云南省下关重点中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题（含解析）

下关重点中学2023—2024学年高一年级下学期见面考
数学试题
试卷满分150分 考试时间 120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．已知集合A＝{x|1A．(0,1) B．(0,2] C．(1,2) D．(1,2]
2．命题：“ x∈(－1,1)，都有x2<1”的否定是(　　)
A． x∈(－1,1)，都有x2≥1
B． x (－1,1)，都有x2≥1
C． x∈(－1,1)，使得x2≥1
D． x (－1,1)，使得x2≥1
3．函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A．{x|x≥－3且x≠－1} B．{x|x>－3且x≠－1}
C．{x|x≥－1} D．{x|x≥－3}
4．，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．函数的部分图象大致为（ ）
A．B．C． D．
6．函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期为(　　)
A. B. C．π D．2π
7．函数f(x)＝log3x＋x3－9的零点所在区间是(　　)
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
8．设、、依次表示函数， ，
的零点，则、、的大小关系为（ ）．
A． B． C． D．
多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．下列各式中，值为的是（ ）
A． B．
C． D．
11．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数具有以下哪些性质（ ）
A．最大值为，图象关于直线对称 B．图象关于y轴对称
C．最小正周期为 D．图象关于点成中心对称
12.设函数，若，且，则的值可以是（ ）
A.4 B.5 C. D.6
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．log24＋log42＝________.
14．设x>0，y>0，x＋y＝4，则＋的最小值为________．
15．已知，则__________.
16．设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则 的值为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）
已知集合，集合.
（1）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围.
18．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）求函数的对称中心；
（2）当时，求函数的值域．
19．（本小题满分12分）
在中，内角、、的对边分别为、、，已知．
（1）求的值；
（2）若，，求的面积．
20．（本小题满分12分）
某手机生产商计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本200万元，每生产（千部）手机，需另投人成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.5万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.
（1）求出2023年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式；（利润销售额成本）
（2）2023年产量为多少千部时，该生产商所获利润最大 最大利润是多少
（本小题满分12分）
已知函数，，.
（1）若，使得方程有解，求实数的取值范围；
（2）若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围；
（3）设，记为函数在上的最大值，求的最小值.
22．（本小题满分12分）
已知函数的最小正周期为，其图象关于点对称.
(1)令，判断函数的奇偶性；
(2)是否存在实数满足对任意，任意，使成立.若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.
参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C A D B C C D
【解析】
1．答案　D解析　∵A＝{x|12．答案　C解析　命题是全称量词命题，则否定是存在量词命题，即 x∈(－1,1)，使得x2≥1.
3．答案　A解析　要使f(x)有意义，则解得x≥－3，且x≠－1，
∴f(x)的定义域为{x|x≥－3，且x≠－1}．
4．答案　D解析 ，，因为，函数在区间内单调递增，所以，所以.
5．答案　B解析 的定义域为，，所以是奇函数，由此排除CD选项.，排除A选项. 选B
6．答案　C解析　∵f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，∴最小正周期T＝＝π.
7．答案　C解析　∵f(2)＝log32－1<0，f(3)＝log33＋27－9＝19>0，∴f(2)·f(3)<0，∴函数在区间(2,3)上存在零点．
8．答案　D解析依题意可得，的图象与的图象交点的横坐标为，
作出图象如图：
由图象可知，
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
题号 9 10 11 12
答案 BC AD BCD AB
9．【答案】BC【解】对于A：当时，若取，则有.故A不正确；
对于B：当时，两边同乘以，有，即.故B正确；
对于C：当，两边同乘以，则.故C正确；
对于D：当时，取，有.故D不正确.
10．【答案】AD 【解】对于A：，故A正确；
对于D：，故D正确.
11．【答案】BCD 【解】由题意，，
对A：的最大值为，最小值为，因为，所以函数的图象不关于直线对称，故选项A错误；
对B：因为，所以函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故选项B正确；
对C：由周期公式有，所以函数的最小正周期为，故选项C正确；
对D：因为，所以函数的图象关于点成中心对称，故选项D正确.故选：BCD.
12.【答案】AB【解】函数的图象如图所示，设，由图可知，
当时，直线与函数的图象有四个交点，
交点的横坐标分别为，，，，且，时，
令，解得或.由图可知，，，，
由，可得，则有，
所以.
令，易知在上为减函数，且，，
故，且，，故选AB.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号 13 14 15 16
答案 　 1
13．答案　 解析　根据题干得到log24＋log42＝2＋＝2＋＝.
14． 答案　 解析　∵x＋y＝4，∴＋＝(x＋y)＝，又x>0，y>0，
则＋≥2＝4，则＋≥×(5＋4)＝.
答案 解析 因为，由，解得，所以 . 故答案为：
16．答案 1 解析 由题意知，（），设，则，
因为，所以为奇函数，所以在区间上的最大值与最小值的和为0， 故，所以.
四、解答题.（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（本小题满分10分）
【解】（1）∵是的必要不充分条件，∴是的真子集.①当B= 时，2a-1>a+1 a>2
②B≠ 时，∴，解得.∴实数的取值范围为 (2,+∞).
由，①当B= 时，2a-1>a+1 a>2
②B≠ 时，可得或，解得或.
∴实数的取值范围为（-∞,-3]∪(1,+∞).
18．（本小题满分12分）
【解】（1）由题意，函数，
令，解得，所以函数的对称中心为.
（2）)因为，可得，当时，即时，可得；
当时，即时，可得，所以函数的值域为．
19．（本小题满分12分）
【解】（1），
，
，
，，；
（2）由（1）可得，由余弦定理可得，
，解得，则，，，
．
20．（本小题满分12分）
【解】（1）销售千部手机获得的销售额为：
当时，；
当时，
故，
（2）当时，，
当时，，
当时，，
当且仅当，即时，等号成立， 因为，
所以当 (千部)时，所获利润最大，最大利润为：3800万元.
21．（本小题满分12分）
【解】（1），，
因为函数的图象的对称轴是直线，
所以在上为减函数，，，
故，所以的取值范围为.
（2）对任意的，总存在，使得，
在区间上，，
函数图象的对称轴是直线，
又，当时，函数有最大值为，
①当时，，不符合题意，舍去；
②当时，在上的值域为，，得；
③当时，在上的值域为，，得，
综上，的取值范围为.
（3）函数为的对称轴为，
①当或时，在[0，1]上单调递增，则；
②当时，，
解不等式组得，
故当，综上，
在上单调递减，在上单调递增，
时取最小值为.
22．（本小题满分12分）
【解】（1）的最小正周期为.函数的图象关于点对称，
.，
，易得定义域为，
函数为偶函数.
（2）由（1）可知，实数满足对任意，任意，
使得成立
即成立
令，设，
那么
，
可等价转化为：在上恒成立.
令，其图象对称轴，
①当时，即，解得；
②当，即时，，解得；
③当，即时，，解得；
综上可得，存在，且的取值范围是.