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(总课时43)§5.3简单的轴对称图形（2）
A组：
1.关于线段的垂直平分线有以下说法:
①一条线段的垂直平分线的垂足,也是这条线段的中点;②线段的垂直平分线是一条直线;
③一条线段的垂直平分线是这条线段的一条对称轴.其中正确的说法有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个
2.如图1所示，C是线段AB的垂直平分线上的一点，垂足为D，则下列结论中正确的有( )
①AD＝BD；②AC＝BC；③∠A＝∠B；④∠ACD＝∠BCD；⑤∠ADC＝∠BDC＝90°.
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3.如图2，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（ ）
A. 60° B. 50° C. 40° D. 30°
4.如图3，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC的垂直平分线交AC于E，交AB于D，则图中60°的角共有( )
A. 6个 B. 5个 C. 4个 D. 3个
5.如图4，△ABC中，∠BAC=100°，DF，EG分别是AB，AC的垂直平分线，则∠DAE等于（ ）
A. 50° B. 45° C. 30° D. 20°
6.已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA＝4cm，则PB＝ cm.
7.如图5，等腰三角形ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠DBC＝15°，则∠A的度数是______．
8.如图6，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，△ABD的周长是12cm，AC＝5cm，则AB＋BD＋DC＝_____cm；△ABC的周长是_____cm.
9.如图7，△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，且∠BAD：∠CAD=4：1，则∠B＝_____.
10.如图8,已知线段AB,BC的垂直平分线l1,l2交于点M,则线段AM,CM的大小关系是__________.
11.如图9，已知AB比AC长2cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长是14cm，求AB和AC的长．
12.如图10,已知点P为∠MON内一点,点P与点A关于直线ON对称,点P与点B关于直线OM对称.连接AB,交ON于D点,交OM于C点,若AB长为15 cm,求△PCD周长.
B组：
13.在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E，MN垂直平分AC，分别交AC，BC于点M，N，连接AE，AN.
(1)如图11.1，若∠BAC＝100°，求∠EAN的度数；
(2)如图11.2，若∠BAC＝70°，求∠EAN的度数；
(3)若∠BAC＝α(α≠90°)，请直接写出∠EAN的度数．(用含α的代数式表示)
图1
图3
图4
图2
图7
图5
图6
图8
图9
图11.1
图11.2
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(总课时43)§5.3简单的轴对称图形（2）
A组：
1.关于线段的垂直平分线有以下说法:
①一条线段的垂直平分线的垂足,也是这条线段的中点;②线段的垂直平分线是一条直线;
③一条线段的垂直平分线是这条线段的一条对称轴.其中正确的说法有( C )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个
2.如图1所示，C是线段AB的垂直平分线上的一点，垂足为D，则下列结论中正确的有( D )
①AD＝BD；②AC＝BC；③∠A＝∠B；④∠ACD＝∠BCD；⑤∠ADC＝∠BDC＝90°.
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3.如图2，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（ D）
A. 60° B. 50° C. 40° D. 30°
4.如图3，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC的垂直平分线交AC于E，交AB于D，则图中60°的角共有( B )
A. 6个 B. 5个 C. 4个 D. 3个
5.如图4，△ABC中，∠BAC=100°，DF，EG分别是AB，AC的垂直平分线，则∠DAE等于（ D ）
A. 50° B. 45° C. 30° D. 20°
6.已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA＝4cm，则PB＝ 4 cm.
7.如图5，等腰三角形ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠DBC＝15°，则∠A的度数是50°．
8.如图6，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，△ABD的周长是12cm，AC＝5cm，则AB＋BD＋DC＝12cm；△ABC的周长是17cm.
9.如图7，△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，且∠BAD：∠CAD=4：1，则∠B＝40°.
10.如图8,已知线段AB,BC的垂直平分线l1,l2交于点M,则线段AM,CM的大小关系是AM=CM
11.如图9，已知AB比AC长2cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长是14cm，求AB和AC的长．
解：∵DE垂直平分BC，∴BD=DC，
∵AB=AD+BD，∴AB=AD+DC.
∵△ADC的周长为15cm，∴AD+DC+AC=15cm，∴AB+AC=15cm.
∵AB比AC长3cm，∴AB-AC=3cm∴AB=9cm ，AC=6cm.
12.如图10,已知点P为∠MON内一点,点P与点A关于直线ON对称,点P与点B关于直线OM对称.连接AB,交ON于D点,交OM于C点,若AB长为15 cm,求△PCD周长.
解：∵点P与点A关于直线ON对称，点P与点B关于直线OM对称，
∴ON垂直平分AP，OM垂直平分BP，
∴DA=DP，CP=CB，
∴△PCD的周长=PD+PC+CD=AD+DC+CB=AB=15cm.
B组：
13.在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E，MN垂直平分AC，分别交AC，BC于点M，N，连接AE，AN.
(1)如图11.1，若∠BAC＝100°，求∠EAN的度数；
(2)如图11.2，若∠BAC＝70°，求∠EAN的度数；
(3)若∠BAC＝α(α≠90°)，请直接写出∠EAN的度数．(用含α的代数式表示)
解：(1)∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B.
同理可得∠CAN＝∠C，
∴∠EAN＝∠BAC－∠BAE－∠CAN
＝∠BAC－(∠B＋∠C)．
在△ABC中，∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝80°，
∴∠EAN＝100°－80°＝20°.
(2)∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B.
同理可得∠CAN＝∠C.∴∠EAN＝∠BAE＋∠CAN－∠BAC＝(∠B＋∠C)－∠BAC.
在△ABC中，∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝110°，
∴∠EAN＝110°－70°＝40°.
(3)当0°＜α＜90°时，∠EAN＝180°－2α；当90°<α<180°时，∠EAN＝2α－180°.
图1
图3
图4
图2
图7
图5
图6
图8
图9
图10
图11.1
图11.2
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(总课时43)§5.3简单的轴对称图形（2）
【学习目标】探索线段轴对称性,掌握线段的垂直平分线的性质．
【学习重难点】能够运用线段垂直平分线的性质解决实际问题.
【导学过程】
一.知识回顾
1.等腰三角形是轴对称图形,它的顶角的平分线.底边上的中线.底边上的高_____,也称__________,它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴.
2.等边三角形是轴对称图形，一共有____条对称轴，它的对称轴是等边三角形的每条边上的高__________,或每条边上的中线__________,或每个角的__________所在的直线.
二.探究新知
知识点一：线段的对称性
1.按照下面的步骤做一做：
（1）画一条线段AB，对折AB使点A,B重合，折痕与AB的交点为O； （2）在折痕上任取一点C，沿CA将纸折叠； （3）把纸展开，得到折痕CA和CB.
图中CO与AB的位置关系是_________；AO与OB的数量关系是_________，CA与CB的数量关系是__________；在折痕上另取一点再试试！
2.归纳：
（1）线段是__________图形，垂直平分这条线段的直线是它的一条对称轴.
（2）垂直平分线段的的直线叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）
（3）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离_____.
几何语言：∵C是线段AB的垂直平分线上的一点（如图1）
∴CA=CB(__________________________________________________）
你能证明这个结论吗？
已知：OC⊥AB，O是AB的中点，
求证：AC=BC
证明：
知识点二：利用尺规作线段AB的垂直平分线
已知：如图2，线段AB.
求作:AB的垂直平分线
作法：1.分别以点A和B为圆心，以大于AB的长度为半径作弧，两弧相交于点C和D
2.作直线CD
∴直线CD就是线段AB的垂直平分线.
思考:你能说明这样作的道理吗
三.典例与练习
例1.如图3，在△ABC中，BC=10，边BC的垂直平分线分别交AB，BC于点E，D，BE=6，求△BCE的周长．
练习1.如图4,已知△ABC，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，并交BC
于点D，已知AC=6cm,BC=8cm,那么△ACD的周长是：_____.
例2.已知：平面内的一点C和一条直线l,
求作：过点C作直线l的垂线
作法：分两种情况：
第一种情况：点C在直线l上
第二种情况：点C在直线l外
四.课堂小结
1.线段是__________图形，垂直平分这条线段的直线是它的一条对称轴.
2.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离_____.
3.三角形三边的中垂线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离_____.
4.用尺规作图：①找出线段的中点②过一点作已知直线的中垂线③作三角形的重心.
五.分层过关
1.如图5，在△ABC中，AB=AC，腰AB的垂直平分线交另一腰AC于D,若BD+CD=11cm,则AB的长度为（ ）
A.6.5 cm B.6 cm C.8cm D .11cm
2.如图6，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB=6cm，且△ABD的周长为16cm，则BC的长为( )
A．8cm B．10cm C．14cm D．22cm
3.如图7，在△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，∠A=40°，则∠CDB=____°,∠CBD=____°
4.如图8：A,B,C三点表示三个工厂,现要建一供水站,使它到这三个工厂的距离相等,请在图中标出供水站的位置P,并说明理由.
5.如图9，在△ABC中，AB=AC，作AB边的垂直平分线交直线BC于M，交AB于点N．
（1）如图9（1），若∠A=40°，则∠NMB=_____度；
（2）如图9（2），若∠A=70°，则∠NMB=_____度；
（3）如图9（3），若∠A=120°，则∠NMB=_____度；
（4）由（1）（2）（3）问，你能发现∠NMB与∠A有什么关系？写出猜想，并证明．
图1
图2
图3
图4
图6
图5
图7
图8
图9
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(总课时43)§5.3简单的轴对称图形（2）
【学习目标】探索线段轴对称性,掌握线段的垂直平分线的性质．
【学习重难点】能够运用线段垂直平分线的性质解决实际问题.
【导学过程】
一.知识回顾
1.等腰三角形是轴对称图形,它的顶角的平分线.底边上的中线.底边上的高重合,也称三线合一,它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴.
2.等边三角形是轴对称图形，一共有三条对称轴，它的对称轴是等边三角形的每条边上的高所在的直线,或每条边上的中线所在的直线,或每个角的平分线所在的直线.
二.探究新知
知识点一：线段的对称性
1.按照下面的步骤做一做：
（1）画一条线段AB，对折AB使点A,B重合，折痕与AB的交点为O； （2）在折痕上任取一点C，沿CA将纸折叠； （3）把纸展开，得到折痕CA和CB.
图中CO与AB的位置关系是CO⊥AB；AO与OB的数量关系是AO=BO，CA与CB的数量关系是CA=CB；在折痕上另取一点再试试！
2.归纳：
（1）线段是轴对称图形，垂直平分这条线段的直线是它的一条对称轴.
（2）垂直平分线段的的直线叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）
（3）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
几何语言：∵C是线段AB的垂直平分线上的一点（如图1）
∴CA=CB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）
你能证明这个结论吗？
已知：OC⊥AB，O是AB的中点，
求证：AC=BC
证明：∵OC⊥AB，O是AB的中点，
∴∠COA=∠COB=90，OA=OB
∴△AOC≌△BOC(SAS）
∴AC=BC
知识点二：利用尺规作线段AB的垂直平分线
已知：如图2，线段AB.
求作:AB的垂直平分线
作法：1.分别以点A和B为圆心，以大于AB的长度为半径作弧，两弧相交于点C和D
2.作直线CD
∴直线CD就是线段AB的垂直平分线.
思考:你能说明这样作的道理吗
三.典例与练习
例1.如图3，在△ABC中，BC=10，边BC的垂直平分线分别交AB，BC于点E，D，BE=6，求△BCE的周长．
解：∵ED垂直平分BC，∴CE=BE=6
∵BC=10，
∴△BCE的周长=BE+CE+BC
=6+6+10=22(cm)
练习1.如图4,已知△ABC，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，并交BC
于点D，已知AC=6cm,BC=8cm,那么△ACD的周长是：14cm.
例2.已知：平面内的一点C和一条直线l,
求作：过点C作直线l的垂线
作法：分两种情况：
第一种情况：点C在直线l上
以C为圆心，任一线段的长为半径画弧，交l于A.B两点，则C是线段AB的中点．因此，过C画直线l的垂线转化为画线段AB的垂直平分线．
第二种情况：点C在直线l外
以点C为圆心，以适当长为半径画弧，交直线l于点A.B；
因此，过C画直线l的垂线转化为画线段AB的垂直平分线．
四.课堂小结
1.线段是轴对称图形，垂直平分这条线段的直线是它的一条对称轴.
2.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
3.三角形三边的中垂线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等.
4.用尺规作图：①找出线段的中点②过一点作已知直线的中垂线③作三角形的重心.
五.分层过关
1.如图5，在△ABC中，AB=AC，腰AB的垂直平分线交另一腰AC于D,若BD+CD=11cm,则AB的长度为（D ）
A.6.5 cm B.6 cm C.8cm D .11cm
2.如图6，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB=6cm，且△ABD的周长为16cm，则BC的长为( B )
A．8cm B．10cm C．14cm D．22cm
3.如图7，在△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，∠A=40°，则∠CDB=80°,∠CBD=10°
4.如图8：A,B,C三点表示三个工厂,现要建一供水站,使它到这三个工厂的距离相等,请在图中标出供水站的位置P,并说明理由.
解：连接AB，AC，BC，分别作它们的中垂线，三条中垂线相交一点P，
则P点到三顶点的距离相等.
则P点即为所求作
5.如图9，在△ABC中，AB=AC，作AB边的垂直平分线交直线BC于M，交AB于点N．
（1）如图9（1），若∠A=40°，则∠NMB= 20 度；
（2）如图9（2），若∠A=70°，则∠NMB=35度；
（3）如图9（3），若∠A=120°，则∠NMB=60度；
（4）由（1）（2）（3）问，你能发现∠NMB与∠A有什么关系？写出猜想，并证明．
解:（4）结论：．
理由：如图1中，∵AB=AC，∠B=∠ACB=0.5(180°-∠A).∵MN⊥AB,∴∠MNB=90°,
∴∠NMB=90°-∠B=90°-0.5(180°-∠A)=0.5∠A.
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P
图9
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