数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.3.1函数的单调性 课件（共25张ppt）

(共25张PPT)
5.3.1函数的单调性
5.3 导数在研究函数中的应用
基本初等函数的导数公式：
导数的四则运算法则
复合函数的导数法则
一般地，对于由y=f (u)和u=g(x)复合而成的函数 y=f (g(x))，它的导数与函数y=f (u)，u=g(x)的导数间的关系为
外导乘内导
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积，简单的理解就是复合函数的导数等于内外函数的导数之积.
单调性定义：一般地，对于定义域内给定区间D上的函数f(x)，若对于属于区间D的任意两个自变量的值x1，x2，当x1　 (1)若f(x1)(2)若f(x1)>f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数.
2. 用定义判断函数的单调性步骤
（1）取值 （2）作差 （3）变形 （4）定号 （5）结论
在必修第一册中， 我们通过图象直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大(小)值等性质.
在本章前两节中，我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化. 能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢 本节我们就来讨论这个问题.
我们先来研究前面学习过的高台跳水问题.
t
h
a
O
b
(1)
t
h
a
O
b
(2)
思考1 图(1)是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象，图(2)是跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)=h'(t)=-9.8t+4.8的图象.
运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别 如何从数学上刻画这种区别
观察图象可以发现:
(1) 从起跳到最高点，运动员的重心处于上升
状态，离水面的高度h随时间t的增加而增加，
即h(t)单调递增. 相应地，v(t)=h'(t)>0.
(2) 从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)单调递减. 相应地，v(t)=h'(t)<0.
思考2 我们看到，函数h(t)的单调性与h'(t)的正负有内在联系.
那么，我们能否由h'(t)的正负来判断函数h(t)的单调性呢
对于高台跳水问题，可以发现:
当t∈(0, a)时，h′(t)>0，函数h(t)的图象是“上升”的，函数h(t)在(0, a)内单调递增；
当t∈(a, b)时，h'(t)<0，函数h(t)的图象是“下降”的，函数h(t)在(a, b)内单调递减.
t
h
a
O
b
(1)
t
h
a
O
b
(2)
追问 这种情况是否具有一般性呢？
在区间(a,b)上， h′(t)>0
在区间(a,b)上， h(t)单调递增
在区间(a,b)上， h′(t)<0
在区间(a,b)上， h(t)单调递减
大胆猜测
思考3 观察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系.
x
y
O
(1)
x
y
O
(2)
x
y
O
(3)
x
y
O
(4)
函数的单调性与导数的正负的关系：
如图示，导数f'(x0)表示函数y=f(x)的图象在点(x0, f(x0))处的切线的斜率，可以发现:
在x=x0处，f'(x0)>0，切线是“左下右上”的上升式，函数f(x)的图象也是上升的，函数f(x)在x=x0附近单调递增；
在x=x1处，f'(x1)<0，切线是“左上右下”的下降式，函数f(x)的图象也是下降的，函数f(x)在x=x1附近单调递减.
x
y
O
(x0, f(x0))
(x1, f(x1))
函数的单调性与导数的关系：
一般地，函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系:
在某个区间(a, b)上, 如果f′(x)>0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递增;
在某个区间(a, b)上, 如果f'(x)<0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递减.
思考1 如果在某个区间上恒有f′(x)=0，那么函数f(x)有什么特性
函数y=f(x)在这个区间上是常数函数.
思考2 存在有限个点使得f'(x)=0, 其余点都恒有f ′(x)>0, 则f(x)有什么特性
f(x)仍为增函数.
例如: 对于函数y=x3，y′=3x2.
当x=0时，y′=0，当x>0时，y′>0，
而函数y=x3在R上单调递增.
x
y
O
例1 利用导数判断下列函数的单调性:
解：
x
y
O
(1)
x
y
O
(2)
π
-π
例1 利用导数判断下列函数的单调性:
解：
x
y
O
(3)
1
1
【例】判断函数 f (x)＝ 3x－x3 的单调性，并求出单调区间.
解：f '(x) ＝ 3x－x3＝3－3x2 ＝－3(x2－1) ＝－3(x－1)(x＋1)，
当 f '(x)＞0，即 －1＜x＜1 时，函数 f (x)＝3x－x3 单调递增；
当 f '(x)＜0，即 x＞1 或 x＜－1时，函数 f (x)＝3x－x3 单调递减；
所以函数 f (x) ＝3x－x3 的单调增区间为[－1, 1]，
单调减区间为(－ ∞, －1)， (1, ＋∞)
说明：求函数 y＝f (x) 的单调区间的步骤：
（1）确定函数 y＝f (x) 的定义域.
（2）求导数 y′＝f ′(x).
（3）解不等式 f ′(x)>0，函数在解集所表示的定义域内为增函数.
（4）解不等式 f ′(x)<0，函数在解集所表示的定义域内为减函数.
注意：1. 多个单调区间之间不能用∪，只能用“和”或者逗号，.
2. 单调区间能不能取到端点值，观察定义域。如果包含，写在单调区间一边就可以.
1. 判断下列函数的单调性:
解：
课本P87
1. 判断下列函数的单调性:
解: (2)因为f(x)=ex-x ，其定义域为R.
所以f ′(x)=ex-1.
令f ′(x)= 0，得x=0
所以当x∈(-∞,0)时， f ′(x)<0
当x∈(0,+∞)时， f ′(x)>0 .
所以，函数f(x)=ex-x在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增.
解：
课本P87
解：
例2
x
y
O
1
4
解：
x
y
O
a
b
c
x
y
O
a
b
c
课本P87
原函数要注意其图象在哪个区间内单调递增、在哪个区间内单调递减；
导函数其函数值在哪个区间内大于零、在哪个区间内小于零，
变式
A
x
y
o
1
2
x
y
o
1
2
x
y
o
1
2
x
y
o
1
2
x
y
o
2
(A)
(B)
(C)
(D)
C
设 是函数 的导函数， 的图象如右图所示，则 的图象最有可能的是( )
跟踪练习
√
1. 函数的单调性与其导函数的正负之间的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．
2. 函数图象变化得越快，f′(x)的绝对值越大，不是f′(x) 的值越大．　
总结：
思考 对于在区间（a,b）上的单调函数 y = f (x) ，其平均变化率的几何意义与 f '(x)的正负有什么关系？
a
b
x
o
y
A
B
x 1、x 2 ∈（a,b）,经过点A(x1，f (x1))，B(x2，f (x2))的直线AB的斜率就是平均变化率
设函数 f (x)在区间（a,b）上的导数f '(x)为正
直观上，能找到一点T(x0，f (x0))，使函数 f (x)的图像在点T处的切线与直线AB平行，即
T
从而函数 f (x)在区间（a,b）上单调递增
用此方法同样可以说明函数 f (x)在区
间（a,b）上单调递减，
结论：利用导数的正负来判断函数的单调性，与函数单调性定义是一致的。
课堂总结：
1. 函数单调性与导数符号的关系是：
2.判定函数单调性的步骤：
① 求出函数的定义域； ② 求出函数的导数f (x)；
③ 判定导数f (x)的符号；④ 确定函数f(x)的单调性.
在某个区间(a, b)内
形如 的函数应用广泛，下面我们利用导数来研究这类函数的单调性.