2023-2024学年河南省南阳市桐柏县高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年河南省南阳市桐柏县高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若两平行直线与之间的距离是，则( )
A. B. C. D.
2.已知随机变量服从正态分布，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知为坐标原点，，是椭圆：的焦点，过右焦点且垂直于轴的直线交于，两点，若，则的离心率为( )
A. B. C. D.
4.已知空间中直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则( )
A. 直线与平面平行 B. 直线在平面内
C. 直线与平面垂直 D. 直线与平面不相交
5.已知椭圆：的焦点为，，为上一点，且点不在直线上，则“”是“的周长大于”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
6.中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的传统工艺品经过历代灯彩艺人的继承和发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型现将盏相同的宫灯、盏不同的纱灯、盏不同的吊灯挂成一排，要求吊灯挂两端，同一类型的灯笼至多盏相邻挂，则不同挂法种数为( )
A. B. C. D.
7.如图的平行六面体中，点在上，点在上，且，若，则( )
A.
B.
C.
D.
8.已知，分别为双曲线的左、右焦点，过且与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆经过点、，为直角三角形，则圆的方程为( )
A. B.
C. D.
10.已知向量，，则下列结论正确的是( )
A. 若，则， B. 若，则，
C. 若，则 D. 若，则
11.如图，在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在正方体的表面上运动，且满足下列说法中错误的是( )
A. 点可以是棱的中点
B. 线段长度的最大值为
C. 点的轨迹是正方形
D. 点的轨迹长度为
12.已知椭圆：的左右焦点分别为、，点在椭圆内部，点在椭圆上，椭圆的离心率为，则以下说法正确的是( )
A. 离心率的取值范围为
B. 当时，的最大值为
C. 存在点，使得
D. 的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知抛物线：，直线：与抛物线交于，两点，与圆：交于，两点在第一象限，则的最小值为______．
14.在的二项展开式中，的系数为______．
15.在正方体中，设，若二面角的平面角的正弦值为，则实数的值为______．
16.已知直线：和直线：，则曲线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知在的展开式中，第项为常数项．
求的值，并求该展开式中二项式系数最大的项；
求含的项的系数．
18.本小题分
如图，边长为的等边所在的平面垂直于矩形所在的平面，，为的中点．
证明：；
求平面与平面的夹角的大小；
求点到平面的距离．
19.本小题分
已知椭圆的长轴为，短轴为．
Ⅰ求椭圆的标准方程；
Ⅱ设直线：与椭圆交于不同两点、，且，求直线的方程．
20.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为棱的中点．
证明：平面平面；
若，，求二面角的正弦值．
21.本小题分
已知双曲线的实轴长为，且其渐近线方程为．
求双曲线的标准方程；
过点且斜率不为的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，为坐标原点的斜率分别为，，求是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查两条平行直线间的距离，属于较易题．
两直线与平行，可得，解得，再利用平行线之间的距离公式即可得出．
【解答】
解：两直线与平行，
，解得，
又两平行直线与之间的距离是，
，
又，解得，
．
故选A．
2.【答案】
【解析】解：随机变量服从正态分布，
则，．
故选：．
由正态分布曲线的对称性直接求解即可．
本题考查正态分布相关知识，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：设右焦点的坐标为，把代入椭圆：得，，
，
又，可得，即，
，，解得．
故选：．
由题易求得，，可知，再结合，求解离心率即可．
本题考查椭圆的离心率、焦点等几何性质，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，由于，，可得，
则有，故是平面的一个法向量，故直线与平面垂直，
故选：．
根据题意，分析可得，即可得答案．
本题考查直线与平面的位置关系，涉及平面法向量的定义，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为椭圆：的焦点为，，所以，所以．
又，所以的周长为．
若，则．
若，则．
所以“”是“的周长大于”的必要不充分条件．
故选：．
利用椭圆的性质，结合三角形的周长，推出的范围，即可判断充要条件关系．
本题考查椭圆的简单性质的应用，充要条件的判断，的中档题．
6.【答案】
【解析】解：先挂盏吊灯有种挂法，再在盏吊灯之间挂盏纱灯有种挂法，最后将宫灯插空挂，
当盏宫灯分成，两份插空时，有种挂法；
当盏宫灯分成，，三份插空时，有种挂法；
当盏宫灯分成，，，四份插空时，有种挂法，
由计数原理可知，不同挂法种数为种．
故选：．
先挂盏吊灯，再在盏吊灯之间挂盏纱灯，最后将宫灯插空挂即可．
本题主要考查了排列组合知识，考查了插空法的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：，
，
，，，
．
故选：．
根据已知条件，结合空间向量线性运算，即可求解．
本题主要考查空间向量及其线性运算，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：如图，
不妨设点为与双曲线渐近线平行的直线与双曲线的交点．
由已知结合双曲线的定义可得，
，，，且为锐角．
又，，
．
又，在中，由余弦定理可得：
，
整理可得，，
，．
故选：．
根据已知结合双曲线的定义可得，，，进而根据同角三角函数的基本关系式得出在中，由余弦定理可得出方程，整理化简即可得出，的关系式．
本题考查双曲线的几何性质，考查直线与双曲线位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：设圆心，由题意可知，，即，解得，
因为为直角三角形，则为直角三角形，则，
即，解得，则圆的半径为，
圆心为，因此，圆的方程为或，
故选：．
设圆心，由题意可知，，，求出、的值，可得出圆心的坐标以及圆的半径，由此可得出圆的方程．
本题主要考查圆的标准方程的求解，考查计算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：若，则，得，，故A正确，B错误；
若，则，即，故C正确，D错误．
故选：．
根据向量平行的坐标表示计算得出，的值判断，；根据向量垂直的坐标表示计算得出，的关系判断，．
本题考查空间向量的坐标运算，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，
点在正方体的表面上运动，且满足，
以为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，
该正方体的棱长为，是线段的中点，是线段的中点，
，，，，
，
设，则，
，，整理得，
当时，，当时，，
取，，，，
连结，，，，则，，
，，
四边形为矩形，则，，
，，
又和为平面内的两条相交直线，
平面，
，，
为的中点，平面，
，必有点平面，
点在正方体表面上运动，点的轨迹为四边形，
点不可能是棱的中点，故A错误；
又，，
，则点的轨迹不是正方形，故C错误；
矩形周长为，
点的轨迹长度为，故D正确；
，，，
又，则，整理得，
，点在正方体表面运动，
则，解得，
，
当或，或时，线段长度的最大值为，故B错误．
故选：．
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，从而得到的最大值，即可判断选项B，通过分析判断可得点不可能是棱的中点，从而判断选项A，又，，可判断选项C和选项D．
本题考查正方体结构特征、点的轨迹等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于项：因为点在椭圆内部，所以，得，
所以得：，故A项正确；
对于项：由椭圆定义知，
当在轴下方时，且，，三点共线时，有最大值，
由，得，，所以得，
所以最大值，故B项正确；
对于项：设，若，即：，
则得，即点在以原点为圆心，半径为的圆上，
又由项知：，得，
又因为，得，
所以得：，所以该圆与椭圆无交点，故C项错误；
对于项：由椭圆定义得，
所以
，
当且仅当时取等号，故D项正确．
故选：．
项中需先解出的范围，然后利用离心率的定义进行判断；
项中根据椭圆定义转化为求的最大值，从而进而判断；
项中先求出点的轨迹方程，再判断该轨迹图形与椭圆是否有交点，从而进行判断；
项中根据椭圆定义得，并结合基本不等式判断．
本题椭圆的简单性质以及简单应用，是中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为抛物线的方程为，
所以抛物线的焦点为，准线，
则直线过抛物线的焦点，
当时，联立与可得，
所以，则；
当时，如图，
过作轴于，设抛物线的准线交轴于，
则，得，
则，
同理可得，所以，
化圆：为，则圆的圆心为，半径为，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为．
故答案为：．
分别在，时，结合抛物线的性质证明，结合图象可得，再利用基本不等式求其最小值．
本题考查抛物线的定义及标准方程，考查直线与抛物线、直线与圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，考查运算求解能力，是中档题．
14.【答案】
【解析】解：根据二项式的展开式：，；
当时，的系数为．
故答案为：．
直接利用二项式的展开式求出结果．
本题考查的知识要点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
15.【答案】或
【解析】解：在正方体中，，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图，
设棱长为，，，，，，
则，，
，
设平面，平面的一个法向量分别为，
所以，，即，，
分别令，，则，
故，
设二面角的平面角为，
由，则，
故由，
解得或．
故答案为：或．
建立空间直角坐标系，利用法向量方法用表示二面角的平面角的余弦值，建立方程求解即可．
本题考查正方体结构特征、二面角等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
16.【答案】
【解析】解：设点的坐标为，
则动点到直线距离为，
动点直线的距离为，
所以曲线上一动点到直线和直线的距离之和为，
令，即，
则的几何意义是过点的直线在轴上的截距，
因为点在曲线上，
所以当直线与曲线 相切时有最值，
因为曲线是以圆心，为半径的圆，
则，
解得或，
所以曲线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值为．
故答案为：．
先设出点的坐标，表示出点到直线和直线的距离之和，再利用几何意义求解得出答案．
本题考查直线方程的应用，属于中档题．
17.【答案】解：根据二项式定理写出的通项公式为：
，
二项式展开的第项，
代入有第项为：，
第项为常数，且由式可得：，
因为展开式共有项，故二项式系数最大项为第项，此时的，
展开式第的二项式系数为；
由第小问可知，且通项公式为：，
只需要令式中的指数为，
含的项的系数．
【解析】根据二项式定理的通项公式即可解题．
令通项公式中的指数为即可解题．
本题主要考查二项式定理，考查转化能力，属于中档题．
18.【答案】解：证明：以为原点，为轴，为轴，
过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，；
平面的法向量，
又，，
设平面的法向量，
则，取，
设平面与平面夹角的大小为，
则，，
平面与平面夹角的大小为；
，，
由知平面的法向量，
点到平面的距离．
【解析】以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明；
求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出平面与平面夹角的大小；
求出平面的法向量，利用向量法能求出点到平面的距离．
本题考查向量法证明线线垂直，向量法求解面面角问题，向量法求解点面距问题，属中档题．
19.【答案】解：Ⅰ因为椭圆的长轴为，短轴为，
所以，，
解得，，
则椭圆的方程为；
Ⅱ联立，消去并整理得，
因为直线与椭圆交于不同两点、，
所以，
解得，
由韦达定理得，，
因为
，
解得，
则直线的方程为．
【解析】Ⅰ由题意，列出等式求出和的值，进而可得椭圆的标准方程；
Ⅱ将直线的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系以及弦长公式再进行求解即可．
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
20.【答案】解：证明：取的中点，连接，，，，
底面为菱形，则，
又，分别为，的中点，则，
故AC，
注意到，，，平面，
则平面，
平面，则，
又，为棱的中点，则，，，，平面，
平面，
且平面，故平面平面．
若，，则为等边三角形，且为的中点，
故，
由得，如图所示建立空间直角坐标系，
设，则，
可得，
设平面的法向量，则，即，
则可取，
易知平面的一个法向量为，
则，
设二面角为，
则，可得，
所以二面角的正弦值为．
【解析】根据线面、面面垂直的判定定理分析证明；
建系，求出平面与平面的法向量，利用空间向量求二面角即可．
本题考查面面垂直的判定以及利用空间向量求解二面角的正弦值，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：因为双曲线的实轴长为，
所以，
因为双曲线的渐近线方程为，
所以，
联立，
解得，，
则双曲线的方程为；
不妨设直线的方程为，，，，
联立，消去并整理得，
此时恒成立，
由韦达定理得，，
所以，
则，
因为，
所以，
整理得，
因为点在直线上，
所以，
此时，
即，
则．
为定值，定值为．
【解析】由题意，根据题目所给信息，列出等式求出和的值，进而可得双曲线的方程；
设出直线的方程和，，的坐标，将直线的方程与双曲线的方程联立，利用韦达定理、斜率公式以及题目所给信息，列出等式再进行求解即可．
本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
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