算可得，结合计算即可求解.
【详解】（1），
由正弦定理，得，
，
，又，得，
所以，即，
由，解得；
（2）由（1），得，则，
由余弦定理，得，即，
得.又，
所以，即，
即，解得.
21．(1)，单调递增区间为
(2)
【分析】（1）由三角函数图象首先得，，，进一步结合，，可得，由此可得函数表达式，由整体代入法列不等式组即可得单调递增区间；
（2）由平方关系结合角的范围首先得，进一步由两角差的正弦公式即可求解.
【详解】（1）由图象得：，，所以，
所以，又由，，
可得，所以．
令，，解得，，
所以函数的单调递增区间为．
（2）由，因为，可得，所以，
则
.
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