2023-2024学年广东省汕头市金山中学高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省汕头市金山中学高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.若，为实数，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知为奇函数，为偶函数，若当时，，则( )
A. B. C. D.
5.一种药在病人血液中的量保持以上才有效，而低于病人就有危险，现给某病人注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效附：，，答案采取四舍五入精确到小时( )
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
6.已知函数在上有个零点，则实数的最大值为( )
A. B. C. D.
7.若，，，，则，，大小关系正确的是
( )
A. B. C. D.
8.已知函数是定义域为的偶函数，当时，若关于的方程有且只有个不同实数根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 当时，
B. 当时，的最小值是
C. 当时，的最小值是
D. 设，，且，则的最小值是
10.函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 函数的图象可由函数向左平移个长度单位得到
B. 是函数图象的一条对称轴
C. 若，则的最小值为
D. 方程在区间上只有一个根时，实数的取值范围为
11.在平面直角坐标系中，已知任意角以轴的正半轴为始边，若终边经过点且，定义：，称“”为“正余弦函数”对于正余弦函数，正确的是( )
A. 该函数的值域为
B. 该函数图象关于原点对称
C. 该函数图象关于直线对称
D. 该函数的单调递增区间为
12.已知函数，的定义域均为，且，，若的图象关于直线对称，则以下说法正确的是( )
A. 为奇函数
B.
C. ，
D. 若的值域为，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数零点的个数为 ．
14.将函数的图象沿轴向右平移个长度单位后，得到一个偶函数的图象，则的最小值为______．
15.的值为______．
16.若实数，，满足，，则的最大值是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知非空集合，．
若，求；
若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知，．
求的值；
若，且，求的值．
19.本小题分
一个大风车的半径为米，风车按逆时针方向匀速旋转，并且分钟旋转一周，它的最低点离地面米，设风车开始旋转时其翼片的一个端点在风车的最低点，求：
点离地面距离米与时间分钟之间的函数关系式；
在第一圈的什么时间段点离地面的高度超过米？
20.本小题分
已知函数，．
求方程的解集；
若不等式对于恒成立，求的取值范围．
21.本小题分
已知函数图象的两条相邻对称轴为．
求函数的对称轴方程；
若函数在上的零点为，，求的值．
22.本小题分
设函数的定义域为，若存在，使得成立，则称为的一个“不动点”，也称在定义域上存在不动点已知函数．
若函数在区间上存在不动点，求实数的取值范围；
设函数，若，，都有成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
则，故A错误，B正确；
，故C错误；
，故D错误．
故选：．
根据已知条件，先求出集合，，再结合集合的包含关系，交集、并集的定义，即可求解．
本题主要考查集合的包含关系，交集、并集的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：．
故选：．
由已知利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可得解．
本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件的判断，及不等式的性质，属于基础题．
根据不等式的性质，我们先判断“”“”与“”“”的真假，然后结合充分条件、必要条件的定义即可得到答案．
【解答】
解：若“”
当，均小于时，，
即“”“”为假命题，
若“”
当时，
即“”“”为假命题，
综上“”是“”的既不充分也不必要条件，
故选：．
4.【答案】
【解析】解：因为为奇函数，为偶函数，
所以，，
则，
所以，
所以，即函数的周期为，
若当时，，则，即，
所以，
所以．
故选：．
由已知先求出函数的周期，然后结合周期性及奇偶性进行转化即可求解．
本题主要考查了函数的奇偶性及周期性在函数求值中的应用，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：设应在病人注射这种药小时后再向病人的血液补充这种药，
由题意可得：，
整理得：，
，
，
同理可得，
，
应在用药小时后及小时前再向病人的血液补充药，
故选：．
设应在病人注射这种药小时后再向病人的血液补充这种药，由题意可得：，再利用对数的运算性质即可求出的取值范围，进而求出结果．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，是中档题．
6.【答案】
【解析】解：在上有个零点，
或，
且或，
当在上取到第二个零点，但取不到第三个零点时，；
当与在上取到第三个交点时的的值为，
满足题意的实数的最大值为，
故选：．
依题意，可得或，结合题意与选项，分析可得答案．
本题考查三角函数的零点，考查运算求解能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查指数函数、幂函数和对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，属于基础题．
根据即可得出，，从而得出，，的大小关系．
【解答】
解：，
，，
．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：由题意，在和上是减函数，
在和上是增函数，
时，函数取极大值，时，取极小值，
时，，
关于的方程、
有且只有个不同实数根，
设，
则方程必有两个根，，
其中，，
，
则
即，
故选：．
确定函数的性质，可得关于的方程、有且只有个不同实数根，则方程必有两个根，，其中，，根据根与系数之间的关系，即可得出结论．
本题考查分段函数的应用，考查函数的性质，考查数形结合的数学思想，正确理解函数的性质是关键．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了基本不等式的应用，关键掌握应用基本不等式的基本条件，一正二定三相等，属于中档题．
分别根据基本不等式判断即可，注意等号成立的条件．
【解答】
解：对于选项A，当时，，，
当且仅当时取等号，结论成立，故A正确；
对于选项B，当时，，当且仅当时取等号，但，等号取不到，因此的最小值不是，故B错误；
对于选项C，因为，所以，
则，
当且仅当，即时取等号，并且无最小值，故C错误；
对于选项D，因为，，则，当且仅当，即时，等号成立，故D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：由题可得，故，又，故，
，故，
解得，由，故，
即，
对：函数向左平移个长度单位后，
则，故A错误；
对：当时，，故B正确；
对：由，故、中一个为最小值点，一个为最大值点，
故，故C正确；
对：当时，，由，
故方程在区间上只有一个根时，
实数的取值范围为，故D错误．
故选：．
先根据函数图象求出函数解析式，然后逐个选项分析判断即可得．
本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对：由三角函数的定义可知，，
所以，故A错误；
对：所以，，故B错误；
对：当时，，故C正确；
对：因为，令，，得，，
即函数的单调递增区间为，，故D正确．
故选：．
根据正余弦函数的定义得到函数，然后根据三角函数的图象与性质分别进行判断即可得到结论．
本题以新定义为载体，主要考查了三角函数性质的综合应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：的图象关于直线对称，
，
，，
得，
，即，
为周期函数，周期为，
得，
则，即，
，
为偶函数，故A正确；
由得，
得，，
关于成中心对称，且，
，故B正确；
，故C正确；
若的值域为，根据的对称性可知，
，
，故D正确．
故选：．
的对称性可得，根据已知的两个式子，做减法和加法，可以推出，，由第一个已知条件，可以推出，然后检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数图象的对称性，奇偶性及周期性在函数求值中的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查余弦函数，对数函数的图象，函数的零点与方程根的关系，属于中档题．
在同一直角坐标系中作出和的图象，由图可得当时，和的图象有个交点，由此可得函数零点的个数．
【解答】
解：在同一直角坐标系中画出函数，的图象，如图所示：
函数的零点，即方程的实数根，
，，
结合图可知当时，函数和的图象的交点个数为，即的零点有个．
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：将函数的图象沿轴向右平移个单位后，
得到，
若此时函数为偶函数的图象，
则，，
得，，
可得当时，的最小值为．
故答案为：．
利用三角函数的平移关系求出函数的解析式，利用函数是偶函数建立方程进行求解即可．
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用偶函数的性质建立方程是解决本题的关键，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：
故答案为：．
本题考查三角函数的恒等变换，属基础题
利用弦切互化公式及正弦的二倍角公式对原式进行变形，然后拆凑角利用，再利用两角差的正弦公式展开即可求解
16.【答案】
【解析】解：由基本不等式得，即，所以，
令，由可得，所以
因为，所以，即，所以
故答案为：
由基本不等式得，可求出的范围，
再由，可用表达，利用不等式的性质求范围即可．
本题考查指数的运算法则，基本不等式求最值、不等式的性质等问题，综合性较强．
17.【答案】解：当 时， ， 或 ，
解不等式 得： ，
即 ，
所以 ．
若“ ”是“ ”的充分不必要条件，即 ，
，即 ， ，
，即 ， ，
所以 等号不同时成立，
解得： ；
即实数的取值范围为 ．

【解析】本题考查交并补的混合运算，以及充分不必要条件的应用，属于一般题目，
利用集合的运算求解即可；
将充分不必要条件转化为集合之间的包含关系即可．
18.【答案】解：，
，解得，
；
，，
，，
，
又，
．
【解析】由已知结合两角差的正切公式先求出，然后结合二倍角公式及同角基本关系进行化简即可求解；
结合同角基本关系及两角和的正切公式先求出，结合的范围即可求解．
本题主要考查了和差角公式，二倍角公式的应用，属于中档题．
19.【答案】解：设，
由题意得：，，；
则，当时，，即；
因此，；
因此，，；
由题意：，即：；
则：；
又因为，
所以．
【解析】设，由题意求得、、和、的值，写出的解析式；
由题意令，求得的取值范围即可．
本题考查了三角函数模型应用问题，也考查了分析问题与解决问题的能力，是基础题．
20.【答案】解：，
，
由得：，
解得：或，
或，
方程的解集为；
若不等式对于恒成立，
令，则，
则上式等价于对于恒成立恒成立，
，当且仅当，即时取“”，
．
【解析】依题意，可化简为，解之即可得到方程的解集；
令，则，则不等式对于恒成立对于恒成立恒成立，利用基本不等式即可求得的取值范围．
本题考查函数恒成立问题，考查函数函数的单调性与最值，突出考查函数与方程思想与等价转化思想，考查换元法及分离参数法，考查运算能力，属于难题．
21.【答案】解：函数
化简可得
由题意可得周期，
，
．
故函数的对称轴方程为
即，
由函数在上的零点为，，
可知，
且．
易知与关于对称，
则，
．
【解析】利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为的形式，根据两条相邻对称轴为求解出，即可求解对称轴方程．
利用零点为，，求解，的对称轴．即可求的值．
本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．
22.【答案】解：由题意知，，即在上有解，
令，，则，则在上有解，
则，
当时，在递减，在递增，则，
则，即，
故实数的取值范围为；
，即，
则，
又在上是减函数，
则，，
，
令，，则，
则，
又在上递增，则，又，
，
，
实数的取值范围为．
【解析】由题可得在上有解，令，可得在上有解，分离参数即可求解；
将问题转化为，利用单调性求出的最值，令，可得恒成立，分离参数求解即可．
本题考査不等式的恒成立与有解问题，属于难题．
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