第一章 整式的乘除素养提优卷（含解析）

第一章 整式的乘除 素养提优卷
考试分数：120分 考试时间：100分钟
一、单选题（本大题共10小题，共30分）
1．下列计算正确的是( )
A． B． C． D．
2．若，则括号内应填的单项式是( )
A．a B． C． D．
3．生物学家发现了某种花粉的直径约为毫米，数据用科学记数法表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿．则1兆等于(　　)
A．108 B．1012 C．1016 D．1024
5．计算，则x的值是　　
A．3 B．1 C．0 D．3或0
6．设a=355，b=444，c=533，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a
7．已知，，则的值是（ ）
A．6 B．18 C．3 D．12
8．若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，则称这个正整数为“好数”．下列正整数中能称为“好数”的是（　　）
A．205 B．250 C．502 D．520
9．现规定一种运算：a※b=ab+a-b，其中 a，b 为有理数，则 a※b+(b-a)※b 等于（ ）
A．a-b B．b-a C．b D．b-b
10．7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足〖 〗
A．a=b B．a=3b C．a=b D．a=4b
二、填空题（本大题共5小题，共15分）
11．已知实数a，b满足，则_______．
12．已知是完全平方式，则的值是 ．
13．若m、n满足，则 ．
14．今天数学课上,老师讲了单项式乘以多项式,放学回到家,小明拿出课堂笔记本复习,发现一道题:-3xy(4y-2x-1)=-12xy2+6x2y+□,□的地方被墨水弄污了,你认为□处应填写_____.
15．1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．

观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．计算：（1） （2）
17．先化简，再求值： ，其中5m+2n＝7．
18．解答下列问题：
（1）已知，，求的值；
（2）若，求的值．
19．运用乘法公式简便计算:
(1)9997 2 (2)
20．观察以下等式：
第1个等式：(2×1＋1)2＝(2×2＋1)2－(2×2)2，
第2个等式：(2×2＋1)2＝(3×4＋1)2－(3×4)2，
第3个等式：(2×3＋1)2＝(4×6＋1)2－(4×6)2，
第4个等式：(2×4＋1)2＝(5×8＋1)2－(5×8)2，
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并证明.
21．某公司门前一块长为（6a+2b）米，宽为（4a+2b）米的长方形空地要铺地砖，如图所示，空白的甲、乙两正方形区域是建筑物，不需要铺地砖．两正方形区域的边长均为（a+b）米．
（1）求铺设地砖的面积是多少平方米；
（2）当a＝2，b＝3时，需要铺地砖的面积是多少？
（3）在（2）的条件下，某种道路防滑地砖的规格是：正方形，边长为0.2米，每块1.5元，不考虑其他因素，如果要购买此种地砖，需要 元钱．
22．我们把形如的整式称为关于x的一元n次多项式，记作，…等等. 将整数的带余除法类比到一元多项式，我们可类似地得到带余式的大除法，其关系式为：，其中表示被除式，表示除式，表示商式，表示余式，且的次数小于的次数.
我们来举个例子对比多项式除法和整数除法，如下左式中，除以，商为，余数为：而如下右式中，多项式除以，商式为，余式为.
请根据以上材料，解决下面的问题：
(1)多项式除以，请补全下面的计算式
所以，除以所得的商式为 ，余式为 ．
(2)若多项式除以所得的余式为，求的值．
23．数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”这就是“算两次”原理，也称为富比尼（G．Fubini）原理．例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是；如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为．由此得到．
(1)如图2，正方形是由四个边长为，的全等的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法对图2的面积进行计算，你发现的等式是___________________．（用，表示）
(2)请你用若干块如图1所示的长方形和正方形硬纸片图形，用拼长方形的方法，把下列二次三项式进行因式分解；．要求：在图3的框中画出图形，写出分解的因式．
(3)请你用（1）发现的等式解决问题：已知两数，满足，，求的值．
参考答案
1．【答案】D
【详解】解：A、，错误，故不符合要求；
，错误，故不符合要求；
，错误，故不符合要求；
，正确，故符合要求.
所以此题答案为D．
【关键点拨】此题考查了同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，合并同类项．解题的关键在于正确的运算．
2．【答案】A
【分析】将已知条件中的乘法运算可以转化为单项式除以单项式进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴（ ）．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了整式除法的应用，弄清被除式、除式和商之间的关系是解题的关键．
3．【答案】A
【详解】解：.故此题答案为A．
【方法技巧】科学记数法中a和n的值的确定：
(1)a值的确定:1≤|a|<10.
(2)n值的确定:
①当原数的绝对值大于或等于10时,n等于原数的整数位数减1;
②当原数的绝对值小于1时,n是负整数,它的绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数(含小数点前的零).
4．【答案】C
【详解】1兆＝1万×1万×1亿＝1万×1万×1万×1万＝104×104×104×104＝1016，故选C．
5．【答案】D
【分析】根据实数的性质分类讨论即可求解．
【详解】当x=0，x-2≠0时，，
即x=0;
当x-2=1时，，
即x=3，
故选D．
【点睛】此题主要考查实数的性质，解题的关键是熟知负指数幂的运算法则．
6．【答案】A
【分析】
根据有理数大小比较的规律解题即可．
【详解】
一般方法是化为指数相同的幂，比较底数的大小．因此可得355=（35）11；444=（44）11；533=（53）11．又因为53＜35＜44，故533＜355＜444．
故答案：A．
【点睛】
本题考查幂的乘方与积的乘方.化成同底数幂的乘方进行比较是解题的关键.
7．【答案】A
【分析】利用完全平方公式代入求出即可．
【详解】（a+b）2=a2+b2+2ab，
将a2+b2=12，ab=-3代入上式中，
得到（a+b）2=12+2×（-3）=6.
故选A．
【点睛】本题考查了对完全平方公式的应用，熟练记住完全平方公式是关键.
8．【答案】D
【分析】利用平方差公式计算（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n 2＝8n，得到两个连续奇数构造的“好数”是8的倍数，据此解答即可．
【详解】解：根据平方差公式得：
（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n×2＝8n．
所以两个连续奇数构造的“好数”是8的倍数
205，250，502都不能被8整除，只有520能够被8整除．
故此题答案为D．
【关键点拨】此题考查了新概念和平方差公式．熟练掌握平方差公式：a2-b2=（a-b）（a-b）是解题关键．
9．【答案】D
【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．
【详解】根据题中的新定义得：
原式＝ab+a-b＋(b-a)×b+(b-a) b
＝ab+a-b＋b2-ab +b-a b
＝b2-b，
故此题答案为：D．
【关键点拨】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．【答案】B
【分析】
表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据差与BC无关即可求出a与b的关系式．
【详解】
如图，设左上角阴影部分的长为AE，宽为AF=3b，
右下角阴影部分的长为PC，宽为CG=a，
∵AD=BC，即AE+ED=AE+a，BC=BP+PC=4b+PC，
∴AE+a=4b+PC，即AE﹣PC=4b﹣a，
∴阴影部分面积之差．
∵S始终保持不变，
∴3b﹣a=0，即a=3b．
故选B．
【点睛】
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．【答案】
【分析】由非负数的性质可得且，求解a，b的值，再代入计算即可．
【详解】∵，∴且，
解得，，∴.
故答案为．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性、偶次方的非负性的应用、负整数指数幂的含义，理解非负数的性质，熟记负整数指数幂的含义是解题的关键．
12．【答案】
【分析】根据，计算求解即可．
【详解】解：∵是完全平方式，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式．解题的关键在于熟练掌握：．
13．【答案】16
【分析】先将已知变形为，再将变形为，然后整体代入即可．
【详解】解：∵
∴
∴
故答案为：16．
【点睛】本题考查代数式值，幂的乘方和同底数幂除法，熟练掌握幂的乘方和同底数幂除法法则是解题的关键．
14．【答案】3xy
【详解】根据题意，得
15．【答案】
【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开，即可得出结果．
【详解】根据题意得：展开后系数为：，
系数和：，
展开后系数为：，
系数和：，
展开后系数为：，
系数和：.
故答案为：．
【点睛】此题考查了多项式的乘法运算，以及规律型：数字的变化类，解题的关键是弄清系数中的规律．
16．【答案】（1）10；（2）
【分析】
（1）分别根据有理数绝对值 ，零指数幂，负整数指数幂的运算法则化简各数 ，再进行加减运算即可得到答案；
（2）原式第一项进行积的乘方运算，第二项进行积的乘方运算再单项式乘法，最后合并即可．
【详解】
解：（1）
=
=；
（2）
=．
【点睛】
此题主要考查了幂的运算，零指数幂，负指数幂，积的乘方，单项式乘法，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
17．【答案】
，14
【分析】
先利用整式的乘法去小括号，再将括号内合并同类项，最后利用整式的除法得到化简结果，根据整体法求出结果．
【详解】
解：
，
当5m+2n＝7时，原式 ．
18．【答案】（1）1500；（2）27
【分析】
（1）先逆用积的乘方和幂的乘方运算法则，然后将已知代入即可解答；
（1）先由得3x+4y=3，然后逆用积的乘方和幂的乘方运算法则将
【详解】
解：（1）∵，，
∴；
（2）∵，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了积的乘方和幂的乘方法则的逆用，灵活应用相关运算法则是解答本题的关键．
19．【答案】(1)994009； (2)1.
【分析】
（1）直接利用完全平方公式求出即可；
（2）利用平方差公式进而求出即可．
【详解】
（1）（9997）2=（10000-3）2=100000000+9-2×3×10000=99940009；
（2）11862-1185×1187
=11862-（1186-1）×（1186+1）
=11862-11862+1
=1．
【点睛】
此题主要考查了完全平方公式以及平方差公式的应用，熟练掌握乘法公式是解题关键．
20．【答案】见详解
【详解】解：(1)第5个等式为＝－.
(2)第n个等式为＝－.
证明：右边＝－
＝·
＝4n(n＋1)＋1＝4n2＋4n＋1＝(2n＋1)2＝左边，∴等式成立.
21．【答案】（1）铺设地砖的面积为22a2+16ab+2b2平方米；（2）当a＝2，b＝3时，需要铺地砖的面积是202平方米；（3）7575．
【分析】
（1）长方形空地的面积减去建筑物A、B的面积即可；
（2）把a＝2，b＝3时代入计算即可；
（3）计算出需要的地砖的块数，再求出总金额．
【详解】
解：（1）铺设地砖的面积为：（6a+2b）（4a+2b）﹣2（a+b）2
＝24a2+20ab+4b2﹣2a2﹣4ab﹣2b2
＝22a2+16ab+2b2（平方米），
答：铺设地砖的面积为22a2+16ab+2b2平方米；
（2）当a＝2，b＝3时，
原式＝22×22+16×2×3+2×32
＝202（平方米），
答：当a＝2，b＝3时，需要铺地砖的面积是202平方米；
（3）202÷0.22×1.5＝7575（元），
故答案为：7575．
【点睛】
本题考查多项式乘以多项式，准确识图，掌握计算法则是正确计算的前提．
22．【答案】(1)补全见解析，，；
(2)．
【分析】（1）根据整式的除法运算即可得出答案；
（2）设商式为，根据关系式：，表示出被除式、除式、商式、余式之间的等式，根据多项式相等的条件，求出的值，进而求出的值，代入中即可求得答案．
【详解】（1）解：如图，
∴ 除以 除以 的商式为，余式为，
故此题答案为：，；
（2）由题意设商式为，
则有：，
等式左边整理得，，
∴，，
解得，，
∴，，
∴．
【关键点拨】此题考查了整式的除法运算，熟练掌握整式的除法运算法则是解题的关键．
23．【答案】(1)；
(2)见解析， ；
(3)
【分析】（1）图2可以看作是一个边长为的大正方形，也可以看作是由四个长为a，宽为b的小长方形和一个边长为的小正方形组成的图形，分别求出面积，即可得出答案；
（2）根据图2进行设计图形并对式子进行分解；
（3）根据（1）中所得等式，结合题意可得关于x，y的方程组，进而整体代入计算即可．
【详解】（1）发现的等式是，
故此题答案为；
（2）如图，
．
（3）由（1）得．
又∵，，
∴，
∴，
∴．
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