山东省东营市利津县高级中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷(含解析)

山东省东营市利津县高级中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．( )
A.2 B.22 C.12 D.10
2．已知向量,,且,那么实数( )
A.3 B.-3 C.9 D.-9
3．直线与直线平行,则( )
A. B.2或-3 C.-3 D.-2或-3
4．椭圆的焦距是2,则m的值为( )
A.5 B.3 C.5或3 D.20
5．随机变量X服从二项分布：,则它的期望( )
A.0.5 B.2.5 C.5 D.10
6．将6名志愿者分配到两个社区参加服务工作,每名志愿者只分配到1个社区,每个社区至少分配两名志愿者,则有_____种分配方式( )
A.35 B.50 C.60 D.70
7．已知圆和存在公共点,则m的值不可能为( )
A.3 B. C.5 D.
8．在二面角中,,,,,且,,若,,,则二面角的余弦值为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.过,两点的直线方程为
B.是直线与直线垂直的充要条件
C.点关于直线的对称点为
D.直线的图象必过第二象限
10．已知,则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.
11．一工厂将两盒产品送检,甲盒中有4个一等品,3个二等品和3个三等品,乙盒中有5个一等品,2个二等品和3个三等品.先从甲盒中随机取出一个产品放入乙盒,分别以,和表示由甲盒取出的产品是一等品,二等品和三等品的事件;再从乙盒中随机取出一产品,以表示由乙盒取出的产品是一等品的事件.则下列结论中正确的是( )
A.; B.;
C.事件B与事件相互独立; D.,,是两两互斥的事件.
12．设O为坐标原点,,是双曲线的焦点.若在双曲线上存在点P,满足,,则( )
A.双曲线的方程可以是 B.双曲线的渐近线方程是
C.双曲线的离心率为 D.的面积为
三、填空题
13．在二项式的展开式中,常数项是-160,则a的值为____________.
14．已知A,B独立,且,,则____________.
15．已知P为抛物线上任意一点,F为抛物线的焦点,为平面内一定点,则的最小值为______________.
四、双空题
16．若圆上恰有3个点到直线的距离为2,则b的值为______________;若圆C上恰有4个点到直线的距离为2,则b的取值范围为______________.
五、解答题
17．已知的展开式中所有项的二项式系数和为128,各项系数和为-1.
(1)求n和a的值;
(2)求的展开式中的常数项.
18．芯片是二十一世纪最核心的科技产品,我们一直被美国卡脖子,随着中国科技的不断发展,我们在芯片技术上取得了重大突破.有些型号的芯片已经批量生产.某芯片代工公司有3台机器生产同一型号的芯片,第1,2台生产的次品率均为1%,第3台生产的次品率为2%,生产出来的芯片混放在一起.已知第1,2,3台机器生产的芯片数分别占总数的30%,40%,30%.
(1)求任取一个芯片是正品的概率;
(2)如果取到的芯片是次品,分别求出是第1台机器,第2台机器,第3台机器生产的概率.
19．设随机变量X的概率分布列为
（1）确定常数m的值.
（2）写出X的分布列.
（3）计算
20．在6名内科医生和4名外科医生中,内科主任和外科主任各1名,现要组成5人医疗小组送医下乡,依下列条件各有多少种选派方法？
(1)有3名内科医生和2名外科医生;
(2)既有内科医生,又有外科医生;
(3)至少有1名主任参加;
(4)既有主任,又有外科医生.
21．如图,在四棱柱中,平面平面ACDE,是一个边长为4的正三角形,在直角梯形ACDE中,,,,,点P在棱BD上,且.
（1）求证：平面ABC;
（2）设点M在线段AC上,若平面PEM与平面EAB所成的锐二面角的余弦值为,求MP的长.
22．已知椭圆的离心率为,椭圆E的长轴长为.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)设,,过A且斜率为的动直线l与椭圆E交于M,N两点,直线BM,BN分别交于异于点B的点P,Q,设直线PQ的斜率为,直线BM,BN的斜率分别为,.
①求证：为定值;
②求证：直线PQ过定点.
参考答案
1．答案：A
解析：因为,所以.
故选：A.
2．答案：A
解析：,则,
即,
解得,
故.
故选：A.
3．答案：B
解析：当即时,
两直线为,,
两直线不平行,不符合题意;
当时,
两直线为 ,
两直线不平行,不符合题意;
当,,即,时,
直线的斜率为 ,
直线的斜率为,
因为两直线平行,所以,
解得或-3,
故选：B.
4．答案：C
解析：因为焦距是2,所以,
当焦点在x轴时,,,,
解得,,
当焦点在y轴时,,,,
解得,,
故选：C.
5．答案：C
解析：因为随机变量X服从二项分布：,
则它的期望,
故选：C.
6．答案：B
解析：由题意可知：志愿者的人数分配有两种可能：和,
则相应的分配方式分别有种和种,
所以不同的分配方式共有种.
故选：B.
7．答案：D
解析：因为圆和存在公共点,
所以两圆相交或者相内切或者相外切,
即,
解得,选项ABC满足,m的值不能为D.
故选：D.
8．答案：A
解析：根据题意画出图形：在平面内,过A作,
过点D作,交AE于点E,连接CE,,
,平面CAE.
又,是二面角的平面角.
由矩形ABDE得,.在中,由勾股定理得.
是等边三角形,,.
二面角的余弦值为,
故选：.
9．答案：CD
解析：对于A项,若,则,此时不适合两点式方程,故A项错误;
对于B项,由可得,,解得或.
所以,是直线与直线垂直的充分不必要条件,故B项错误;
对于C项,点与点的中点在直线上.
且,所以点关于直线的对称点为,故C项正确;
对于D项,由可得,此时有恒成立,
所以直线恒过点,且该点在第二象限,故D项正确.
故选：CD.
10．答案：ACD
解析：对于A,令,则,故A正确;
对于B,因为,
所以,B错误;
对于C,令,则,
令,则 ,
所以,故C正确;
对于D,由选项B可知,,
,,,,
,,
所以
,故D正确.
故选：ACD.
11．答案：ABD
解析：因为甲盒中有4个一等品,3个二等品和3个三等品,
则,,,
乙盒中有5个一等品,2个二等品和3个三等品,
则,,
则
,故A,B正确;
因为,
又,,
则,则两事件不相互独立,
故C错误;
根据互斥事件的定义可知,,,是两两互斥的事件,
故D正确,
故选：ABD.
12．答案：BC
解析：如图,O为的中点,,,
即,
又.
.①
又由双曲线的定义得,
,即.②
由①-②得, .
在中,由余弦定理得,
,即.
又, ,即,.
又双曲线的渐近线方程为.双曲线的离心率为,
双曲线的方程可以是,故A错,B正确,C正确.
的面积,
故D错误.
故选：BC.
13．答案：-2
解析：展开式的通项公式为,
令,得,
故,
解得.
故答案为：-2.
14．答案：
解析：因为A,B独立,
所以,
又,
所以,
所以.
故答案为：.
15．答案：3
解析：由题可得抛物线的准线为,
设点P在准线上的射影为D,则根据抛物线的定义可知,
要求取得最小值,即求取得最小,
当D,P,M三点共线时最小,为.
故答案为：3.
16．答案：或2;
解析：因为圆,所以圆心为,
又因为圆C上恰有3个点到直线的距离为2,
所以圆心C到直线的距离,
即,所以或;
若圆C上恰有4个点到直线的距离为2,
则圆心C到直线的距离,
即,所以.
故答案为：或2;.
17．答案：(1)
(2)448
解析：（1）由条件可得,
解得.
（2）.
展开式的通项为：
.
①当即时,;
②当即时,;
所求的常数项为.
18．答案：(1)0.987
(2)概率分别为,,
解析：（1）记事件A：机器生产的芯片为次品,记事件：第i台机器生产的芯片,
则,,
,,,
.
.
即任取一个芯片是正品的概率0.987.
（2）;
;
.
故如果取到的芯片是次品,是第1台机器,第2台机器,第3台机器生产的概率分别为,,.
19．答案：（1）;
（2）分布列见解析;
（3）
解析：（1）随机变量X的概率分布为.
,
解得.
（2）由（1）可得,,,
,
X的分布列为：
X 1 2 3 4
P
（3）.
20．答案：(1)120
(2)246
(3)196
(4)191
解析：（1）先选3名内科医生共有种选法,
再选2名外科医生共有种选法,
故选派方法共有种.
（2）既有内科医生,又有外科医生包括四种情况：
内科医生去1,2,3,4人,易得选派方法为：.
（3）分两类：
一是选1名主任有种方法;
二是选2名主任有种方法,
故至少有1名主任参加的选派方法共种.
（4）若选外科主任,则其余可任意选,
共有种选法;
若不选外科主任,则必选内科主任,
且剩余四人不能全选内科医生,有种选法,
故既有主任,又有外科医生的选派种数为.
21．答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析：（1）证明：如图,作交BC于点Q,连接AQ,
因为,所以,
又,,
所以,即有四边形AEPQ是一个平行四边形,
所以,
因为平面ABC,平面ABC,
所以平面ABC.
（2）如图,设O是AC的中点,在正中,,
作,因为,
由平面平面ACDE,
可得平面ABC,所以平面ABC,
再以,方向建立如图所示的空间直角坐标系,
,,,,,
,
设平面EAB的法向量为,
由
因为点M在线段AC上,设其坐标为,其中,
所以,
设平面PEM的法向量为,
由
由题意,设平面PEM与平面EAB所成的锐二面角为,
则或,
因为,
所以,所以.
22．答案：(1)
(2)①证明见解析;②证明见解析
解析：（1）由题意解得
所以椭圆的标准方程为：;
（2）① 设MN的方程为,与联立得：,
设,,则,
,
②设PQ的方程为,,与联立,
设,,则
由,即,,此时,
所以PQ的方程为,故直线PQ恒过定点.