第四章 习题课 数列中的构造问题（含答案）

习题课　数列中的构造问题
1．已知数列{an}满足关系：a1＝1，当n≥2时，2an－an－1＋1＝0，则a5等于(　　)
A．31 B．15 C．－ D．－
2．数列{an}满足an＋1＝λan－1(n∈N*，λ∈R且λ≠0)，若数列{an－1}是等比数列，则λ的值为(　　)
A．1 B．－1 C. D．2
3．已知数列{an}(n∈N*)的首项为1，又＝－，其中点O在直线l外，其余三点A，B，C均在l上，那么数列{an}的通项公式是(　　)
A．an＝2n＋1
B．an＝2n－1
C．an＝2n－1
D．an＝2n＋1
4．数列{an}满足an＋1＝2an＋3，n∈N*，若a2 023≥a1，则a1的取值范围为(　　)
A．(－∞，－3]
B．(－∞，－3)
C．(－3，＋∞)
D．[－3，＋∞)
5．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝.若bn＝log2，则数列的通项公式bn等于(　　)
A.n B．n－1 C．n D．2n
6．已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的通项公式an等于(　　)
A．2n
B．n(n＋1)
C.
D.
7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝an＋1－3，若Sk≥125，则k的最小值为________．
8．已知数列{an}的前n项和为Sn，若2Sn＝3an－2n(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为_____________________．
9．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝3an－4n＋2(n∈N*)．
(1)求a2，a3的值；
(2)证明数列{an－2n}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式．
10．某企业投资1 000万元用于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出200万元进行科研技术发行与广告投资方能保持原有的利润增长率．问经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标？(取lg 2≈0.3)
11．已知在数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋n＋1，则an等于(　　)
A.－
B.－
C.－
D.－
12．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，Sn＋1＝4an＋2，则a12等于(　　)
A．20 480
B．49 152
C．60 152
D．89 150
13．定义：若＝q(n∈N*，q为非零常数)，则称{an}为“差等比数列”，已知在“差等比数列”{an}中，a1＝1，a2＝2，a3＝4，则a2 023－a2 022的值是(　　)
A．22 023 B．22 022
C．22 021 D．22 020
14．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＋an＝3，则＝________.
15．(多选)设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＋1＝2Sn＋n－1，则下列结论正确的是(　　)
A．数列{Sn＋n}为等比数列
B．数列{an}的通项公式为an＝2n－1－1
C．数列{an＋1}为等比数列
D．数列{Sn＋1－Sn＋1}为等比数列
16．已知数列{an}和{bn}满足a1＝2，an＋bn－1＝3.
(1)若an＝bn，求{an}的通项公式；
(2)若b1＝0，an－1＋bn＝1，证明{an}为等差数列，并求{an}和{bn}的通项公式．
习题课　数列中的构造问题
1．C　2.D　3.C
4．D　[由an＋1＝2an＋3可得an＋1＋3＝2，
当a1＝－3时，an＝－3，满足题意；
当a1≠－3时，＝2，
所以数列{an＋3}是首项为a1＋3，
公比为2的等比数列，
所以an＋3＝×2n－1，
所以an＝×2n－1－3，
所以a2 023＝×22 022－3≥a1，
所以×22 022≥a1＋3，
所以a1＋3≥0，所以a1≥－3.]
5．C　[由an＋1＝，得＝1＋，
所以＋1＝2，
又＋1＝2，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以＋1＝2×2n－1＝2n，
所以bn＝log2＝log22n＝n.]
6．C　[∵an＋1＝an＋，
∴2n＋1an＋1＝2nan＋2，
即2n＋1an＋1－2nan＝2.
又21a1＝2，
∴数列{2nan}是以2为首项，2为公差的等差数列，
∴2nan＝2＋(n－1)×2＝2n，
∴an＝.]
7．6
解析　由Sn＝an＋1－3＝Sn＋1－Sn－3，
得Sn＋1＋3＝2(Sn＋3)，
又S1＝a1＝1，所以S1＋3＝4，
所以{Sn＋3}是首项为4，公比为2的等比数列，
所以Sn＋3＝4×2n－1＝2n＋1，
Sn＝2n＋1－3，
所以Sk＝2k＋1－3≥125，解得k≥6.
所以k的最小值为6.
8．an＝3n－1
解析　令n＝1，得2a1＝3a1－2，
解得a1＝2；
当n≥2时，由2Sn＝3an－2n(n∈N*)，
得2Sn－1＝3an－1－2(n－1)，
两式相减得2an＝3an－3an－1－2，
即an＝3an－1＋2，
整理得＝3，
所以数列{an＋1}是首项为a1＋1＝3，公比为3的等比数列，
所以an＋1＝3n，所以an＝3n－1.
9．解　(1)由已知得a2＝3a1－4＋2＝3×－4＋2＝5，
a3＝3a2－4×2＋2＝3×5－8＋2＝9.
(2)∵an＋1＝3an－4n＋2，
∴an＋1－2n－2＝3an－6n，
即an＋1－2(n＋1)＝3(an－2n)．
由(1)知a1－2＝－2＝，
∴an－2n≠0，n∈N*.
∴＝3，
∴数列{an－2n}是首项为，
公比为3的等比数列．
∴an－2n＝×3n－1＝3n－2，
∴an＝3n－2＋2n.
10．解　设该项目逐年的项目资金数依次为a1，a2，a3，…，an，n∈N*.
则由已知得an＋1＝an－200，
即an＋1＝an－200.
令an＋1－x＝，
即an＋1＝an－，
由＝200，得x＝800.
∴an＋1－800＝.
故数列是以a1－800为首项，为公比的等比数列．
∵a1＝1 000×－200
＝1 050，
∴a1－800＝250，
∴an－800＝250×n－1，
∴an＝800＋250×n－1(n∈N*)．
由题意知an≥4 000，
∴800＋250×n－1≥4 000，
即n≥16.
两边取常用对数得nlg ≥lg 16，
即n≥4lg 2.
∵lg 2≈0.3，
∴不等式化为0.1n≥1.2，∴n≥12.
故经过12年后，该项目的资金可达到或超过翻两番的目标．
11．A　[因为a1＝，an＋1＝an＋n＋1，所以2n＋1an＋1＝×2nan＋1，整理得2n＋1an＋1－3＝
(2nan－3)，所以数列{2nan－3}是以2a1－3＝－为首项，为公比的等比数列，所以2nan－3＝－n－1，
解得an＝－.]
12．B　[由题意得S2＝4a1＋2，所以a1＋a2＝4a1＋2，解得a2＝8，故a2－2a1＝4，又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1－4an，于是an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，因此数列{an＋1－2an}是以a2－2a1＝4为首项，2为公比的等比数列，即an＋1－2an＝4×2n－1＝2n＋1，于是－＝1，因此数列是以1为首项，1为公差的等差数列，得＝1＋(n－1)×1＝n，即an＝n·2n.
所以a12＝12×212＝49 152.]
13．C　[在“差等比数列”{an}中，
a1＝1，a2＝2，a3＝4，
可得＝2，a2－a1＝1，
即数列{an＋1－an}是首项为1，
公比为2的等比数列，
可得an＋1－an＝2n－1，
则a2 023－a2 022＝22 021.]
14．364
解析　∵2Sn＋an＝2Sn＋＝3，
∴Sn－＝(n≥2)，而当n＝1时，2a1＋a1＝3，即a1＝1，则S1－＝－，
∴数列是以－为首项，为公比的等比数列，
∴Sn＝－·n－1，即有S6＝－，而a6＝3－2S6＝，
∴＝
＝×＝364.
15．AD　[因为Sn＋1＝2Sn＋n－1，
所以＝＝2.
又S1＋1＝2，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故A正确；
所以Sn＋n＝2n，则Sn＝2n－n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－1，但a1≠21－1－1，故B错误；
由a1＝1，a2＝1，a3＝3可得a1＋1＝2，a2＋1＝2，a3＋1＝4，
即≠，故C错误；
由Sn＝2n－n，所以Sn＋1－Sn＋1＝2n＋1－n－1－2n＋n＋1＝2n，
故D正确．]
16．解　(1)当an＝bn，n≥2时，
an－1＝bn－1，
所以an＋bn－1＝3，即an＝－an－1＋3，
整理得an－＝－，
所以是以a1－＝为首项，－1为公比的等比数列．
故an－＝×(－1)n－1，
即an＝＋×(－1)n－1.
(2)当n≥2时，由an＋bn－1＝3，
得an＋1＋bn＝3，
又an－1＋bn＝1，
所以an＋1－an－1＝2.
因为b1＝0，所以a2＝3，
则是以a1＝2为首项，2为公差的等差数列，a2k－1＝2＋×2＝2k，k∈N*；
是以a2＝3为首项，2为公差的等差数列，a2k＝3＋×2＝2k＋1，k∈N*.
综上所述，an＝n＋1.
所以an－an－1＝－n＝1，n≥2，
故{an}是以2为首项，1为公差的等差数列．
当n≥2时，bn＝1－an－1＝1－n，
且b1＝0满足bn＝1－n，
所以bn＝1－n.