第2课时 等差数列前n项和的性质及应用
1．在等差数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，若－＝2，则S10等于( )
A．10 B．100 C．110 D．120
2．若等差数列{an}的前m项的和Sm为20，前3m项的和S3m为90，则它的前2m项的和S2m为( )
A．30 B．70 C．50 D．60
3．在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 011＝S2 018，Sk＝S2 006，则正整数k为( )
A．2 020 B．2 021 C．2 022 D．2 023
4．若等差数列{an}与等差数列{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则等于( )
A. B. C. D.
5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则Sn的最小值等于( )
A．－32 B．－35 C．－36 D．－38
6．(多选)设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S5
S8，则下列结论正确的是( )
A．d<0
B．a7＝0
C．S9>S5
D．S6与S7均为Sn的最大值
7．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n的值为________．
8．若数列{an}的前n项和Sn＝，则a10＋a11＋a12＋…＋a99＝________.
9．已知在等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？
10．某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？
11．某公司技术部为了激发员工的工作积极性，准备在年终奖的基础上再增设30个“幸运奖”，投票产生“幸运奖”，按照得票数(假设每人的得票数各不相同)排名次，发放的奖金数成等差数列．已知前10名共发放2 000元，前20名共发放3 500元，则前30名共发放( )
A．4 000元 B．4 500元
C．4 800元 D．5 000元
12．在公差d＝3的等差数列{an}中，a2＋a4＝－2，则数列{|an|}的前10项和为( )
A．127 B．125 C．89 D．70
13．已知等差数列{an}，满足a2 022＋a2 023<0，a2 022·a2 023<0，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么Sn取最小正值时，n等于( )
A．4 043 B．4 042 C．4 041 D．4 040
14．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )
A．9 B．10 C．19 D．29
15．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，对任意正整数n，an＋2－an＝2＋cos nπ，Sn为{an}的前n项和，则S100＝________.
16．已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和，a8＝4，________.
(1)判断2 023是否是数列{an}中的项，并说明理由；
(2)求Sn的最小值．
从①S11＝－22，②S5＝S6中任选一个，补充在上面的问题中并作答．
第2课时 等差数列前n项和的性质及应用
1．B 2.C 3.D 4.C
5．C [设等差数列{an}的公差为d，
因为a1＝－11，所以a4＋a6＝2a1＋8d＝－22＋8d＝－6，
解得d＝2.
因此Sn＝na1＋×d＝－11n＋n(n－1)＝n2－12n＝(n－6)2－36，
故当n＝6时，Sn取得最小值－36.]
6．ABD [∵S5S8，
∴a6>0，a7＝0，a8<0.
∴d<0.
∴S6与S7均为Sn的最大值．
S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9
＝2(a7＋a8)<0.
∴S97．10
解析 ∵等差数列有2n＋1项，
S奇－S偶＝an＋1，
∴an＋1＝15.
又S2n＋1＝(2n＋1)an＋1，
∴165＋150＝(2n＋1)×15，
∴n＝10.
8．－1
解析 a10＋a11＋a12＋…＋a99
＝S99－S9
＝
＝(－2)－(－1)＝－1.
9．解 (1)由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，
解得d＝－2，
∴an＝a1＋(n－1)d＝11－2n.
(2)方法一 由(1)知a1＝9，d＝－2，
Sn＝9n＋·(－2)
＝－n2＋10n
＝－(n－5)2＋25，
∴当n＝5时，Sn取得最大值．
方法二 由(1)知a1＝9，d＝－2<0，
∴{an}是递减数列．
令an≥0，则11－2n≥0，
解得n≤.
∵n∈N*，
∴当n≤5时，an>0；
当n≥6时，an<0.
∴当n＝5时，Sn取得最大值．
10．解 从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25.
由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－.25辆翻斗车完成的工作量为a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480.
∵500>480，
∴在24小时内能构筑成第二道防线．
11．B [由已知可知等差数列中S10＝2 000，S20＝3 500，
因为S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，
所以2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，
所以2×(3 500－2 000)＝2 000＋(S30－3 500)，
解得S30＝4 500.]
12．C [∵d＝3，a2＋a4＝－2，
∴2a1＋4d＝－2，
解得a1＝－7.
∴an＝－7＋3(n－1)＝3n－10.
∴当n＝1,2,3时，an<0；
当n≥4时，an>0.
其前n项和Sn＝＝.
则数列{|an|}的前10项和＝－a1－a2－a3＋…＋a10＝S10－2S3＝－2×＝89.]
13．A [因为数列{an}的前n项和Sn有最大值，所以数列{an}是递减的等差数列．
又a2 022＋a2 023<0，a2 022·a2 023<0，
所以a2 022>0>a2 023，
即数列的前2 022项为正数，
从第2 023项开始为负数，
由等差数列求和公式和性质可知，
S4 043＝·
＝4 043a2 022>0，
S4 044＝
＝2 022<0，
所以当Sn取最小正值时，n＝4 043.]
14．B [钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为1＋2＋3＋…＋n＝.
当n＝19时，S19＝190.
当n＝20时，S20＝210>200.
∴当n＝19时，剩余钢管根数最少，
为10根．]
15．5 050
解析 当n为奇数时，an＋2－an＝1，即数列{an}的奇数项是以1为首项，
1为公差的等差数列；
当n为偶数时，an＋2－an＝3，即数列{an}的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列，
所以S100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝＋＝5 050.
16．解 若选①，
(1)设数列{an}的公差为d，
则
解得
所以an＝a1＋(n－1)d＝3n－20.
令3n－20＝2 023，得n＝681∈N*，
所以2 023是数列{an}中的第681项．
(2)令an＝3n－20>0，解得n>，
所以当n≤6时，an<0.
故当n＝6时，Sn取到最小值，
为S6＝6a1＋15d＝－57.
若选②，
(1)设数列{an}的公差为d，
则
解得
所以an＝2n－12.
令2n－12＝2 023，解得n＝ N*，
所以2 023不是数列{an}中的项．
(2)令2n－12>0，得n>6，
所以当n≤6时，an≤0.
故当n＝6或n＝5时，Sn取到最小值，
为S5＝S6＝－30.4.2.2 等差数列的前n项和公式
第1课时 等差数列的前n项和公式
1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝，S4＝20，则S6等于( )
A．16 B．24 C．36 D．48
2．在等差数列{an}中，已知a1＝10，d＝2，Sn＝580，则n等于( )
A．10 B．15 C．20 D．30
3．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a7＋a12＝30，则S13等于( )
A．130 B．65 C．70 D．75
4．在等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，则使得an>0的最小正整数n为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
5．(多选)在等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1等于( )
A．－1 B．3 C．5 D．7
6．等差数列{an}的公差为正数，记前n项和为Sn，若a3＝5，S9＝a4a5，则( )
A．an＝3n B．an＝2n－1
C．an＝4n－7 D．an＝8n－19
7．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝________.
8．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是________．
9．在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若Sn＝242，求n.
10．已知数列{an}的前n项和Sn是n的二次函数，且a1＝－2，a2＝2，a3＝6.
(1)求Sn的表达式；
(2)判断{an}是否为等差数列，并说明理由．
11．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，若am＋1＋am＋am－1＝18，且Sm＝28，则m的值为( )
A．7 B．8 C．14 D．16
12．已知数列{an}的前三项依次为－1,1,3，且前n项和Sn是关于n的不含常数项的二次函数，则a100等于( )
A．197 B．199
C．207 D．203
13．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N*)个点，相应的图案中总的点数记为an，则a2＋a3＋a4＋…＋an等于( )
A. B.
C. D.
14．设数列{an}的前n项和为Sn，点(n∈N*)均在函数y＝3x－2的图象上，则数列{an}的通项公式an＝________.
15．(多选)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，则下列选项中可能是Sn所对应函数的图象的是( )
16．已知等差数列{an}的公差d>0，前n项和为Sn，且a2a3＝45，S4＝28.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝(c为非零常数)，且数列{bn}也是等差数列，求c的值．
4.2.2 等差数列的前n项和公式
第1课时 等差数列的前n项和公式
1．D 2.C 3.A 4.B 5.AB
6．C [设等差数列{an}的公差为d，
则d>0，所以a5>a3>0，
S9＝＝9a5＝a4a5，
所以a4＝9，则d＝a4－a3＝4，
故an＝a3＋d
＝5＋4＝4n－7.]
7．5
解析 因为Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝2a1＋(2k＋1)d＝2×1＋(2k＋1)×2＝4k＋4＝24，所以k＝5.
8．－1
解析 等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1.
9．解 (1)设数列{an}的首项为a1，
公差为d.
则
解得
∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n.
(2)由(1)得Sn＝na1＋d＝n2＋11n，
又Sn＝242，
得n2＋11n－242＝0，
解得n＝11或n＝－22(舍去)．
故n＝11.
10．解 (1)设Sn＝an2＋bn＋c(a≠0)．
∵a1＝－2，a2＝2，a3＝6，
∴
解得
∴Sn＝2n2－4n.
(2){an}是等差数列，理由如下：
方法一 ∵等差数列的前n项和Sn＝na1＋d＝n2＋n，
当d≠0时，其是不含常数项的二次函数，
∴Sn＝2n2－4n符合等差数列前n项和的形式，
∴{an}是等差数列．
方法二 当n＝1时，
∵a1＝S1＝2－4＝－2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－4n－[2(n－1)2－4(n－1)]＝4n－6；
当n＝1时，a1＝－2，当n＝2时，a2＝2，当n＝3时，a3＝6，
∴an＝4n－6(n∈N*)，
∴{an}是等差数列．
11．B [∵在等差数列{an}中，am＋1＋am＋am－1＝18，∴3am＝18，∴am＝6，
∵a1＝1，Sm＝28，
∴28＝，∴m＝8.]
12．A [因为数列{an}的前n项和Sn是关于n的不含常数项的二次函数，
所以数列{an}是等差数列．
又因为数列{an}的前三项依次为－1,1,3，
所以等差数列{an}的首项为－1，公差为2，
所以等差数列{an}的通项公式为an＝2n－3(n∈N*)，
所以a100＝197.]
13．C [由图案的点数可知a2＝3，a3＝6，a4＝9，a5＝12，
所以an＝3n－3，n≥2，
所以a2＋a3＋a4＋…＋an
＝
＝.]
14．6n－5(n∈N*)
解析 依题意得＝3n－2，即Sn＝3n2－2n，所以数列{an}为等差数列，且a1＝S1＝1，a2＝S2－S1＝7，设其公差为d，则d＝6，
所以an＝6n－5(n∈N*)．
15．ABC [因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以Sn＝an2＋bn(a，b为常数，n∈N*)，则其对应函数为y＝ax2＋bx.当a＝0时，该函数的图象是过原点的直线上一些孤立的点，如选项C；当a≠0时，该函数的图象是过原点的抛物线上一些孤立的点，如选项A，B；选项D中的曲线不过原点，不符合题意．]
16．解 (1)∵S4＝28，∴＝28，a1＋a4＝14，
∴a2＋a3＝14，又a2a3＝45，
公差d>0，
∴a2∴解得
∴an＝4n－3，n∈N*.
(2)由(1)知Sn＝2n2－n，
∴bn＝＝，
∴b1＝，b2＝，b3＝.
又{bn}也是等差数列，
∴b1＋b3＝2b2，
即2×＝＋，
解得c＝－(c＝0舍去)．