4.4 数学归纳法 课时练（含答案）

§4.4*　数学归纳法
1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步应验证n等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝2时，若已假设n＝k(k≥2)为偶数时命题为真，则还需要用归纳假设再证(　　)
A．n＝k＋1时等式成立
B．n＝k＋2时等式成立
C．n＝2k＋2时等式成立
D．n＝2(k＋2)时等式成立
3．用数学归纳法证明等式1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N*)的过程中，第二步假设当n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到(　　)
A．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝k2
B．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋1)2
C．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋2)2
D．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋3)2
4．已知经过同一点的n(n∈N*，n≥3)个平面，任意三个平面不经过同一条直线，若这n个平面将空间分成f(n)个部分．现用数学归纳法证明这一命题，证明过程中由n＝k到n＝k＋1时，应证明增加的空间个数为(　　)
A．2k
B．2k＋2
C.
D．k2＋k＋2
5．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋＞(n∈N*)的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，不等式左边的变化情况为(　　)
A．增加
B．增加＋
C．增加＋，减少
D．增加，减少
6．若命题A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)时成立，则有n＝k＋1时命题也成立．现知命题对n＝n0(n0∈N*)成立，则有(　　)
A．命题对所有正整数都成立
B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立
C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立
D．以上说法都不正确
7．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)＝________.
8．证明：假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k，那么2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)，即当n＝k＋1时等式也成立．因此对于任意n∈N*等式都成立．
以上用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n＝n2＋n(n∈N*)”的过程中的错误为____________________________．
9．证明：＋＋＋…＋＋＝1－(n∈N*)．
10．用数学归纳法证明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*)．
11．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上(　　)
A．(k＋1)2
B．k2＋1
C.
D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
12．(多选)已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N*)，若当n＝1,2，…，1 000时，p(k)成立，且当n＝1 001时也成立，则下列判断中正确的是(　　)
A．p(k)对k＝528成立
B．p(k)对每一个自然数k都成立
C．p(k)对每一个正偶数k都成立
D．p(k)对某些偶数可能不成立
13．已知f＝＋＋＋＋…＋，则(　　)
A．f中共有n项，当n＝2时，f＝＋
B．f中共有项，当n＝2时，f＝1＋＋＋
C．f中共有项，当n＝2时，f＝1＋＋＋
D．f中共有项，当n＝2时，f＝1＋＋＋
14．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.
15．用数学归纳法证明“已知n为正奇数，求证：xn＋yn能被x＋y整除”时，第二步假设当n＝k(k∈N*)时命题为真后，需证n＝________时命题也为真．
16．试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论．
§4.4*　数学归纳法
1．C　2.B　3.B　4.A　5.C
6．C　[由已知得n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立．在n＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C.]
7.＋＋
解析　注意末项与首项，
所以f(n＋1)－f(n)＝＋＋.
8．缺少步骤归纳奠基
9．证明　(1)当n＝1时，左边＝，
右边＝1－＝，等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，
等式成立，即＋＋＋…＋＋＝1－，
那么当n＝k＋1时，
左边＝＋＋＋…＋＋＋＝1－＋＝1－＝1－.
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
根据(1)和(2)，
可知等式对任意n∈N*都成立．
10．证明　(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2×(2－3)＋3＝1，左边＝右边，所以等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＝2k(2k－3)＋3.
则当n＝k＋1时，1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＋(2k＋1)×2k＝2k(2k－3)＋3＋(2k＋1)×2k＝2k(4k－2)＋3＝2k＋1[2(k＋1)－3]＋3，
即当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)(2)知，等式对任何n∈N*都成立．
11．D　[因为当n＝k时，
等号的左端为1＋2＋3＋…＋k2，
当n＝k＋1时，等号的左端为1＋2＋3＋…＋2，
所以增加了(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2.]
12．AD　[由题意知p(k)对k＝2,4,6，…，2 002成立，当k取其他值时不能确定p(k)是否成立，故选AD.]
13．C　[f中共有n2－＋1＝n2－n＋2项，当n＝2时，
f＝1＋＋＋.]
14．π
解析　由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，
故f(k＋1)＝f(k)＋π.
15．k＋2
解析　因为n为正奇数，
所以n＝k＋2时命题也为真．
16．解　当n＝1时，21＋2＝4>n2＝1，
当n＝2时，22＋2＝6>n2＝4，
当n＝3时，23＋2＝10>n2＝9，
当n＝4时，24＋2＝18>n2＝16，
由此可以猜想，
2n＋2>n2(n∈N*)成立．
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，
左边＝21＋2＝4，右边＝1，
所以左边>右边，所以原不等式成立．
当n＝2时，左边＝22＋2＝6，
右边＝22＝4，
所以左边>右边；
当n＝3时，左边＝23＋2＝10，
右边＝32＝9，
所以左边>右边．
(2)假设当n＝k时(k≥3，
且k∈N*)时，不等式成立，
即2k＋2>k2.
那么当n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2k2－2.
又∵2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3
＝(k－3)(k＋1)≥0，
即2k2－2≥(k＋1)2，
故2k＋1＋2>(k＋1)2成立．
根据(1)和(2)，
原不等式对于任意n∈N*都成立．