21.2二次函数y=ax2+k的图象和性质课时练习题
参考答案
一、精心选一选
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
C
C
B
B
A
A
D
D
1﹒二次函数y＝－x2－1的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
解答：抛物线y＝－x2－1的开口向下，顶点坐标为（0，－1），所以B选项符合要求，
故选：B.
2﹒在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2+a的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
解答：∵二次函数y＝x2+a的图象开口向上，∴首先排除B错误，
当a＞0时，一次函数y＝ax+2图象经过一、二、三象限，二次函数y＝x2+a的图象的开口向上，顶点在x轴的上方，∴排除A、D错误，21·cn·jy·com
当a＜0时，一次函数y＝ax+2图象经过一、二、四象限，二次函数y＝x2+a的图象的开口向上，顶点在x轴的下方，故C符合要求，www.21-cn-jy.com
故选：C.
3﹒二次函数y＝x2+1与y＝x2+2的图象的不同之处是（ ）
A.对称轴 B.开口方向 C.顶点 D.形状
解答：∵抛物线y＝x2+1的顶点坐标为（0，1），y＝x2+2的顶点坐标是（0，2），
∴它们的顶点坐标位置不同，
故选：C.
4﹒函数y＝x+1，y＝x2+2，y＝x2，y＝－2x2+1中，当x＞0时，y随x的增大而增大的函数共有（ ）2·1·c·n·j·y
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解答：当x＞0时，y随x的增大而增大的函数有：y＝x+1，y＝x2+2，y＝x2，
故选：C.
5﹒抛物线y＝2x2+1的顶点坐标是（ ）
A.（2，1） B.（0，1） C.（1，0） D.（1，2）
解答：抛物线y＝2x2+1的顶点坐标是（0，1），
故选：B.
6﹒关于二次函数y＝2x2+3，下列说法中正确的是（ ）
A.它的开口方向是向下 B.当x＜－1时，y随x的增大而减小
C.它的对称轴是直线x＝2 D.当x＝0时，y有最大值是3
解答：A.它的开口方向是向上，故A选项错误；
B.当x＜－1时，y随x的增大而减小，故B选项正确；
C.它的对称轴是直线x＝0，故C选项错误；
D.当x＝0时，y有最小值是3，故D选项错误，
故选：B.
7﹒抛物线y＝－x2+9与y轴的交点坐标是（ ）
A.（0，9） B.（3，0） C.（－3，0） D.（－3，0）或（3，0）
解答：抛物线y＝－x2+9与y轴的交点坐标是（0，9），
故选：A.
8﹒将抛物线y＝－x2向上平移2个单位后，得到的函数表达式是（ ）
A.y＝－x2+2 B.y＝－(x+2)2 C.y＝－(x－1)2 D.y＝－x2－2
解答：将抛物线y＝－x2向上平移2个单位后，得到的函数表达式是y＝－x2+2，
故选：A.
9﹒已知：x2+y＝3，当－1≤x≤2时，y的最小值是（ ）
A.3 B.2 C. D.－1【来源：21·世纪·教育·网】
解答：由x2+y＝3得：y＝－x2+3，
当x＝－1时，y＝2，当x＝2时，y＝－1，
∴y的最小值为－1，
故选：D.
10.二次函数y＝－x2+1的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，下列说法错误的是（ ）
A.点C的坐标是（0，1） B.线段AB的长为2
C.△ABC是等腰直角三角形 D.当x＞0时，y随x的增大而增大
解答：二次函数y＝－x2+1的图象与y轴交于点坐标为（0，1），故A选项正确；
当y＝0时，即－x2+1＝0，x1＝1，x2＝－1，所以A、B两点坐标分别为（1，0），（－1，0），故AB＝2，所以B选项正确；21·世纪*教育网
∵二次函数图象是轴对称图形，该抛物线又是以y轴为对称轴，∴△ABC是等腰直角三角形，故C选项正确；
∵抛物线y＝－x2+1的开口向下，且以y轴为对称轴，∴当x＞0时，y随x的增大而减小，故D选项错误.www-2-1-cnjy-com
故选：D.
二、细心填一填
11. －1； 12. 上升； 13. 5；
14. －17，（2，3）； 15. －1； 16. 8；
17. 8； 18. －2.
11.抛物线y＝2+(m－5)的顶点在x轴的下方，则m＝_________.
解答：由题意知：y＝2+(m－5)是二次函数，
∴m2－4m－3＝2，解得：m1＝－1，m2＝5，
又∵抛物线的顶点在x轴的下方，
∴m－5＜0，故m＜5，
∴m只能取－1，
故答案为：－1.
12.抛物线y＝2x2－1在y轴右侧的部分是__________.（填“上升”或“下降”）
解答：抛物线y＝2x2－1在y轴右侧的部分是上升的，
故答案为：上升.
13.若在二次函数y＝－x2+5，当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为____________________.2-1-c-n-j-y
解答：根据抛物线是轴对称图形，∵当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，∴x1与x2互为相反数，即x1+x2＝0，∴当x＝0时，y＝5， 21*cnjy*com
故答案为：5.
14.已知直线y＝2x－1与抛物线y＝5x2+k的交点横坐标为2，则k＝____，交点坐标为______.
解答：把x＝2代入y＝2x－1得：y＝3，∴它们的交点坐标为（2，3），
把（2，3）代入y＝5x2+k得：3＝5×22+k，解得：k＝－17，
故答案为：－17，（2，3）.
15.对于抛物线y＝x2－m，若y的最小值是1，则m＝____________.
解答：抛物线y＝x2－m的开口向上，有最小值－m，而y的最小值是1，
∴－m＝1，故m＝－1，
故答案为：－1.
16.两条抛物线y1＝－x2+1，y2＝－x2－1与分别经过点（－2，0），（2，0），且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为_________________.【来源：21cnj*y.co*m】
解答：如图，过y2＝－x2－1的顶点（0，－1）作平行于x轴的直线与y1＝－x2+1围成的阴影，同过点（0，－3）作平行于x轴的直线与y2＝－x2－1围成的形状相同，
故把阴影部分向下平移2个单位即可拼成一个矩形，
因此矩形的面积为4×2＝8，
故答案为：8.
17.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+4与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y＝x2于点B、C，则BC的长为_____________.【出处：21教育名师】
解答：∵抛物线y＝ax2+4与y轴交于点A，
∴A（0，4），
把y＝4代入y＝x2得：x2＝4，
解得：x＝±4，
又∵过点A与x轴平行的直线交抛物线y＝x2于点B、C，
∴B、C两点的横坐标分别为－4，4，
∴BC＝＝8，
故答案为：8.
18.如图，二次函数y＝ax2+c（a＜0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是___________.【版权所有：21教育】
解答：设正方形的对角线OA长为2m，
则B（－m，m），C（m，m）,A（0，2m），
把A、C的坐标代入解析式可得：
c＝2m①，am2+c＝m②，
把①代入②得：m2a+2m＝m，解得：a＝－，
则ac＝－×2m＝－2，
故答案为：－2.
三、解答题
19.在同一直角坐标系中画出二次函数y＝x2+1与二次函数y＝－x2－1的图象.
（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出这两个函数图象的相同点与不同点；
（2）说出这两个函数图象的性质有何相同点与不同点.
解答：如图：
（1）y＝x2+1与y＝－x2－1的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是y轴，
不同点是：y＝x2+1开口向上，顶点坐标是（0，1），y＝－x2－1开口向下，顶点坐标是（0，1）；21教育名师原创作品
（2）它们性质的相同点是：开口程度相同，不同点是：y＝x2+1当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小；y＝－x2－1当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大.21*cnjy*com
20.已知：一次函数y1＝2x，二次函数y2＝x2+1.
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
y1＝2x
y2＝x2+1
（1）根据表中给出的x的值，计算对应的函数值y1、y2，并填写在表格中；
（2）观察上表所填数据，猜想：在实数范围内，对于x的同一个数值，这两个函数所对应的函数值y1与y2有何大小关系？并证明你的结论.21世纪教育网版权所有
解答：（1）填表如下：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
y1＝2x
－6
－4
－2
0
2
4
6
y2＝x2+1
10
5
2
1
2
5
10
（2）当x取同一数值时，y2≥y1，
证明：∵y2－y1＝x2+1－2x＝(x－1)2，
而(x－1)2≥0，
∴y2－y1≥0，
即y2≥y1.
21.已知：抛物线y＝2x2+n与直线y＝2x－1交于点（m，3）.
（1）求m和n的值；
（2）试说出抛物线y＝2x2+n的顶点坐标和对称轴；
（3）当x何值时，二次函数y＝2x2+n中y随x的增大而减小；
（4）函数y＝2x2+n与y＝2x－1的图象是否还存在其它交点，若存在，请求出交点坐标；若没有，请说明理由.21cnjy.com
解答：（1）把x＝m，y＝3代入y＝2x－1得：2m－1＝3，
解得：m＝2，则交点坐标为（2，3），
把（2，3）代入y＝2x2+n得：3＝8+n，
解得：n＝－5，
故m＝2，n＝－5；
（2）由（1）知：抛物线为y＝2x2－5，
∴该抛物线的顶点坐标为（0，－5），对称轴为y轴；
（3）当x＜0时，二次函数y＝2x2+n中y随x的增大而减小；
（4）有，根据题意得：，解得：，，
∴两函数图象还有一个交点，其坐标为（－1，－3）.
22.如图，抛物线y1＝－x2－1与直线y2＝－x－3交于A、B两点.
（1）求A、B两点的坐标；
（2）根据图象填空：
①当x取何值时，y1的值随x的增大而增大？
②当x取何值时，y2的值随x的增大而减小？
（3）设抛物线y1＝－x2－1的顶点为C，试求△ABC的面积.
解答：（1）由得：，，
∵点A在第三象限，点B在第四象限，
∴A（－1，－2），B（2，－5）；
（2）①当x＜0时，y1的值随x的增大而增大？
②当x取任何实数时，y2的值随x的增大而减小？
（3）∵抛物线y1＝－x2－1的顶点坐标为（0，－1），
∴C（0，－1），
设直线AB与y轴交于点D，则点D的坐标为（0，－3），
∴CD＝＝2，
∴S△ACD＝×2×1＝1，S△BCD＝×2×5＝5，
∴S△ABC＝S△ACD+ S△BCD＝1+5＝6，
即△ABC的面积为6.
23.如图，坐标系中有抛物线c：y＝x2+m和直线l：y＝－2x－2.
（1）求m取何值时，抛物线c与直线l没有公共点；
（2）移动抛物线c，当抛物线c的顶点在直线l上时，求直线l被抛物线c所截得的线段长.
解答：（1）根据题意得：x2+m＝－2x－2，
整理得：x2+2x+m+2＝0，
∵抛物线c与直线l没有公共点，
∴△＝22－4(m+2)＜0，
解得：m＞－1，
∴当m＞－1时，抛物线c与直线l没有公共点；
（2）∵抛物线c的顶点在直线l上，
∴抛物线c的顶点为（0，－2），
将（0，－2）代入y＝x2+m得：m＝－2，
∴抛物线c的解析式为y＝x2－2，
由得：或，
∴直线l与抛物线c的交点为（0，－2），（－2，2）
∴直线l被抛物线c所截得的线段长为＝2.
24.如图所示，隧道的截面是由抛物线和矩形构成，矩形的长为8cm，宽为2cm，抛物线可用y＝x2+4表示.21教育网
（1）一辆货车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？
（2）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可能通过？
解答：（1）当货车沿着路面中线行驶时，货车边沿的横坐标为1或－1，
当x＝±1时，y＝－×(±1)2+4＝，
此处隧道高为+2＝＞4，
故货车能通过隧道.
（2）若隧道内设双行道，此时货车一边靠近隧道中线，另一边沿横坐标为2或－2，
反x＝2或－2代入y＝x2+4得：y＝3，
此处隧道高为3+2＝5＞4，
故货车能通过隧道.
2015～2016学年度九年级上学期数学课时练习题
21.2 二次函数y=ax2+k的图象和性质
一、精心选一选
1﹒二次函数y＝－x2－1的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
2﹒在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2+a的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
3﹒二次函数y＝x2+1与y＝x2+2的图象的不同之处是（ ）
A.对称轴 B.开口方向 C.顶点 D.形状
4﹒函数y＝x+1，y＝x2+2，y＝x2，y＝－2x2+1中，当x＞0时，y随x的增大而增大的函数共有（ ）21cnjy.com
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5﹒抛物线y＝2x2+1的顶点坐标是（ ）
A.（2，1） B.（0，1） C.（1，0） D.（1，2）
6﹒关于二次函数y＝2x2+3，下列说法中正确的是（ ）
A.它的开口方向是向下 B.当x＜－1时，y随x的增大而减小
C.它的对称轴是直线x＝2 D.当x＝0时，y有最大值是3
7﹒抛物线y＝－x2+9与y轴的交点坐标是（ ）
A.（0，9） B.（3，0） C.（－3，0） D.（－3，0）或（3，0）
8﹒将抛物线y＝－x2向上平移2个单位后，得到的函数表达式是（ ）
A.y＝－x2+2 B.y＝－(x+2)2 C.y＝－(x－1)2 D.y＝－x2－2
9﹒已知：x2+y＝3，当－1≤x≤2时，y的最小值是（ ）
A.－1 B.2 C. D.32·1·c·n·j·y
10.二次函数y＝－x2+1的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，下列说法错误的是（ ）
A.点C的坐标是（0，1） B.线段AB的长为2
C.△ABC是等腰直角三角形 D.当x＞0时，y随x的增大而增大
二、细心填一填
11.抛物线y＝2+(m－5)的顶点在x轴的下方，则m＝_________.
12.抛物线y＝2x2－1在y轴右侧的部分是__________.（填“上升”或“下降”）
13.若在二次函数y＝－x2+5，当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为____________________.21教育网
14.已知直线y＝2x－1与抛物线y＝5x2+k的交点横坐标为2，则k＝____，交点坐标为______.
15.对于抛物线y＝x2－m，若y的最小值是1，则m＝____________.
16.两条抛物线y1＝－x2+1，y2＝－x2－1与分别经过点（－2，0），（2，0），且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为_________________.【来源：21·世纪·教育·网】
第17题图 第17题图 第18题图
17.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+4与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y＝x2于点B、C，则BC的长为_____________.21·世纪*教育网
18.如图，二次函数y＝ax2+c（a＜0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是___________.www-2-1-cnjy-com
三、解答题
19.在同一直角坐标系中画出二次函数y＝x2+1与二次函数y＝－x2－1的图象.
（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出这两个函数图象的相同点与不同点；
（2）说出这两个函数图象的性质有何相同点与不同点.
20.已知：一次函数y1＝2x，二次函数y2＝x2+1.
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
y1＝2x
y2＝x2+1
（1）根据表中给出的x的值，计算对应的函数值y1、y2，并填写在表格中；
（2）观察上表所填数据，猜想：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1与y2有何大小关系？并证明你的结论.www.21-cn-jy.com
21.已知：抛物线y＝2x2+n与直线y＝2x－1交于点（m，3）.
（1）求m和n的值；
（2）试说出抛物线y＝2x2+n的顶点坐标和对称轴；
（3）当x何值时，二次函数y＝2x2+n中y随x的增大而减小；
（4）函数y＝2x2+n与y＝2x－1的图象是否还存在其它交点，若存在，请求出交点坐标；若没有，请说明理由.21·cn·jy·com
22.如图，抛物线y1＝－x2－1与直线y2＝－x－3交于A、B两点.
（1）求A、B两点的坐标；
（2）根据图象填空：
①当x取何值时，y1的值随x的增大而增大？
②当x取何值时，y2的值随x的增大而减小？
（3）设抛物线y1＝－x2－1的顶点为C，试求△ABC的面积.
23.如图，坐标系中有抛物线c：y＝x2+m和直线l：y＝－2x－2.
（1）求m取何值时，抛物线c与直线l没有公共点；
（2）移动抛物线c，当抛物线c的顶点在直线l上时，求直线l被抛物线c所截得的线段长.
24.如图所示，隧道的截面是由抛物线和矩形构成，矩形的长为8cm，宽为2cm，抛物线可用y＝x2+4表示.21世纪教育网版权所有
（1）一辆货车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？
（2）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可能通过？
