§4.3 等比数列
4.3.1 等比数列的概念
第1课时 等比数列的概念及通项公式
1．数列1，－，，－，，…的一个通项公式为( )
A.n－1
B.n
C.nn－1
D.n＋1n－1
2．2＋和2－的等比中项是( )
A．1 B．－1 C．±1 D．2
3．若互不相等的实数a，b，c成等差数列，a是b，c的等比中项，且a＋3b＋c＝10，则a的值是( )
A．1 B．－1 C．－3 D．－4
4．在数列{an}中，若an＋1＝3an，a1＝2，则a4等于( )
A．108 B．54
C．36 D．18
5．已知a，b，c∈R，如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )
A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
6．(多选)下面关于公比为q的等比数列{an}的叙述不正确的是( )
A．q>1 {an}为递增数列
B．{an}为递增数列 q>1
C．0D．q>1 {an}为递增数列且{an}为递增数列 q>1
7．在等比数列a，2a＋2,3a＋3，…中，a＝________.
8．已知正项等比数列{an}，若3a1，a3，2a2成等差数列，则{an}的公比q＝________.
9．(1)已知{an}为等比数列，且a5＝8，a7＝2，该数列的各项都为正数，求an；
(2)若等比数列{an}的首项a1＝，末项an＝，公比q＝，求项数n；
(3)若等比数列{an}中，an＋4＝a4，求公比q.
10．求满足下列条件的数：
(1)在9与243中间插入2个数，使这4个数成等比数列；
(2)在160与－5中间插入4个数，使这6个数成等比数列．
11．在等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则an等于( )
A．(－2)n－1 B．－(－2)n－1
C．(－2)n D．－(－2)n
12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
13．已知不等式x2－5x－6<0的解集中有三个整数解构成等比数列{an}的前三项，则数列{an}的第四项是( )
A．8 B.
C．8或2 D．8或
14．若等差数列{an}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2，则an＝________；若{bn}是等比数列，且b2＝a3，b3＝a7，b6＝ak，则k＝________.
15．设有四个数的数列{an}，该数列前3项成等比数列，其和为m，后3项成等差数列，其和为6，则实数m的取值范围为( )
A．m≥6 B．m≥
C．m≤6 D．m≥2
16．在①a3＝5，a2＋a5＝6b2；②b2＝2，a3＋a4＝3b3；③S3＝9，a4＋a5＝8b2三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列的公比为q，且a1＝b1，d＝q，________；求数列{an}，的通项公式．
4.3.1 等比数列的概念
第1课时 等比数列的概念及通项公式
1．D 2.C 3.D 4.B 5.B
6．ABC [若a1＝－2，q＝2>1，则{an}的各项为－2，－4，－8，…，是递减数列，A不正确；若等比数列{an}的各项为－16，－8，－4，－2，…，是递增数列，则q＝<1，B不正确，D正确；若a1＝－16，q＝∈(0,1)，则{an}的各项为－16，－8，－4，…，显然是递增数列，C不正确．]
7．－4
解析 由题意，得2＝a，解得a＝－4或a＝－1，
当a＝－1时，2a＋2＝0,3a＋3＝0，不满足条件．
当a＝－4时，等比数列为－4，－6，－9，…，满足条件．
8．3
解析 因为已知正项等比数列{an},3a1，a3,2a2成等差数列，
所以
解得q＝3.
所以{an}的公比q＝3.
9．解 (1)设等比数列{an}的公比为q，由题意知q>0.
由已知得
解得
∵q>0，∴q＝，
∴an＝128×n－1＝.
(2)由an＝a1·qn－1，
得＝×n－1，
即n－1＝3，解得n＝4.
(3)∵an＋4＝a1qn＋3，a4＝a1q3，
又an＋4＝a4，∴qn＝1，
∴当n为偶数时，q＝±1；
当n为奇数时，q＝1.
10．解 (1)设这4个数构成的等比数列为{an}，公比为q，则a1＝9，a4＝243，
∴q3＝27，∴q＝3，
∴a2＝27，a3＝81，
故在9与243中间插入27,81，
可使这4个数成等比数列．
(2)设这6个数构成的等比数列为{bn}，公比为q，
则b1＝160，b6＝－5，
∴q5＝－，∴q＝－，
∴b2＝b1q＝－80，b3＝b2q＝40，
b4＝b3q＝－20，b5＝b4q＝10.
∴在160与－5中间插入－80,40，－20，10，可使这6个数成等比数列．
11．A [设公比为q，则a1q4＝－8a1q，
又a1≠0，q≠0，
所以q3＝－8，q＝－2，
又a5＞a2，
所以a2＜0，a5＞0，
从而a1＞0，即a1＝1，
故an＝(－2)n－1.]
12．C [因为a，b，c是△ABC的三边，所以a，b，c均不为0，
则由b2＝ac，可得＝，
所以a，b，c成等比数列，
反之：由a，b，c成等比数列，可得b2＝ac，
所以“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的充要条件．]
13．D [不等式x2－5x－6<0的解集为{x|－1若数列前3项为1,2,4，则第4项为8，若数列前3项为4,2,1，则第4项为.]
14．2n＋2 63
解析 由a4－a3＝2知等差数列{an}的公差d＝2，又a1＋a2＝2a1＋d＝10，故a1＝4，则an＝2n＋2，所以b2＝8，b3＝16，得等比数列{bn}的公比q＝2，b1＝4.又b6＝ak，故2k＋2＝4×26－1，解得k＝63.
15．B [由题意，后3项成等差数列，其和为6，故可设公差为d，后3项可写成2－d,2,2＋d.
又∵前3项成等比数列，根据等比中项的性质，可知第1项为，
∴数列{an}为，2－d,2,2＋d.
∴m＝＋2－d＋2
＝d2－3d＋6＝(d－3)2＋≥.]
16．解 选条件①：
因为a3＝5，所以a1＋2d＝5，
因为a2＋a5＝6b2，a1＝b1，d＝q，
所以2a1＋5d＝6a1d，
联立
解得或(舍去)，
则a1＝b1＝1，d＝q＝2，
故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，
bn＝b1qn－1＝2n－1.
选条件②：因为b2＝2，a1＝b1，d＝q，
所以a1d＝2，
因为a3＋a4＝3b3，
所以2a1＋5d＝3a1d2，
联立
解得或(舍去)，
则a1＝b1＝1，d＝q＝2，
故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，
bn＝b1qn－1＝2n－1.
选条件③：
因为S3＝9，所以3a1＋3d＝9，
因为a4＋a5＝8b2，a1＝b1，d＝q，
所以2a1＋7d＝8a1d，
联立
解得或(舍去)，
则a1＝b1＝1，d＝q＝2，
故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，
bn＝b1qn－1＝2n－1.第2课时 等比数列的判定与性质
1．在等比数列{an}中，如果a6＝6，a9＝9，那么a3等于( )
A．4 B. C. D．2
2．在数列{an}中，对任意n∈N*，都有an＋1－2an＝0(an≠0)，则等于( )
A．1 B. C. D.
3．已知数列{an}对任意的n≥2且n∈N*，满足a＝an－1an＋1，且a1＝1，a2＝2，则数列{an}的通项公式为( )
A．an＝2n
B．an＝2n－1
C．an＝n
D．无法确定
4．在等比数列{an}中，a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两个根，则a50的值为( )
A．10 B．16 C．±4 D．4
5．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( )
A．a1，a3，a9成等比数列
B．a2，a3，a6成等比数列
C．a2，a4，a8成等比数列
D．a3，a6，a9成等比数列
6．若正项数列{an}满足a1＝2，a－3an＋1an－4a＝0，则数列{an}的通项公式an等于( )
A．22n－1 B．2n C．22n＋1 D．22n－3
7．在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝－，则＋＋＋＝________.
8．已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2·a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，则满足an·an＋1·an＋2>的最大正整数n的值为________．
9．已知数列{an}是等比数列，a3＋a7＝20，a1a9＝64，求a11的值．
10．已知数列{an}满足a1＝，且an＋1＝an＋，n∈N*.
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
11．在数列{an}中，a1＝， m，n∈N*，am＋n＝aman，则a6等于( )
A. B. C. D.
12．已知等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15等于( )
A．±2 B．±4 C．2 D．4
13．(多选)已知数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，{an}的前n项和为Sn，若a1＋a6＋a11＝3π，b1b5b9＝8，则( )
A．S11＝11π
B．sin ＝
C．a3＋a7＋a8＝3π
D．b3＋b7≥4
14．已知，是等比数列{an}图象上的两点，则an＝________.
15．如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij(i，j∈N*)，则a53的值为( )
，
，，
…
A. B. C. D.
16．已知数列{an}和{bn}满足a1＝λ，an＋1＝an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整数．
(1)求证：对任意实数λ，数列{an}不是等比数列；
(2)试判断{bn}是否为等比数列．
第2课时 等比数列的判定与性质
1．A 2.D 3.B 4.C 5.D
6．A [由a－3an＋1an－4a＝0，
得(an＋1－4an)·(an＋1＋an)＝0.
又{an}是正项数列，
所以an＋1－4an＝0，＝4.
由等比数列的定义知数列{an}是以2为首项，
4为公比的等比数列．由等比数列的通项公式，
得an＝2×4n－1＝22n－1.]
7．－
解析 因为＋＝，＋＝，由等比数列的性质知a7a10＝a8a9，所以＋＋＋＝＝÷
＝－.
8．4
解析 设数列{an}的公比为q(q>0)，∵a2·a4＝4＝a，且a3>0，∴a3＝2，又a1＋a2＋a3＝＋＋2＝14，∴＝－3(舍去)或＝2，即q＝，a1＝8.又an＝a1qn－1＝8×n－1＝n－4，∴an·an＋1·an＋2＝3n－9>，
即23n－9<9，∵n∈N*，
∴n的最大值为4.
9．解 ∵{an}为等比数列，
∴a1·a9＝a3·a7＝64.
又∵a3＋a7＝20，
∴a3＝4，a7＝16或a3＝16，a7＝4.
①当a3＝4，a7＝16时，＝q4＝4，
此时a11＝a3q8＝4×42＝64.
②当a3＝16，a7＝4时，＝q4＝，
此时a11＝a3q8＝16×2＝1.
综上可得，a11＝64或a11＝1.
10．(1)证明 由已知得
an＋1－＝an－
＝，
即＝，
因为a1＝，所以a1－＝，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
(2)解 由(1)知，是以为首项，为公比的等比数列，
所以an－＝×n－1，
所以an＝×n－1＋.
11．C [由于 m，n∈N*，有am＋n＝aman，且a1＝，令m＝1，则an＋1＝a1an＝an，即数列{an}是首项为，公比为的等比数列，
所以an＝a1qn－1＝×n－1＝n，
故a6＝6＝.]
12．C [∵T13＝4T9，
∴a1a2·…·a9a10a11a12a13
＝4a1a2·…·a9，
∴a10a11a12a13＝4.
又∵a10·a13＝a11·a12＝a8·a15，
∴(a8·a15)2＝4，
∴a8a15＝±2.
又∵{an}为递减数列，
∴q>0，∴a8a15＝2.]
13．ACD [因为数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1＋a6＋a11＝3π，b1b5b9＝8，所以a1＋a6＋a11＝3a6＝3π，即a6＝π，b1b5b9＝b＝8，即b5＝2.对于A，S11＝＝11a6＝11π，故A正确；对于B，a2＋a10＝2a6＝2π，b4b6＝b＝4，所以sin ＝sin ＝1，故B错误；对于C，设等差数列{an}的公差为d，则a3＋a7＋a8＝a6－3d＋a6＋d＋a6＋2d＝3a6＝3π，故C正确；对于D，由b5＝2，得b3，b7>0，故b3＋b7≥2＝2＝4，当且仅当b3＝b7＝2时等号成立，故D正确．]
14．3×n－1
解析 方法一 由等比数列与函数的关系，可设过，的函数解析式为y＝A·qx(A为常数，Aq≠0)，
则解得
∴y＝6×x.
故an＝6×n＝3×n－1.
方法二 由题意知a2＝，a5＝，
∴q3＝＝，
∴q＝，
∴an＝a2·qn－2＝×n－2
＝3×n－1.
15．C [第一列构成首项为，公差为的等差数列，所以a51＝＋(5－1)×＝.又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a53＝×2＝.]
16．(1)证明 ∵an＋1＝an＋n－4且a1＝λ，
∴a2＝λ－3，a3＝λ－4.
假设存在一个实数λ，
使{an}是等比数列，
则a＝a1·a3，
即2＝λ，
即λ2－4λ＋9＝λ2－4λ，
该方程无解，
∴对任意实数λ，数列{an}不是等比数列．
(2)解 ∵bn＝(－1)n(an－3n＋21)，
∴bn＋1＝(－1)n＋1[an＋1－3(n＋1)＋21]
＝(－1)n＋1
＝－(－1)n(an－3n＋21)
＝－bn，
∵b1＝－(λ＋18)，
∴当λ＝－18时，b1＝0，
此时数列{bn}不是等比数列；
当λ≠－18时，b1≠0，
此时＝－(n∈N*)，
数列{bn}是等比数列．
综上，当λ＝－18时，
{bn}不是等比数列；
当λ≠－18时，{bn}是等比数列．
