4.3.2 等比数列的前n项和公式
第1课时 等比数列的前n项和公式
1．在等比数列{an}中，a1＝2，a2＝1，则S100等于( )
A．4－2100 B．4＋2100
C．4－2－98 D．4－2－100
2．设Sn为等比数列{an}的前n项和，若27a4＋a7＝0，则等于( )
A．10 B．9 C．－8 D．－5
3．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是其前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和等于( )
A.或5
B.或5
C.
D.
4．已知等比数列{an}为递增数列，设其前n项和为Sn，若a2＝2，S3＝7，则a5的值为( )
A．16 B．32 C．8 D.
5．在等比数列{an}中，a1＋an＝34，a2·an－1＝64，且前n项和Sn＝62，则项数n等于( )
A．4 B．5 C．6 D．7
6．设Sn是等比数列{an}的前n项和，若＝，则等于( )
A. B. C. D.
7．如果数列{an}的前n项和Sn＝－Aqn＋A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)，那么数列{an}________等比数列．(填“是”或“不是”)
8．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，Sn＝93，an＝48，公比q＝2，则项数n＝________，a1＝________.
9．已知数列{an}是等比数列．
(1)若a1＝3，q＝2，n＝6，求Sn；
(2)若a1＝－，q＝－，an＝，求Sn；
(3)若a1＝－1，a4＝64，求q与S4；
(4)若a3＝，S3＝，求a1与q.
10．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．
(1)求数列{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求Sn.
11．等比数列{an}的前n项和Sn＝m·4n－1＋t(其中m，t为常数)，则等于( )
A．4 B．－4 C．1 D．－1
12．等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3，Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，则m的值是( )
A．6
B．7
C．8
D．不存在
13．设f(n)＝2＋23＋25＋27＋…＋22n＋7，则f(n)等于( )
A.
B.
C.
D.
14．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1,2Sn＝an＋1－1，则Sn＝________.
15．等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn>0(n＝1,2,3，…)，则q的取值范围是________．
16．设数列{an}的前n项和为Sn，其中an≠0，a1为常数，且－a1，Sn，an＋1成等差数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝1－Sn，问：是否存在a1，使数列为等比数列？若存在，求出a1的值；若不存在，请说明理由．
4.3.2 等比数列的前n项和公式
第1课时 等比数列的前n项和公式
1．C 2.A 3.C 4.A 5.B
6．B [设数列{an}的公比为q(q≠0)，
∵＝，
∴q≠1且＝，
∴＝，
∴q504＝9.∴＝＝.]
7．是
解析 方法一 等比数列的前n项和Sn＝(q≠1)，
所以Sn＝－ qn，
Sn＝－Aqn＋A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)符合上式形式，此时A＝，
故数列{an}是等比数列．
方法二 因为Sn＝－Aqn＋A，
所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(－Aqn＋A)－(－Aqn－1＋A)
＝Aqn－1(1－q)，
当n＝1时，a1＝S1＝A(1－q)，
也符合上式．
所以an＝Aqn－1(1－q)．
于是＝＝q，
因此对任意的n∈N*，
都有＝q(常数)．
所以数列{an}是等比数列，其首项为a1＝A(1－q)，公比为q.
8．5 3
解析 由Sn＝93，an＝48，
公比q＝2，
得解得
9．解 (1)S6＝＝＝189.
(2)Sn＝＝＝－.
(3)由q3＝＝＝－64，
得q＝－4.
∴S4＝＝＝51.
(4)方法一 ∵S3＝a1＋a2＋a3
＝a3(q－2＋q－1＋1)，
a3＝，S3＝，
∴q－2＋q－1＋1＝3，
即2q2－q－1＝0，
解得q＝1或q＝－.
当q＝1时，a1＝；
当q＝－时，a1＝6.
方法二 当q＝1时，a1＝a3＝，
又S3＝，∴S3＝3a1，符合题意．
当q≠1时，S3＝＝，①
a3＝a1q2＝，②
由①得a1(1＋q＋q2)＝，③
③÷②得＝3，
即2q2－q－1＝0，
∴(2q＋1)(q－1)＝0，
∵q≠1，∴q＝－，
∴a1＝＝＝6，
综上，当q＝1时，a1＝；
当q＝－时，a1＝6.
10．解 (1)依题意有a1＋(a1＋a1q)
＝2(a1＋a1q＋a1q2)，
由于a1≠0，故2q2＋q＝0.
又q≠0，从而q＝－.
(2)由已知可得a1－a12＝3，
故a1＝4.
从而Sn＝＝×.
11．B [方法一 a1＝S1＝m＋t，
a2＝S2－S1＝3m，a3＝S3－S2＝12m，
因为{an}为等比数列，
则a＝a1a3，所以9m2＝12m(m＋t)，
即m＝－4t，故＝－4.
方法二 Sn＝m·4n－1＋t＝m·4n＋t，
因为{an}是等比数列，
故m＝－t，则＝－4.]
12．A [设等比数列{an}的公比为q.
在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3，
则q2＝＝4，则q＝±2.
当q＝2时，若Sm＝63，
则有＝63，解得m＝6；
当q＝－2时，若Sm＝63，则有＝63，整理可得(－2)m＝－188，无整数解．故m＝6.]
13．D [易知1,3,5,7，…是首项为1，
公差为2的等差数列，
设该数列为，则am＝2m－1，
设an＝2n＋7，
令2m－1＝2n＋7，∴m＝n＋4，
∴f(n)是以2为首项，22＝4为公比的等比数列的前n＋4项的和，
∴f(n)＝
＝.]
14.
解析 方法一 当n＝1时，
则有2S1＝a2－1，
∴a2＝2S1＋1＝2a1＋1＝3；
当n≥2时，由2Sn＝an＋1－1得，2Sn－1＝an－1，
上述两式相减得2an＝an＋1－an，
∴an＋1＝3an，
得＝3且＝3，
∴数列{an}是以1为首项，
以3为公比的等比数列，
∴Sn＝＝.
方法二 ∵2Sn＝an＋1－1＝Sn＋1－Sn－1，
∴Sn＋1＝3Sn＋1，
∴Sn＋1＋＝3，
S1＋＝a1＋＝，
∴数列是首项为，
公比为3的等比数列，
∴Sn＋＝×3n－1＝×3n，
∴Sn＝×3n－＝.
15．(－1,0)∪(0，＋∞)
解析 因为数列{an}为等比数列，Sn>0，
所以a1＝S1>0，q≠0.
当q＝1时，Sn＝na1>0；
当q≠1时，Sn＝>0，
即>0，
所以或
所以－11.
综上，q的取值范围为(－1,0)∪(0，＋∞)．
16．解 (1)依题意，得2Sn＝an＋1－a1.于是，当n≥2时，有
两式相减，得an＋1＝3an(n≥2)．
又因为a2＝2S1＋a1＝3a1，an≠0，所以数列{an}是首项为a1，公比为3的等比数列．
因此，an＝a1·3n－1(n∈N*)．
(2)因为Sn＝
＝a1·3n－a1，
所以bn＝1－Sn＝1＋a1－a1·3n.
要使为等比数列，则1＋a1＝0，
即a1＝－2.第2课时 等比数列前n项和的性质及应用
1．已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1 011，偶数项之和为2 022，则这个数列的公比为( )
A．8 B．－2 C．4 D．2
2．一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项之和是奇数项之和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为( )
A．6 B．8 C．10 D．12
3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于( )
A. B．－ C. D.
4．等比数列{an}各项为正数，a3，a5，－a4成等差数列．若Sn为{an}的前n项和，则等于( )
A．2 B. C. D.
5．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？( )
A.
B.
C.
D.
6．(多选)下列说法正确的是( )
A．若数列{an}是等差数列，且am＋an＝as＋at(m，n，s，t∈N*)，则m＋n＝s＋t
B．若Sn是等差数列{an}的前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列
C．若Sn是等比数列{an}的前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列
D．若Sn是等比数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn＋B(其中A，B是非零常数，n∈N*)，则A＋B为零
7．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．
8．设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且210S30－(210＋1)S20＋S10＝0，则公比q＝________.
9．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足S3＝7，S6＝63.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝an＋log2an，求数列的前n项和Tn.
10．某地区为完成国家退耕还林计划，截止到2019年年底还需要退耕还林的土地面积为6 370万亩，2020年该地区退耕还林的土地面积为515万亩，以后每年退耕还林的面积按12%递增．
(1)试问到哪一年该地区才能完成退耕还林计划？(结果精确到1年)(参考数据：1.128≈2.476，1.127≈2.211)
(2)为支持退耕还林工作，国家财政从2021年起补助农民当年退耕地每亩300斤粮食，每斤粮食按0.7元折算，并且补助当年退耕地每亩20元．试问：该地区完成退耕还林计划时，国家财政共需补助多少亿元？(精确到1亿元)
11．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，S4＝10，S12＝70，则S8等于( )
A．30 B．－20
C．－30 D．30或－20
12．(多选)在公比q为整数的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则下列说法正确的是( )
A．q＝2
B．数列{Sn＋2}是等比数列
C．S8＝510
D．数列{lg an}是公差为2的等差数列
13．已知等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，这个等比数列前n项的积为Tn(n≥1)，则Tn的最大值为( )
A. B. C．1 D．2
14．已知Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若S6－3S3＝4，则S9－S6的最小值为________．
15．设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的实数x，y，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)．若a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn＝________.
16．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n－5an－85，n∈N*.
(1)证明：{an－1}是等比数列；
(2)求数列{Sn}的通项公式，并求出n为何值时，Sn取得最小值，并说明理由.
第2课时 等比数列前n项和的性质及应用
1．D 2.B 3.A 4.C
5．D [5斗＝50升，设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a1，a2，a3，
由题意可知a1，a2，a3构成公比为2的等比数列，且S3＝50，则＝50，
解得a1＝，
所以牛主人应偿还粟的量为
a3＝22a1＝.]
6．BD [若数列{an}是常数列，对任意的正整数m，n，s，t都有am＋an＝as＋at，A错误；
设等差数列{an}的公差为d，
首项是a1，
Sn＝a1＋a2＋…＋an，
S2n－Sn＝an＋1＋an＋2＋…＋a2n
＝(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd)
＝Sn＋n2d，
同理S3n－S2n＝(S2n－Sn)＋n2d ＝Sn＋2n2d，
因此2(S2n－Sn)＝Sn＋(S3n－S2n)，
则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，B正确；
若等比数列{an}的公比q＝－1，a1＝2，
则S2＝0，S4－S2＝0，S6－S4＝0，
不可能成等比数列，C错误；
等比数列的前n项和为Sn＝Aqn＋B，则q≠1，
否则Sn＝na1，
所以Sn＝
＝－·qn＋，
即A＝－，B＝，A＋B＝0，D正确．]
7．6
解析 每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，
其前n项和Sn＝＝＝2n＋1－2.
由2n＋1－2≥100，得2n＋1≥102.
由于26＝64,27＝128，
则n＋1≥7，即n≥6.
8.
解析 由210S30－(210＋1)S20＋S10＝0，
得210(S30－S20)＝S20－S10.
易知q≠－1，
∴S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，
∴＝q10＝10.
又{an}为正项等比数列，∴q＝.
9．解 (1)由题意知S6≠2S3，q≠1，
且q≠－1，
由等比数列的前n项和等距分段的性质知，
q3＝＝＝8，故q＝2，
∴S3＝＝7，
代入q可得a1＝1，
∴an＝2n－1.
(2)由(1)知bn＝2n－1＋n－1，
∴Tn＝＋[1＋2＋…＋(n－1)]
＝2n＋－1.
10．解 (1)设从2021年起，每年退耕还林的土地面积(单位：万亩)依次为a1，a2，a3，…，an，…，
则a1＝515×，a2＝515×2，…，an＝515×n，
则Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝
＝6 370－515，
即515×1.12×＝5 855×0.12，解得1.12n≈2.218.
又因为n∈N*，当n＝7时，
1．127≈2.211，
此时完不成退耕还林计划，当n＝8时，1.128≈2.476>2.218，所以n＝8.故到2028年该地区才能完成退耕还林计划．
(2)设国家财政共需补助W亿元，
则W＝×
×10－4≈135，
所以该地区完成退耕还林计划时，国家财政共需补助135亿元．
11．A [由{an}是等比数列，且S4＝10，S12＝70，知{an}的公比q≠－1，
所以S4，S8－S4，S12－S8构成等比数列，
所以(S8－S4)2＝S4(S12－S8)，
即(S8－10)2＝10(70－S8)，
化简并整理得S－10S8－600＝0，
又S8＝S4＋q4S4>0，
解得S8＝30或S8＝－20(舍去)．]
12．ABC [∵a1＋a4＝18，a2＋a3＝12且公比q为整数，
∴
∴或(舍)，
故A正确；
Sn＝＝2n＋1－2，
∴S8＝510，故C正确；
∴Sn＋2＝2n＋1，故数列{Sn＋2}是等比数列，故B正确；
an＝2×2n－1＝2n，
∴lg an＝lg 2n＝nlg 2，
故数列{lg an}是公差为lg 2的等差数列，故D错误．]
13．D [设数列{an}共有(2m＋1)项，由题意得
S奇＝a1＋a3＋…＋a2m＋1＝，
S偶＝a2＋a4＋…＋a2m＝，
因为项数为奇数时，S奇＝a1＋qS偶，
即2＋q＝，
所以q＝.所以Tn＝a1·a2·…·an
＝aq1＋2＋…＋n－1＝，
故当n＝1或2时，Tn取最大值2.]
14．32
解析 由q≠－1及等比数列的性质，知S3，S6－S3，S9－S6成等比数列．又S6－3S3＝4，
∴S9－S6＝＝
＝4S3＋＋16≥2＋16＝32，
当且仅当S3＝2时，等号成立，
∴S9－S6的最小值为32.
15．1－
解析 令x＝n，y＝1，
则f(n)·f(1)＝f(n＋1)，又an＝f(n)，
∴＝＝f(1)＝a1＝，
∴数列{an}是以为首项，为公比的等比数列，
∴Sn＝＝1－.
16.(1)证明 当n＝1时，
由Sn＝n－5an－85可知，
a1＝－14；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝－5an＋5an－1＋1，
即6an＝5an－1＋1.
因此6an－6＝5an－1＋1－6＝5(an－1－1)，
所以an－1＝(an－1－1)．
又a1－1＝－15≠0，
所以数列{an－1}是等比数列．
(2)解 由(1)知，
an－1＝－15×n－1，
得an＝1－15×n－1，
从而Sn＝75×n－1＋n－90，n∈N*.
解不等式Sn得n－1<，n>＋1≈14.9，
当n≥15时，数列{Sn}单调递增；
同理可得，当n≤15时，
数列{Sn}单调递减．
故当n＝15时，Sn取得最小值．第3课时 数列的综合应用
1．某森林原有木材量为a m3，每年以25%的速度增长，5年后，这片森林共有木材量( )
A．a(1＋25%)5 B．a(1＋25%)4
C．4a D．a(1＋25%)6
2．观察一列算式：1 1,1 2,2 1,1 3,2 2,3 1，1 4，2 3,3 2,4 1，…，则式子3?5是第( )
A．22项 B．23项
C．24项 D．25项
3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，则S10等于( )
A．211－12 B．211－10
C．210－12 D．210－8
4．一同学在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前120个圈中的●的个数是( )
A．12 B．13 C．14 D．15
5.公园中有一块如图所示的五边形荒地，公园管理部门计划在该荒地种植126棵观赏树，若1至6六个区域种植的观赏树棵数成等比数列，且前3个区域共种植14棵，则第5个区域种植的观赏树棵数为( )
A．16 B．28 C．32 D．64
6．(多选)已知数列{an}是等比数列，则( )
A．数列{|an|}是等比数列
B．数列{anan＋1}是等比数列
C．数列{lg a}是等比数列
D．数列是等比数列
7.如图所示是毕达哥拉斯(Pythagoras)的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形…如此继续．若共得到1 023个正方形，设初始正方形的边长为，则最小正方形的边长为________．
8．农民收入由工资收入和其他收入两部分构成.2017年某地区农民人均收入为13 150元(其中工资收入为7 800元，其他收入为5 350元)．预计该地区自2018年起的6年内，农民的工资收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元．根据以上数据，2023年该地区农民人均收入约为_______元．(其中1.064≈1.26，1.065≈1.34,1.066≈1.42)
9．如图，将数列{2n}(n∈N*)依次从左到右，从上到下排成三角形数阵，其中第n行有n个数．
2 ……第1行
4 6 ……第2行
8 10 12 ……第3行
14 16 18 20 ……第4行
… …
(1)求第5行的第2个数；
(2)问数32在第几行第几个；
(3)记第i行的第j个数为ai，j(如a3，2表示第3行第2个数，即a3，2＝10)，求＋＋＋＋＋的值．
10．记Sn为数列{an}的前n项和，满足Sn＝2an＋n.
(1)证明数列{an－1}是等比数列，并求出通项公式an；
(2)求数列{nan}的前n项和Tn.
11．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为20%，若A分得资金1 000元，则B，C所分得资金分别为800元和640元．某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得单位奖励68 780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配资金，且甲与丙共获得资金36 200元，则“衰分比”与丁所获得的资金分别为( )
A．20%,14 580元 B．10%,14 580元
C．20%,10 800元 D．10%,10 800元
12．2016年崇明区政府投资8千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从2017年起，在今后的若干年内，每年继续投资2千万元用于此项目.2016年该项目的净收入为5百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均在上一年的基础上增长50%.记2016年为第1年，f(n)为第1年至此后第n(n∈N*)年的累计利润(注：含第n年，累计利润＝累计净收入－累计投入，单位：千万元)，且当f(n)为正值时，认为该项目赢利．根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利( )
A．2020 B．2021
C．2022 D．2023
13．(多选)在数列{an}中，如果对任意n∈N*都有＝k(k为常数)，则称{an}为等差比数列，k称为公差比，现给出下列命题，其中正确的是( )
A．等差比数列的公差比一定不为0
B．等差数列一定是等差比数列
C．若an＝－3n＋2，则数列{an}是等差比数列
D．若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比
14.如图，正△ABC的边长为20 cm，取BC边的中点E，作正△BDE；取DE边的中点G，作正△DFG……如此继续下去，可得到一列三角形△ABC，△BDE，△DFG…，则前20个正三角形的面积和为________．
15．(多选)如图(1)，线段AB的长度为a，在线段AB上取两个点C，D，使得AC＝DB＝AB，以CD为一边在线段AB的上方作一个正六边形，然后去掉线段CD，得到图(2)中的图形；对图(2)中的最上方的线段EF作相同的操作，得到图(3)中的图形，依次类推，我们就得到了一系列图形．
记第n个图形(图(1)为第1个图形)中的所有线段长度的和为Sn，现给出有关数列{Sn}的四个命题，其中正确的是( )
A．数列{Sn}是等比数列
B．数列{Sn}是递增数列
C．存在最小的正数a，使得对任意的正整数n，都有Sn>2 023
D．存在最大的正数a，使得对任意的正整数n，都有Sn<2 023
16．习主席说：“绿水青山就是金山银山”．某地响应号召，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，2019年投入1 000万元，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计为500万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加.
(1)设n年内(2019年为第一年)总投入为Sn万元，旅游业总收入为Tn万元，写出Sn，Tn的表达式；
(2)至少到哪一年，旅游业的总收入才能超过总投入．
(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 5≈0.699 0)
第3课时 数列的综合应用
1．A 2.C 3.A
4．C [从左到右，第一个●位于2的位置，第二个●位于2＋3＝5的位置，第三个●位于5＋4＝9的位置，….设第n个●位于an的位置，由规律可知an＝an－1＋n＋1，则an＝an－1＋n＋1＝an－2＋n＋n＋1＝…＝a1＋3＋4＋…＋n＋1＝2＋3＋…＋n＋1＝，而a14＝119<120，所以前120个圈中的●个数为14.]
5．C [由题意，设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，
可得＝14且＝126，
所以＝1＋q3＝＝9，
解得a1＝2，q＝2，则a5＝2×24＝32，即第5个区域种植32棵．]
6．ABD [根据题意，数列{an}是等比数列，设其公比为q，则＝q(n∈N*)，对于选项A，对于数列{|an|}，
有＝|q|(n∈N*)，
因此数列{|an|}是等比数列，
即选项A正确；
对于选项B，对于数列{anan＋1}，有＝q2(n∈N*)，因此数列{anan＋1}为等比数列，即选项B正确；
对于选项C，对于数列{lg a}，若an＝1，则数列{an}是等比数列，但数列{lg a}不是等比数列，故选项C错误；
对于选项D，对于数列，有＝＝，故数列为等比数列，因此选项D正确．]
7.
解析 由题意得1＋2＋4＋…＋2n－1＝1 023，即＝1 023，解得n＝10.正方形的边长构成数列，2，3，…，其中第10项为10＝，即所求最小正方形的边长为.
8．17 386
解析 农民人均收入来源于两部分，
一是工资收入为7 800×(1＋6%)6＝7 800×1.066≈11 076(元),
二是其他收入为5 350＋6×160＝6 310(元)，
因此，2023年该地区农民人均收入为11 076＋6 310＝17 386(元)．
9．解 (1)记an＝2n，由数阵可知，
第5行的第2个数为a12.
因为an＝2n，
所以第5行的第2个数为24.
(2)因为an＝32，所以n＝16.
由数阵可知，32在第6行第1个．
(3)由数阵可知a1,1＝2，a2,2＝6，a3,3＝12，a4,4＝20，a5,5＝30，a6,6＝42.所以＋＋＋＋＋＝＋＋＋＋＋＝＋＋＋…＋＝1－＋－＋－…－＝.
10．解 (1)由Sn＝2an＋n，当n＝1时，S1＝2a1＋1，得a1＝－1，
当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋(n－1)．
作差可得an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1＋1，所以an＝2an－1－1，
即an－1＝2(an－1－1)．
数列{an－1}是以a1－1＝－2为首项，以2为公比的等比数列，
所以an－1＝－2×2n－1＝－2n，
故an＝1－2n.
(2)由(1)知nan＝n(1－2n)＝n－n·2n，
设S为数列{n·2n}的前n项和，
则S＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n，①
所以2S＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，②
①－②得，－S＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1
＝－n×2n＋1
＝－2＋2n＋1－n×2n＋1
＝－2－(n－1)×2n＋1，
所以S＝2＋(n－1)×2n＋1，
又数列{n}的前n项和为，
所以Tn＝－2－(n－1)×2n＋1
＝－(n－1)×2n＋1.
11．B [设“衰分比”为q，甲获得的奖金为a1，则
解得
故a1(1－q)3＝14 580.]
12．D [由题意知，第1年至此后第n(n∈N*)年的累计投入为8＋2(n－1)＝(2n＋6)千万元，
第1年至此后第n(n∈N*)年的累计净收入为＋×1＋×2＋…＋×n－1＝＝千万元，
∴f(n)＝n－1－(2n＋6)＝千万元．
∵f(n＋1)－f(n)
＝
－
＝×，
∴当n≤3时，f(n＋1)－f(n)＜0，
故当n<4时，f(n)单调递减；
当n≥4时，f(n＋1)－f(n)＞0，
故当n≥4时，f(n)单调递增．
又f(1)＝－＜0，f(7)＝7－21≈17－21＝－4＜0，
f(8)＝8－23≈25－23＝2＞0.
∴该项目将从第8年开始并持续赢利．
该项目将从2023年开始并持续赢利．]
13．ACD [对于A，若公差比为0，则an＋2－an＋1＝0，故{an}为常数列，从而＝k的分母为0，无意义，所以公差比一定不为零；对于B，当等差数列为常数列时，不能满足题意；对于C，若an＝－3n＋2，则＝＝3是公差比为3的等差比数列；
对于D，an＝a1qn－1代入＝q，命题正确，所以正确命题为A，C，D.]
14.cm2
解析 设第n个三角形边长为a cm，则第n＋1个三角形边长为 cm，设第n个三角形面积为an cm2，
则an＝a2 cm2，an＋1＝·2＝a2 cm2，
∵＝，a1＝S△ABC＝×202＝100 cm2，
所以这些三角形面积成等比数列，且公比q＝，首项a1＝100，所以前20个正三角形的面积和为S20＝＝cm2.
15．BD [由题意，得题图(1)中的线段为a，S1＝a，题图(2)中的正六边形的边长为，S2＝S1＋×4＝S1＋2a；题图(3)中的最小正六边形的边长为，S3＝S2＋×4＝S2＋a；题图(4)中的最小正六边形的边长为，S4＝S3＋×4＝S3＋；依次类推，Sn－Sn－1＝，
所以{Sn}为递增数列，但不是等比数列，即A错误，B正确；因为Sn＝S1＋(S2－S1)＋(S3－S2)＋…＋(Sn－Sn－1)＝a＋2a＋a＋＋…＋＝a＋＝a＋4a<5a，即存在最大的正数a＝，使得对任意的正整数n，都有Sn<2 023，即D正确，C错误．]
16．解 (1)2019年投入为1 000万元，第n年投入为1 000×n－1万元，
所以n年内的总投入为
Sn＝1 000＋1 000×＋…＋1 000×n－1
＝
＝5 000×，
2019年收入为500万元，第2年收入为500×万元，
第n年收入为500×n－1万元．
所以n年内的总收入为
Tn＝500＋500×＋…＋500×n－1＝
＝2 000×.
(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此Tn－Sn>0，
即2 000×－5 000×>0，
化简得5×n＋2×n－7>0，
设x＝n，代入上式并整理得5x2－7x＋2>0，
解此不等式，得x<或x>1(舍去)．
即n<，由此得n≥5.
故至少到2023年旅游业的总收入才能超过总投入．
