第四章 习题课 等比数列的概念的综合问题（含答案）

习题课　等比数列的概念的综合问题
1．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为(　　)
A. B．4 C．2 D.
2．设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8等于(　　)
A．12 B．24 C．30 D．32
3．(多选)已知等差数列a，b，c三项之和为12，且a，b，c＋2成等比数列，则a等于(　　)
A．－2 B．2 C．－8 D．8
4．已知{an}是等差数列，且公差d≠0，若a＝，b＝，c＝，则a，b，c(　　)
A．是等比数列，非等差数列
B．是等差数列，非等比数列
C．既非等比数列，又非等差数列
D．既是等差数列，又是等比数列
5．一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列的项数是(　　)
A．13
B．12
C．11
D．10
6．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，则第5节的容积为(　　)
A．2 B. C．3 D.
7．在等比数列{an}中，anan＋1＝4n－1，则数列{an}的公比为________．
8．画一个边长为2的正方形，再以这个正方形的一条对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的一条对角线为边画第3个正方形，……，这样共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________．
9．某公司的销售额下跌严重，从2023年的7月销售收入128万元，到9月跌至32万元，你能求出该公司7月到9月之间平均每月下降的百分比吗？若按此计算，到什么时候每月销售收入跌至8万元？
10．在等比数列{an}(n∈N*)中，a1>1，公比q>0.设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0.
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项公式an.
11．已知数列{an}满足a2＝1，a3＝6，且数列{an＋n}为等比数列，则a4的值为(　　)
A．23 B．32 C．36 D．40
12．已知等比数列{an}中，a2＝，a5＝，则数列的前10项之和是(　　)
A．45 B．－35 C．55 D．－55
13．已知{an}是各项均为正数的等比数列，给出下列结论：①a2a4＝a1a5；②a1＋a5≥2a3；③a1＋a5≥a2＋a4；④若a5>a3，则a4>a2.其中正确的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
14．若数列{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a6＝b7，则有(　　)
A．a3＋a9≤b4＋b10
B．a3＋a9≥b4＋b10
C．a3＋a9≠b4＋b10
D．a3＋a9与b4＋b10的大小关系不确定
15．已知在等差数列{an}中，a2＋a4＝16，a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，把各项按如图所示排列．则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为______．
16．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，nSn＋1－(n＋1)Sn＝，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)是否存在正整数k，使ak，S2k，a4k成等比数列？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．
习题课　等比数列的概念的综合问题
1．C　2.D　3.BD
4．A　[由{an}是等差数列，且公差d≠0，得a1，a3，a5是公差为2d的等差数列，故a，b，c成等比数列，若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则该数列只能是常数列，而a，b，c不是常数列，故a，b，c不是等差数列．]
5．B　[设该数列的项数为n，则由前三项的积为3，得aq3＝3，①
由最后三项的积为9，
得an－2·an－1·an＝aq3n－6＝9，②
①×②，得a·q3·a·q3n－6＝27，
∴aq3n－3＝27，
∴aqn－1＝3.
∵所有项的积为729，
∴a1a2…an＝729，
∴a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝729，
∴a＝729，
∴(aqn－1)n＝7292，
∴3n＝(36)2＝312，
∴n＝12.]
6．D　[方法一　依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列{an}，设其公比为q(q≠0)，由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，
可知解得a1q＝，q3＝，所以第5节的容积为a1q4＝a1q·q3＝×＝.
方法二　依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列{an}，由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，可知a1a2a3＝3，a7a8a9＝9，由等比数列的性质可知a1a2a3a7a8a9＝(a1a9)·(a2a8)·(a3a7)＝a＝27.所以a5＝.]
7．2
解析　设等比数列{an}的公比为q.
∵anan＋1＝4n－1>0，
∴an＋1an＋2＝4n且q>0，
两式相除可得＝＝4，
即q2＝4，∴q＝2.
8．2 048
解析　依题意，得这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}，所以an＝2×()n－1，所以第10个正方形的面积S＝a
＝[2×()9]2＝4×29＝2 048.
9．解　设每月平均下降的百分比为x，
则每月的销售收入构成了等比数列{an}，
a1＝128，则a2＝a1(1－x)，
a3＝a1(1－x)2＝128(1－x)2＝32，
解得x＝50%.
设an＝8，an＝128(1－50%)n－1＝8，解得n＝5，
所以从2023年的7月算起第5个月，即2023年的11月该公司的销售收入跌至8万元．
10．(1)证明　因为bn＝log2an，
所以bn＋1－bn＝log2an＋1－log2an
＝log2＝log2q(q>0)为常数，
所以数列{bn}为等差数列且公差d＝log2q.
(2)解　因为b1＋b3＋b5＝6，
所以(b1＋b5)＋b3＝2b3＋b3＝3b3＝6，
即b3＝2.
又因为a1>1，
所以b1＝log2a1>0，
又因为b1b3b5＝0，所以b5＝0，
即即
解得
因此Sn＝4n＋×(－1)＝.
又因为d＝log2q＝－1，
所以q＝，
又b1＝log2a1＝4，
所以a1＝16，所以an＝16×n－1＝25－n(n∈N*)．
11．A　[设bn＝an＋n，
则{bn}为等比数列，
设公比为q，则b2＝a2＋2＝3，
b3＝a3＋3＝9，
∴q＝3，
∴b4＝b3·3＝9×3＝27，
即a4＋4＝27，∴a4＝23.]
12．D　[设等比数列{an}的公比为q，
由a2＝，a5＝，可得a2q3＝×q3＝，解得q＝，
又由a1q＝a1×＝，
解得a1＝，
所以an＝n，
则log2an＝log2n＝－n，
所以{log2an}是等差数列，
数列的前10项之和为
S10＝＝－55.]
13．D　[设数列{an}的公比为q(q>0)．
根据等比数列的概念可知①正确；
对于②，a1＋a5＝a3≥2a3，当且仅当q＝1时，等号成立，所以②正确；
对于③，a1＋a5－(a2＋a4)＝a3·＝(1－q)(1－q3)≥0，所以③正确；
对于④，因为{an}的各项均为正数，且a5>a3，所以q>1，所以a4>a2，④正确．]
14．B　[设an＝a1qn－1，
bn＝b1＋(n－1)d，
∴(a3＋a9)－(b4＋b10)
＝(a1q2＋a1q8)－(b1＋3d＋b1＋9d)
＝a1q2＋a1q8－2(b1＋6d)
＝a1q2＋a1q8－2b7
＝a1q2＋a1q8－2a1q5
＝a1q2(1＋q6－2q3)
＝a1q2(1－q3)2≥0.
∴a3＋a9≥b4＋b10.]
15．275或8
解析　设数列{an}的公差为d，
由a2＋a4＝16，得a1＋2d＝8，①
由a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，
得(a2＋1)2＝(a1＋1)(a4＋1)，
整理得d2－a1d－d＝0，②
由①②解得d＝3或d＝0，
当d＝3时，a1＝2，an＝3n－1.由题图可得第10行第11个数为数列{an}中的第92项，a92＝3×92－1＝275.
当d＝0时，an＝8，a92＝8.
16．解　(1)由nSn＋1－(n＋1)Sn＝，
得－＝，
∴数列是首项为＝1，
公差为的等差数列，
∴＝1＋(n－1)＝(n＋1)，
∴Sn＝.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.
a1＝1也适合上式，∴an＝n.
(2)由(1)知an＝n，Sn＝.
假设存在正整数k，
使ak，S2k，a4k成等比数列，
则S＝ak·a4k，
即2＝k·4k.
∵k为正整数，
∴(2k＋1)2＝4.
得2k＋1＝2或2k＋1＝－2，
解得k＝或k＝－，
与k为正整数矛盾．
∴不存在正整数k，
使ak，S2k，a4k成等比数列．