2023-2024学年安徽省十五校教育集团高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年安徽省十五校教育集团高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点，空间内一平面过原点，且垂直于向量，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
2.已知数列是首项为，公差为的等差数列，则( )
A. B. C. D.
3.抛物线上到直线距离最近的点的坐标是( )
A. B. C. D.
4.若直线把单位圆分成长度为：的两段圆弧，则( )
A. B. C. D.
5.定义：对于数，，若它们除以整数所得的余数相等，则称与对于模同余或同余于模，记作已知正整数满足，将符合条件的所有的值按从小到大的顺序排列，构成数列设数列的前项之和为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数为连续可导函数，的图像如图所示见图，以下命题正确的是( )
A. 是函数的极大值
B. 是函数的极小值
C. 在区间上单调递增
D. 的零点是和
7.已知正方体的棱长为，、分别是侧面和的中心过点的平面与垂直，则平面截正方体所得的截面积为( )
A. B. C. D.
8.已知，是椭圆：与双曲线：的公共焦点，，分别是与的离心率，且是与的一个公共点，满足，则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. 的最小值为 D. 的最大值为
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C. 设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底
D. 若，则，是钝角
10.已知直线：，：，：，其中，为常数，与的交点为，则( )
A. 对任意实数， B. 不存在点，使得为定值
C. 存在，使得点到原点的距离为 D. 到的最大距离为
11.已知数列满足，，则的值可能为( )
A. B. C. D.
12.经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数，若函数图象的对称点为，且不等式对任意恒成立，则( )
A. B. C. 的值可能是 D. 的值可能是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知等差数列满足，则的值为______．
14.如图所示，为 所在平面外一点，为的中点，为上一点，当平面时， ．
15.在平面直角坐标系中，椭圆和抛物线交于点，，点为椭圆的右顶点若、、、四点共圆，则椭圆离心率为______．
16.已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
公差不为零的等差数列中，是和的等比中项，且该数列前项之和为．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项之和的最小值．
18.本小题分
已知函数．
若在上单调递增，求的取值范围；
试讨论函数的单调性．
19.本小题分
如图在平行六面体中，，．
求证：直线平面；
求直线和夹角的余弦值．
20.本小题分
已知函数，其最小值为．
求的值；
若关于的方程恰有一个实根，求实数的范围．
21.本小题分
如图，圆台的上、下底面圆半径分别为，，圆台的高为，是下底面圆的一条直径，点在圆上，且，点在圆上运动与在的两侧，是圆台的母线，．
求的长；
求平面和平面的夹角的余弦值．
22.本小题分
如图，设是上的动点，点是点在轴上的投影，点满足．
当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程；
若，设点，关于原点的对称点为，直线过点且与曲线交于点和点，设直线与直线交于点，设直线的斜率为，直线的斜率为．
求证：为定值；
求证：存在两条定直线、，使得点到直线、的距离之积为定值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：点，空间内一平面过原点，且垂直于向量，
由题意可得：，平面的法向量为，
点到平面的距离为．
故选：．
根据题意结合点到面的距离公式运算求解．
本题考查空间中点到平面的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
2.【答案】
【解析】解：由题意可知：，
故可得，
所以．
故选：．
根据题意结合等差数列通项公式可得，即可得结果．
本题主要考查了等差数列通项公式的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为直线的斜率，
又因为，则，
当平行与直线且与抛物线相切时，切点到直线的距离最小，
令，解得，此时，
可知抛物线上到直线距离最近的点的坐标是．
故选：．
根据题意可知抛物线的切线与直线平行时，切点到直线距离最小，结合导数的几何意义运算求解
本题考查用导数的方法求点到直线的距离最小的方法，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：直线把单位圆分成长度为：的两段圆弧，为的中点，
则，，
，
，
圆心到直线的距离为，解得．
故选：．
根据已知条件，先求出圆心角，再结合垂径定理，以及点到直线的距离公式，即可求解．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：由题意可知：，且，
可知数列是等差数列，则，
可得，
当且仅当时，取得最小值．
故选：．
根据给定条件，求出数列的通项及前项和为，再借助基本不等式求解即得．
本题主要考查了等差数列的求和公式，还考查了利用基本不等式求解最值，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：，，
由的图象知，
当或时，；当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
的极小值为，无极大值．
故A错误，B正确，C错误，
又，的值不确定，故D错误．
故选：．
由的图象知，当或时，；当时，，逐一判断即可．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：正方体的棱长为，、分别是侧面和的中心，
过点的平面与垂直，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，
侧面的中心，侧面的中心，且，
则，点在平面与平面的交线上，
设为这条交线上任意一点，则，
平面，则，，
令，得点，令，得点，
连接，平面与平面必相交，
设为这条交线上任意一点，则，
，整理得，
令，得点，连接，
平面平面，则平面与平面的交线过点，与直线平行，
过作，交于，则，，
，，，
由题意得平面与平面，都相交，则平面与直线相交，
令交点为，，
由，得，
连接，，得截面五边形，即截面为五边形，
则，，，
取中点，连接，，则，，
取中点，连接，，则，
在中，，，
的面积，
在中，，，
边上的高，
梯形的面积，
平面截正方体所得的截面积．
故选：．
建立空间直角坐标系，利用空间向量确定截面形状，再计算截面面积，能求出结果．
本题考查正方体的结构特征、面面位置关系、截面、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
8.【答案】
【解析】解：已知，是椭圆：与双曲线：的公共焦点，
对于选项A，，
即选项A错误；
对于选项B，由椭圆及双曲线的定义可得：，
，
又是与的一个公共点，满足，
则，
由可得，
则，
即，
即，
即选项B错误；
对于选项C，由选项可得，
所以，
令，
令，，恒成立，所以单调递增，
所以，
即，所以不正确；
对于选项D，设，，
则，此时，即，时等号成立，所以D正确．
故选：．
由题意可得，，，的关系，判断出选项的真假，再由，可得曲线的离心率的关系，判断出选项的真假，由“”的活用及基本不等式的性质，判断出选项的真假；设，，由三角函数的性质可得的最大值，判断出选项的真假．
本题考查了椭圆的离心率，双曲线的离心率的求法及椭圆的性质的应用，属中档题．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了空间向量的共线定理，共面定理的应用，考查了基底的概念以及向量的夹角的应用，属于中档题．
根据向量共线的概念即可判断选项A；根据空间向量的基本定理即可判断选项B；根据空间向量的基底的概念即可判断选项C；根据向量夹角的定义即可判断选项D．
【解答】
解：选项A：根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，
若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故A正确；
选项B：因为对空间中任意一点，有，
则，整理可得：，
由平面向量基本定理可知点，，，四点一定共面，故B正确；
选项C：由是空间中的一组基底，则向量不共面，
可得向量也不共面，所以也是空间中的一组基底，故C正确；
选项D：若，则为钝角或，故D错误．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：对于，因为，则，故A正确；
对于，因为：，：，即：，：，
易得直线过定点，直线过定点，
因为与的交点为，则在以为直径的圆上，
而的中点为，且，故点在圆：上，
故取点坐标为，此时为定值，故B错误；
对于，因为，圆的半径为，
故到原点取值范围为，且，
所以存在实数，使得到原点的距离为，故C正确；
对于，因为过原点，所以当，
且在直线上时，点到的距离最大且最大值为，故D正确．
故选：．
对于，由即可判断得；对于，结合选项A中的结论，得到在圆上，由此可求得点使得为定值；对于，利用选项B中的结论，结合点到圆上的点的距离的最小值即可判断；对于，利用直线到圆上点的距离的最大值即可判断．
本题考查直线的应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：依题意，由，
可得，
即，
化简整理，得，
，或，
当时，，
数列是首项为，公比为的等比数列，
，
当时，可得，下面用数学归纳法证明：
当时，，命题成立，
当，假设成立，
则当时，，
，命题成立，
由上可知，成立，此时，
或．
故选：．
先将题干中递推公式进行转化得到，的两种对应关系，然后分类讨论的通项公式，由此可得结果．
本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式．考查了分类讨论思想，转化与化归思想，数学归纳法，等比数列的通项公式的应用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：由题意得，
，，
，解得，，故A，B正确；
此时，
，，等价于，
当时，，则当且仅当时，等号成立，
从而，故，故C正确，D错误．
故选：．
由题意可得且，由此列式求得与的值，可得，B正确；，等价于，利用放缩法求得不等式右侧的最小值，可得的范围判断与．
本题考查利用导数求函数的极值与最值，考查化归与转化思想，考查逻辑思维能力与推理论证能力，考查运算求解能力，属难题．
13.【答案】
【解析】解：由题意可得：，则，
所以．
故答案为：．
根据等差数列下标和性质运算求解．
本题主要考查了等差数列的性质的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：连接交于点，
连接．
平面，平面，平面平面，
，
，
故答案为：．
连接交于点，运用线面平行的性质定理，可得，再由平行线分线段成比例定理，可得结论．
本题考查的知识点是线面平行的性质定理，行线分线段成比例定理，难度中档．
15.【答案】
【解析】解：在平面直角坐标系中，椭圆和抛物线交于点，，点为椭圆的右顶点．
如图所示，，，，
则，，
因为、、、四点共圆，
又点，关于直线对称，
则，
则，
将代入得，，
由解得，，
代入椭圆方程，
可得，
整理得，
所以，
即．
故答案为：．
分别求出、、坐标，利用四点共圆可以得到，解方程即可．
本题考查了椭圆的性质，重点考查了椭圆离心率的求法，属中档题．
16.【答案】
【解析】解：函数在上有两个极值点，
在上有两个变号零点，
令，可得，
令，则，
，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
又，作出函数在上图象，
当时，直线与函数在上的图象有两个交点，
设两个交点的横坐标分别为、，且，由图可知，
当或时，，此时，
当时，，此时，
函数在上递增，在上递减，在上递增，
此时，函数有两个极值点，合乎题意．
因此，实数的取值范围为．
故答案为：．
由可得，令，则直线与函数在上的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题．
17.【答案】解：设等差数列的公差为，
则，
因为是和的等比中项，
则，
即，
即，
整理可得，
又因为数列的前项和为，
可得，
联立可得，，
所以．
由，
可得，
而，
所以满足条件的的最大值为，
因此，数列的前项之和的最小值为．
【解析】设等差数列的公差为，则，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列的通项公式可求得数列的通项公式；
解不等式，得出满足条件的正整数的最大值，再结合等差数列的求和公式可求得的最小值．
本题考查了等差数列的通项公式的求法，重点考查了等差数列的求和公式，属中档题．
18.【答案】解：在上单调递增，
，
在上恒成立，
即在上恒成立，
又在上单调递增，
当时，取得最小值，
，即，
的取值范围．
由可得：，
当，即时，则，
当，即时，
令，解得或；令，解得；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在内单调递减．
【解析】由题意可知：在上恒成立，结合二次函数分析求解；
分和两种情况，结合导数以及二次不等式分析求解．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
19.【答案】证明：设，，，则为空间的一个基底，
则，，，
因为，，
所以，，
所以，，
所以，，又，
所以平面．
解：由得，
所以，
，
所以，则，
所以，
设与的夹角为，则．
所以直线和夹角的余弦值为．
【解析】设，，，则为空间的一个基底，根据空间向量的线性运算得出，，，再根据向量的数量积运算得出，，从而得出，，进而根据线面垂直的判定定理，即可证明直线平面；
根据空间向量的线性运算得出，再根据向量的数量积运算求得和，，最后根据异面直线的夹角公式，，即可求出直线和夹角的余弦值．
本题主要考查直线与平面垂直的证明，异面直线所成角的求法，向量法的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：因为，所以，
当，则，可知单调递增；
当，则，可知单调递减；
则最小值在处取到，
可得，解得，
所以的值为．
因为，所以，显然不是方程的根，
则．
令，则，
当，则，可知在和上单调递增；
当，则，可知在和上单调递减；
可知，，
，，，
，，
且，，，，，
，，，，，
如图所示：
若有个实根，即使与有一个交点即可，
可知或或，
所以实数的范围为．
【解析】先求导函数再求出最值求参即可；
先把函数转化为函数的交点问题，构造函数再结合单调性及值域求参即可．
本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查了导数的综合应用，考查了函数思想及数形结合思想，属于中档题．
21.【答案】解：依题意平面，平面，则，，
与相交，平面，
平面，，
，，
，，，
，，
，是等边三角形，，
，关于对称，．
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
，，
，，，，
设平面的法向量为，
则，取，得，
设平面的法向量为，
则，取，得，
设平面和平面的夹角为，，
平面和平面的夹角的余弦值为．
【解析】根据圆台的性质可得平面，从而得到，再由，得到平面，即可得到，从而得到，再由锐角三角函数求出，即可得到是等边三角形，由此能求出结果．
建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面和平面的夹角的余弦值．
本题考查圆台结构特征、线面垂直的判定与性质、二面角等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
22.【答案】解：不妨设，，
因为点是点在轴上的投影，
所以，
此时，，
因为，
所以，，
因为点是上的动点，
所以，
此时，
整理得，
则点的轨迹的方程为；
若，
由知，曲线的方程为，
易知点，在曲线上，
不妨设，，
此时直线方程为，直线方程为，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
此时，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
此时，
不妨令，
此时，，
因为，，三点共线，
所以，
可得，
即，
整理得，
易知直线，的斜率同号，
此时，
所以，
则，
故为定值，定值为；
(ⅱ)证明：不妨设，
此时，，
由知，
即，
整理得，
易知函数的图象是由函数的图象先向右平移个单位，再向下平移个单位而得，
而函数的图象是以轴、轴为渐近线的双曲线，
即点的轨迹是以直线，为渐近线的双曲线，
该双曲线上任意一点到直线，的距离分别为，，
因为，
不妨令直线，分别为，，
则存在两条定直线，，使得点到直线，的距离之积为定值．
【解析】由题意，设出点，的坐标，利用所给信息以及向量的运算进行求解即可；
结合中所得信息得到曲线的方程，将曲线的方程分别与直线，的方程联立，求出点，的坐标，根据向量共线，列出等式，进而即可得证；
结合的结论求出点的轨迹方程，利用反比例函数图象确定出直线，，进而即可得证．
本题考查轨迹方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力．
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