第2课时 等差数列的判定与性质
1．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1，则a101的值为( )
A．52 B．50 C．51 D．49
2．在递增的等差数列{an}中，a3＋a6＝－6，a4a5＝8，公差d等于( )
A．4 B．2
C．－2 D．2或－2
3．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )
A．a1＋a101>0 B．a1＋a101<0
C．a3＋a99＝0 D．a51＝51
4．已知数列{an}是等差数列，a4＝15，a7＝27，则过点P(3, a3)，Q(5, a5)的直线斜率为( )
A．4 B. C．－4 D．－
5．已知在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，对 n∈N*都有2a＝a＋a，则a10等于( )
A．10 B. C．64 D．4
6．(多选)下列命题中，正确的是( )
A．若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列
B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列
C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列
D．若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列
7．已知数列{an}满足a1＝1，若点在直线x－y＋1＝0上，则an＝________.
8．在数列{an}中，an＋1＝，a1＝2，则a20＝________.
9．在等差数列{an}中，已知am＝n，an＝m，求am＋n的值．
10．在等差数列－5，－，－2，－，…的每相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列．
(1)求新数列的通项公式；
(2)28是新数列中的项吗？若是，求出是第几项；若不是，说明理由．
11．(多选)若{an}是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是( )
A．{|an|} B．{an＋1－an}
C．{pan＋q}(p，q为常数) D．{2an＋n}
12．等差数列{an}中，若a2，a2 022为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a1＋a1 012＋a2 023等于( )
A．10 B．15 C．20 D．40
13．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2 023这2 023个数中，能被3除余1，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则a10等于( )
A．190 B．211 C．232 D．253
14．已知数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2.则ak·ak＋1<0的k值为________．
15．在下表所示的5×5正方形的25个空格中填入正整数，使得每一行，每一列都成等差数列，问标有*号的空格应填的数是________．
*
74
2y 186
y 103
0 x 2x
16．已知等差数列{an}：3,7,11,15，….
(1)135,4m＋19(m∈N*)是{an}中的项吗？试说明理由；
(2)若ap，aq(p，q∈N*)是数列{an}中的项，则2ap＋3aq是数列{an}中的项吗？并说明你的理由．
第2课时 等差数列的判定与性质
1．A 2.B 3.C 4.A 5.D
6．AC [A项中，∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，
∴2·(2b)＝2a＋2c，∴2a,2b,2c成等差数列，故A正确；
C项中，∵a，b，c成等差数列，
∴2b＝a＋c，
∴2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，
∴a＋2，b＋2，c＋2成等差数列，
故C正确．]
7．n2(n∈N*)
8.
解析 对an＋1＝取倒数得＝＋3，
∴－＝3，
∴是以为首项，3为公差的等差数列．
∴＝＋3(n－1)
＝3n－＝，
∴an＝，
∴a20＝.
9．解 方法一 设公差为d，
则d＝＝＝－1，
从而am＋n＝am＋(m＋n－m)d＝n＋n·(－1)＝0.
方法二 设等差数列的通项公式为an＝an＋b(a，b为常数)，
则
得a＝－1，b＝m＋n.
所以am＋n＝a(m＋n)＋b＝0.
10．解 (1)原数列的公差d＝－－(－5)＝，所以新数列的公差d′＝d＝，故新数列的通项公式为an＝－5＋(n－1)＝n－.
(2)令－＝28，得n＝45，
所以28是新数列中的项，是第45项．
11．BCD [数列－1,1,3是等差数列，
取绝对值后，1,1,3不是等差数列，
A不成立；
若{an}是等差数列，利用等差数列的定义知，
{an＋1－an}为常数列，故是等差数列，B成立；
若{an}的公差为d，
则(pan＋1＋q)－(pan＋q)＝p(an＋1－an)＝pd为常数，
故{pan＋q}是等差数列，C成立；
(2an＋1＋n＋1)－(2an＋n)＝2(an＋1－an)＋1＝2d＋1为常数，
故{2an＋n}是等差数列，D成立．]
12．B [∵a2，a2 022为方程x2－10x＋16＝0的两根，
∴a2＋a2 022＝10，
由等差数列的性质得2a1 012＝10，
即a1 012＝5，
∴a1＋a1 012＋a2 023＝3a1 012＝15.]
13．A [由题意可得an能被3除余1，且被7除余1，
则an－1是21的倍数，即an－1＝21，即an＝21n－20，
∴a10＝21×10－20＝190.]
14．23
解析 因为3an＋1＝3an－2，
所以an＋1－an＝－，
所以数列{an}是首项为15，
公差为－的等差数列，
所以an＝15－·(n－1)＝－n＋.
令an＝－n＋>0，
得n<23.5，又k∈N*，
所以使ak·ak＋1<0的k值为23.
15．142
解析 记aij为第i行第j列的格中所填的数，则a52＝x，a41＝y.
由第3行得a33＝，
由第3列得a33＝2×103－2x，
所以2x＋y＝113.①
由第1列得a21＝3y，
则由第2行得a23＝2×74－3y，
由第3列得a33＋103＝a23＋2x，则a23＝3×103－4x，
所以2×74－3y＝3×103－4x，
即4x－3y＝161，②
解①②，得x＝50，y＝13，
所以a15＝2×186－a55＝2×186－4x＝172，a13＝2a33－a53＝112，
a14＝＝142，
故标有*号的空格应填142.
16．解 a1＝3，d＝4，an＝a1＋(n－1)d＝4n－1.
(1)令an＝4n－1＝135，得n＝34，
∴135是数列{an}中的第34项．
令an＝4n－1＝4m＋19，则n＝m＋5∈N*.
∴4m＋19是{an}中的第m＋5项．
(2)∵ap，aq是{an}中的项，
∴ap＝4p－1，aq＝4q－1.
∴2ap＋3aq＝2(4p－1)＋3(4q－1)＝8p＋12q－5＝4(2p＋3q－1)－1∈N*，
∴2ap＋3aq是{an}中的第2p＋3q－1项．§4.2 等差数列
4.2.1 等差数列的概念
第1课时 等差数列的概念及通项公式
1．数列{an}中，a1＝5，an＋1＝an＋3，那么这个数列的通项公式是( )
A．3n－1 B．3n＋2
C．3n－2 D．3n＋1
2．一个等差数列的前4项是a，x，b，2x(b≠0，x≠0)，则等于( )
A. B. C. D.
3．已知在等差数列{an}中，a1＝1，d＝3，则当an＝298时，n等于( )
A．90 B．96 C．98 D．100
4．已知数列{an}为等差数列，则下列不一定成立的是( )
A．若a2>a1，则a3>a1
B．若a2>a1，则a3>a2
C．若a3>a1，则a2>a1
D．若a2>a1，则a1＋a2>a1
5．用火柴棒按如图的方法搭三角形，按图示的规律搭下去，则第100个图形所用火柴棒数为( )
A．199 B．201 C．203 D．205
6．在数列{an}中，若＝＋，a1＝8，则数列{an}的通项公式为( )
A．an＝2(n＋1)2 B．an＝4(n＋1)
C．an＝8n2 D．an＝4n(n＋1)
7．在－3和6之间插入两个数a，b，使这四个数成等差数列，则公差为________．
8．设a>0，b>0，若ln 3是ln 9a与ln 3b的等差中项，则2a＋b＝________.
9．在等差数列{an}中，
(1)已知a5－a3＝12，a12＝20，求a1和d；
(2)已知a1＝9，公差d＝－2，an＝－15，求n；
(3)已知a3＝9，a9＝3，求{an}的通项公式．
10．在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7.
(1)求数列的第10项；
(2)问112是数列{an}的第几项？
(3)在80到110之间有多少项？
11．“lg x，lg y，lg z成等差数列”是“y2＝xz”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
12．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是( )
A. B.
C. D.
13．正数a，b的等差中项是，且α＝a＋，β＝b＋，则α＋β的最小值是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
14．已知△ABC的三边a，b，c成等差数列，，，也成等差数列，则△ABC的形状为________．
15．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝4，a3＝9，且{an＋1－an}是等差数列，则a6等于( )
A．36 B．37 C．38 D．39
16．已知{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若从数列{an}中依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n项，按原来的顺序组成一个新数列{bn}，试求出数列{bn}的通项公式．
4.2.1 等差数列的概念
第1课时 等差数列的概念及通项公式
1．B 2.C 3.D 4.D 5.B
6．A [由题意得－＝，故数列{}是首项为＝2，公差为的等差数列，
所以＝2＋(n－1)＝n＋，
故an＝2(n＋1)2.]
7．3
8．2
解析 ∵ln 3是ln 9a与ln 3b的等差中项，
∴2ln 3＝ln 9a＋ln 3b，
∴ln 32＝ln(9a·3b)＝ln 32a＋b，
∴32＝32a＋b，
∴2a＋b＝2.
9．解 (1)因为a5－a3＝12，
所以公差d＝6.
由a12＝a1＋11d＝20，所以a1＝－46，
故a1＝－46，d＝6.
(2)由an＝a1＋(n－1)d，得－15＝9－2(n－1)，解得n＝13.
(3)由已知可得解得
所以an＝a1＋(n－1)d＝11－(n－1)＝－n＋12.
10．解 设数列{an}的公差为d，
则解得
(1)a10＝a1＋9d＝－2＋27＝25.
(2)an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，
由112＝3n－5，解得n＝39.
所以112是数列{an}的第39项．
(3)由80<3n－5<110，
解得28所以n的取值为29,30，…，38，共10项．
11．A [lg x，lg y，lg z成等差数列 2lg y＝lg x＋lg z lg＝lg y2 y2＝xz，
但y2＝xz不能保证x，y，z均为正数，
故选A.]
12．C [设an＝－24＋(n－1)d，n∈N*，
由
解得13．C [由题意可知，a＋b＝1，
α＋β＝a＋＋b＋＝1＋＋＝3＋＋≥3＋2＝5，
当且仅当a＝b＝时，取等号．]
14．等边三角形
解析 由a，b，c成等差数列得a＋c＝2b，①
由，，成等差数列得＋
＝2， ②
由②2－①得2＝2b，即b2＝ac，
由①平方得a2＋2ac＋c2＝4b2，
将b2＝ac代入得a2＋2ac＋c2＝4ac，
即(a－c)2＝0，得a＝c.
又a＋c＝2b，
∴2a＝2b，
∴a＝b，
∴a＝b＝c.
∴△ABC 是等边三角形．
15．A [因为a2－a1＝3，a3－a2＝5，
所以(a3－a2)－(a2－a1)＝2，
又{an＋1－an}是等差数列，
故首项为3，公差为2，
所以an＋1－an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，
所以a6＝(a6－a5)＋(a5－a4)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2(5＋4＋3＋2＋1)＋5＋1＝36.]
16．解 (1)设等差数列{an}的公差为d.
由题意得，
解得
∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n.
(2)a2＝4，a4＝8，a6＝12，a8＝16，…，
a2n＝2×2n＝4n.
当n>1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4.
∴{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列．
∴bn＝b1＋(n－1)d＝4＋4(n－1)＝4n.
