第四章 习题课 数列求和(一)（含答案）

习题课　数列求和(一)
1．求值：1－3＋5－7＋9－11＋…＋2 021－2 023等于(　　)
A．－2 024 B．－1 012
C．－506 D．1 012
2．数列1，3，5，7…的前n项和Sn为(　　)
A．n2＋1－ B．n2＋2－
C．n2＋1－ D．n2＋2－
3．已知数列{an}中，a1＝1，an＋an＋1＝3，Sn为其前n项和，则S2 023等于(　　)
A．3 033 B．3 034 C．3 035 D．3 036
4．已知数列{an}：，＋，＋＋，＋＋＋，…，那么数列{bn}＝前n项的和Sn为(　　)
A．4 B．4
C．1－ D.－
5．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－3n，则其前20项和为(　　)
A．380－×
B．420－×
C．400－×
D．440－×
6．(多选)数列{an}是首项为1的正项数列，an＋1＝2an＋3，Sn是数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是(　　)
A．a3＝13
B．数列是等比数列
C．an＝4n－3
D．Sn＝2n＋1－n－2
7．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝________.
8．数列{an}的通项公式an＝，则该数列的前n项和Sn＝________.
9．已知等差数列{an}的前4项和为10，且a2，a3，a7成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝an＋2n，求数列的前n项和Sn.
10．已知等差数列{an}中，2a2＋a3＋a5＝20，且前10项和S10＝100.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和．
11．若数列{an}的通项公式是an＝
其前n项和为Sn，则S30等于(　　)
A．120 B．180 C．240 D．360
12．已知等差数列{an}中，a3＋a5＝a4＋7，a10＝19，则数列{ancos nπ} 的前2 022项和为(　　)
A．1 010 B．1 011
C．2 021 D．2 022
13．已知正项数列{an}是公比不等于1的等比数列，且lg a1＋lg a2 023＝0，若f(x)＝，则f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a2 023)等于(　　)
A．2 022 B．4 036 C．2 023 D．4 038
14．数列{an}满足，n∈N*，其前n项和为Sn，若Sn15．在各项都为正数的等比数列{an}中，若a1＝2，且a1·a5＝64，则数列的前n项和是(　　)
A．1－ B．1－
C．1－ D．1－
16．已知数列{an}的通项公式为an＝
求数列{an}的前n项和Sn.
习题课　数列求和(一)
1．B　2.C　3.B
4．A　[∵an＝
＝＝，
∴bn＝＝
＝4.
∴Sn＝4
＝4.]
5．B　[数列{an}的前20项和S20＝a1＋a2＋…＋a20＝2×(1＋2＋…＋20)－3×＝2×－3×＝420－×.]
6．AB　[an＋1＝2an＋3，∴an＋1＋3＝2，又a1＋3＝4，∴数列是以4为首项，2为公比的等比数列，
∴an＋3＝4×2n－1＝2n＋1，
∴an＝2n＋1－3，
∴a3＝13，
∴Sn＝－3n
＝2n＋2－3n－4.]
7．44.5
解析　设S＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°，①
将①式右边反序得，
S＝sin289°＋sin288°＋…＋sin23°＋sin22°＋sin21°，②
①＋②得，
2S＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin289°＋sin21°)
＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin289°＋cos289°)＝89，
∴S＝44.5.
8.－
解析　an＝
＝
＝＝－，
∴Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an
＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)
＝－.
9．解　(1)设等差数列{an}的公差为d，
由题意，得
解得或
所以an＝或an＝－2＋3＝3n－5.
(2)当an＝时，bn＝＋2n，
此时Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝n＋＝2n＋1＋n－2；
当an＝3n－5时，bn＝＋2n，
此时Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝·n＋＝2n＋1＋n2－n－2.
10．解　(1)由已知得
解得
所以数列{an}的通项公式为
an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
(2)bn＝
＝，
所以{bn}的前n项和为
＝＝.
11．C　[由题意得S30＝(a1＋a3＋…＋a29)＋(a2＋a4＋…＋a30)＝(1＋2＋…＋15)＋(1＋2＋…＋15)＝×2＝240.]
12．D　[设数列{an}的公差为d，
则
解得
∴an＝2n－1，设bn＝ancos nπ，
∴b1＋b2＝a1cos π＋a2cos 2π＝2，
b3＋b4＝a3cos 3π＋a4cos 4π＝2，…，
∴数列{ancos nπ}的前2 022项和S2 022＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(b2 021＋b2 022)＝2×＝
2 022.]
13．C　[∵正项数列{an}是公比不等于1的等比数列，且lg a1＋lg a2 023＝0，
∴lg(a1·a2 023)＝0，
即a1·a2 023＝1.
∵函数f＝，
∴f(x)＋f ＝＋＝＝2.
令T＝f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a2 023)，
则T＝f(a2 023)＋f(a2 022)＋…＋f(a1)，
∴2T＝f(a1)＋f(a2 023)＋f(a2)＋f(a2 022)＋…＋f(a2 023)＋f(a1)＝2×2 023，
∴T＝2 023.]
14.
解析　an＝
＝，
可得其前n项和Sn＝
＝，
由>0，可得Sn<，
由Sn即M的最小值为.
15．A　[在各项都为正数，公比设为q(q>0)的等比数列{an}中，若a1＝2，且a1·a5＝64，则4q4＝64，解得q＝2，则an＝2n.
数列
即为.
∵＝－，
∴数列的前n项和是
－＋－＋…＋－
＝1－.]
16．解　①当n为大于或等于3的奇数时，
Sn＝[1＋13＋…＋(6n－5)]＋(42＋44＋…＋4n－1)
＝·＋
＝＋
＝＋.
当n＝1时，S1＝a1＝1，
上式同样成立．
②当n为偶数时，
Sn＝[1＋13＋…＋(6n－11)]＋(42＋44＋…＋4n－2＋4n)＝＋.
综上，Sn＝
n∈N*.