第四章 习题课 数列求和(二)（含答案）

习题课　数列求和(二)
1．等比数列{an}中，a5＝2，a6＝5，则数列{lg an}的前10项和等于(　　)
A．6 B．5
C．4 D．3
2．我国古代数学家杨辉、朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列，数列(n∈N*)的前3项和是(　　)
A．11 B．10 C．9 D．8
3．数列{n·2n}的前n项和等于(　　)
A．n·2n－2n＋2 B．n·2n＋1－2n＋1＋2
C．n·2n＋1－2n D．n·2n＋1－2n＋1
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝a2＋a2 022，且A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，则S2 023的值为(　　)
A. B．1 011
C. D．1 012
5．(多选)在古希腊，毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28,36,45，…这些数叫做三角形数．设第n个三角形数为an，则下面结论正确的是(　　)
A．an－an－1＝n(n>1)
B．a20＝210
C．1 024是三角形数
D.＋＋＋…＋＝
6．已知数列{an}满足a1＝16，(n＋1)an＋1＝2(n＋2)an，则{an}的前100项和为(　　)
A．25×2102 B．25×2103
C．25×2104 D．25×2105
7．已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，点M(2，log2a2)，N(5，log2a5)都在直线y＝x－1上，则数列{an}的前n项和为________．
8．已知数列{an}满足an＝(3n－2)·，则数列{an}的前n项和Tn＝________.
9．求数列1,3a，5a2，7a3，…，(2n－1)an－1(a≠0)的前n项和．
10．已知数列{an}满足a1＝－1，记数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋n2＝n(an＋1)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝acos ，求数列{bn}的前100项和T100.
11．观察下列式子：
1×2＝×；
2×3＝×；
3×4＝×；
…
根据规律，则1×2＋2×3＋3×4＋…＋2 021×2 022等于(　　)
A.×2 020×2 021×2 022
B.×2 021×2 022×2 023
C.×
D.×
12．对于数列{an}，定义An＝为数列{an}的“好数”，已知某数列{an}的“好数”An＝2n＋1，记数列{an－kn}的前n项和为Sn，若Sn≤S6对任意的n∈N*恒成立，则实数k的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
13．(多选)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的为(　　)
A．a5＝8
B．an＋3＝2an＋1＋an对 n∈N*恒成立
C．a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝a2 022
D.＝a2 022
14．定义Gn＝为数列{an}的“匀称值”，若数列{an}的“匀称值”为2，设bn＝数列的前n项和为Sn，则S20＝________.
15．“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图所示，去掉所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5，…，则此数列的前46项和为________．
16．已知等比数列{an}的公比q>1，且a3＋a5＝40，a4＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，Sn是数列{bn}的前n项和，对任意正整数n，不等式Sn＋>(－1)n·a恒成立，求a的取值范围．
习题课　数列求和(二)
1．B　2.B　3.B
4．C　[∵＝a2＋a2 022，
且A，B，C三点共线，
∴a2＋a2 022＝1，
∵{an}是等差数列，
∴a1＋a2 023＝a2＋a2 022＝1，
∴S2 023＝＝.]
5．ABD　[∵a2－a1＝2，a3－a2＝3，
a4－a3＝4，…，由此可归纳得an－an－1＝n(n>1)，故A正确；
将前面的所有项累加可得an＝＋a1＝，
∴a20＝210，故B正确；
令＝1 024，
此方程没有正整数解，故C错误；
由an＝，
得＝＝2，
∴＋＋…＋
＝2
＝2＝，故D正确．]
6．D　[因为a1＝16，(n＋1)an＋1＝2(n＋2)an，
所以＝，又＝8，
所以数列是以8为首项，2为公比的等比数列，则＝2n＋2，即an＝(n＋1)2n＋2.
设{an}的前n项和为Tn，则
Tn＝2×23＋3×24＋4×25＋…＋(n＋1)2n＋2,2Tn＝2×24＋3×25＋4×26＋…＋(n＋1)2n＋3，
两式相减，得－Tn＝2×23＋24＋25＋…＋2n＋2－(n＋1)2n＋3＝2×23＋－(n＋1)2n＋3＝－n·2n＋3，所以Tn＝n·2n＋3，T100＝100×2103＝25×2105.]
7．2n－1
解析　由题意可得log2a2＝2－1＝1，log2a5＝5－1＝4，则a2＝2，a5＝16，数列{an}的公比q＝＝＝2，数列{an}的首项a1＝＝＝1，
前n项和Sn＝＝2n－1.
8.－×
解析　Tn＝1×＋4×＋7×＋…＋(3n－2)×.①
①×得
Tn＝1×＋4×＋7×＋…
＋(3n－5)×＋(3n－2)×，②
①－②，得
Tn＝＋3×＋3×＋3×＋…＋3×－(3n－2)×＝＋3×－(3n－2)×＝－×－(3n－2)×.
∴Tn＝－×－×
＝－×.
9．解　设该数列的前n项和为Sn，
当a＝1时，数列为1,3,5,7，…，2n－1，
则Sn＝＝n2；
当a≠0且a≠1时，Sn＝1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋(2n－1)an－1，①
aSn＝a＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)·an－1＋(2n－1)an，②
①－②，得Sn－aSn＝1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an－1－(2n－1)an，
即(1－a)Sn＝1－(2n－1)an＋2(a＋a2＋a3＋…＋an－1)＝1－(2n－1)an＋2·
＝1－(2n－1)an＋，
又1－a≠0，
∴Sn＝＋.
综上，
Sn＝
10．解　(1)因为Sn＋n2＝n(an＋1)，
所以Sn＋1＋(n＋1)2＝(n＋1)(an＋1＋1)，
两式相减，得nan＋1－nan＝2n，
所以an＋1－an＝2.
又a1＝－1，所以数列{an}是首项为－1，公差为2的等差数列，
所以an＝－1＋(n－1)×2＝2n－3.
(2)由bn＝acos，
得当n＝2k－1(k∈N*)时，bn＝0，
当n＝4k(k∈N*)时，bn＝a，
当n＝4k－2(k∈N*)时，bn＝－a，
所以T100＝(a－a)＋(a－a)＋…＋(a－a)＝(a4－a2)(a4＋a2)＋(a8－a6)(a8＋a6)＋…＋(a100－a98)·(a100＋a98)
＝4(a2＋a4＋a6＋…＋a100)
＝4××50
＝100×(1＋197)＝19 800.
11．B　[由规律可得n×＝[n××－×n×]，
所以1×2＋2×3＋3×4＋…＋2 021×2 022
＝×(1×2×3－0×1×2＋2×3×4－1×2×3＋3×4×5－2×3×4＋…＋2 021×2 022×2 023－2 020×2 021×2 022)
＝×
＝×2 021×2 022×2 023.]
12．B　[由题意，
An＝＝2n＋1，
则a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n·2n＋1，
当n＝1时，a1＝4，
当n≥2时，a1＋2a2＋…＋2n－2an－1＝(n－1)·2n，
两式相减得，
2n－1an＝n·2n＋1－(n－1)·2n＝(n＋1)2n，
所以an＝2(n＋1)，对a1也成立，
故an＝2(n＋1)，
则an－kn＝(2－k)n＋2，
则数列{an－kn}为等差数列，
故Sn≤S6对任意的n(n∈N*)恒成立可化为a6－6k≥0，a7－7k≤0；
即
解得≤k≤.]
13．BCD　[“斐波那契数列”为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89，…，所以a5＝5，A选项错误；依题意an＋2＝an＋1＋an(n≥1)，所以an＋3＝an＋2＋an＋1，故an＋3＝2an＋1＋an对 n∈N*恒成立，B选项正确；a1＝a2，a3＝a4－a2，a5＝a6－a4，…，a2 021＝a2 022－a2 020，
所以a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝a2 022，C选项正确；
a＝a2·a1，a＝a2·(a3－a1)＝a2·a3－a2·a1，a＝a3·(a4－a2)＝a3·a4－a3·a2，…，
a＝a2 021·(a2 022－a2 020)
＝a2 021·a2 022－a2 021·a2 020，
所以a＋a＋…＋a＝a2 021·a2 022，所以D选项正确．]
14.
解析　由题意可得
Gn＝＝2，
所以a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，
当n＝1时，则有a1＝2；当n≥2时，由a1＋2a2＋3a3＋…＋an－1＋nan＝2n得a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2，上述两个等式作差可得nan＝2，则an＝，
a1＝2也满足an＝，
故对任意的n∈N*，
an＝，则bn＝
所以S20＝(2＋6＋10＋…＋38)＋
＝＋
＝200＋－＝.
15．2 037
解析　由题意可知，n次二项式的二项式系数对应“杨辉三角”中的第n＋1行，
则“杨辉三角”第n＋1行各项之和为2n，
∴第n＋1行去掉所有为1的项的各项之和为2n－2，
从第3行开始每一行去掉所有为1的项的数字个数为1,2,3,4，…，
则1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45，即至第11行结束，数列共有45项，
∴第46项为第12行第1个不为1的数，
即为C＝11，
∴前46项的和为21－2＋22－2＋23－2＋…＋210－2＋11＝2 037.
16．解　(1)因为
所以q＝2，a3＝8，
所以数列{an}的通项公式为
an＝a3qn－3＝2n.
(2)因为bn＝，
所以Sn＝＋＋＋…＋，
Sn＝＋＋＋…＋＋，
两式相减得，Sn＝＋＋＋…＋－，所以
Sn＝1＋＋＋…＋－
＝－＝2－.
所以不等式Sn＋>(－1)n·a对任意正整数n恒成立，
即2－>(－1)n·a对任意正整数n恒成立．
设f(n)＝2－(n∈N*)，
易知f(n)单调递增．
当n为奇数时，f(n)的最小值为1，
所以－a<1，解得a>－1；
当n为偶数时，f(n)的最小值为，所以a<.
综上，a的取值范围是.