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(总课时42)§5.4 分式方程(2)
【学习目标】掌握分式方程的解法；理解分式方程产生增根的原因，并会检验增根.
【学习重难点】掌握分式方程的解法.
【导学过程】
一.知识回顾
1.____________________的方程叫做分式方程.
2.下列方程中，哪些是分式方程？并给出理由．
（1）； （2）； （3）．
解：_____________________．
3.解一元一次方程步骤：①______②______③_____④______________⑤_______⑥______.
二.探究新知
引例1.解一元一次方程
解：方程两边同乘以_____得：
8x+6=_______
去括号得：8x+6=_____
移项得：8x-3x=_____
合并同类项得：5x=____
系数化1得：x=____
检验：左=___，右=___
左=右，x=______是方程的解.
练习1.解方程：．
解：去分母得：__________________，去括号得：______________，
移项合并得：____________，解得：______，经检验_______是分式方程的解．
归纳总结：
1．在方程的两边同时乘以各分母的最简公分母，约去分母，化分式方程为整式方程.
2．解这个整式方程.
3．把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去.
引例2.在解分式方程时，小亮的解法如下：
解：方程两边同时乘以x-2得：1-x=-1-2(x-2),解这个方程得：x=2.你认为x=2是原方程的根吗？为什么？与同伴交流．
检验：把x=2代入方程左边时，分式的分母为零，即分式无意义.∴x=2不是原方程的根.
总结：
①增根：使原分式方程的分母为零的未知数的值，我们称它为原方程的增根.
②增根产生的原因：去分母时，我们在方程的两边同时乘了一个使分母为零的整式.
③注意：解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须验根，发现增根须舍去增根.
④验根方法：只需把求出的未知数的值带入最简公分母中，看其是否为零，若等于零，即为增根.
三.典例与练习
例1.解方程：（1） （2）
解：(1)方程两边同乘以最简公分母______得：
6x=x+5
解这个整式方程得：______
经检验得：______是原方程的解.
练习2.解分式方程：（1）， （2）
例2.若关于x方程有增根，求m的值.
解：方程两边都乘以（x-2），得x-3=m. (①化分式方程为整式方程)
∵方程有增根，∴x-2=0，即x=2，（②设分母为零，求出未知数的值）
∴把x=2代入x-3=m，∴2-3=m，解得m= 1．（③代未知数的值到整式方程，求出参数的值）
练习3.当k=____时，关于x的方程有增根。
四.课堂小结
解分式方程步骤：
1.去分母，把分式方程转化为整式方程；
2.解这个整式方程；
3.检验：将未知数的值代入最简公分母，看其是否为零，若等于零，即为增根.
4.写出分式方程的根或舍去增根原方程无解.
五.分层过关
1.方程＝的解为（ ）
A．x＝﹣4 B．x＝4 C．x＝1 D．x＝﹣1
2．解分式方程时，去分母正确的是（ ）
A．x﹣3＝﹣2 B．x﹣3（2x﹣1）＝﹣2 C．x﹣3（2x﹣1）＝2 D．x﹣6x﹣3＝﹣2
3．若解关于x的分式方程＝1时出现了增根，则m的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2
4．解方程：
（1）＝ （2）＝1
5．已知关于x的方程+＝2有增根，求m的值．
6．若关于x的方程：+＝．
（1）有增根，求a的值；（2）无解，求a的值．
解分式方程：
解：方程两边同乘以x(x-2)得：
x=______
去括号得：x=______
移项得：x-3x=-6
合并同类项得：-2x=-6
系数化1得：x=3
检验：左=1，右=1
左=右，x=3是方程的解.
（2）方程两边同乘以最简公分母
____________得：x+1=2x
解这个整式方程得：______
检验：把______代入最简公分母：
__________________∴原方程____.
______________________________.
提示：使分式方程无解有两种情况
①分式方程有增根；
②分式方程化为整式方程后无解.
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(总课时42)§5.4 分式方程(2)
一.选择题：
1.将分式方程＝去分母后得到整式方程，正确的是(A)
A．x－2＝2x B．x2－2x＝2x C．x－2＝x D．x＝2x－4
2.分式方程＝1的解为 (A)A．x＝－1 B．x＝ C．x＝1 D．x＝2
3.若关于x的分式方程＋＝2有增根，则m的值是(A)
A．m＝－1 B．m＝0 C．m＝3 D．m＝0或m＝3
4.下列说法中，错误的是（ A ）
A．分式方程的解等于0，就说明这个分式方程无解
B．解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程
C．检验是解分式方程必不可少的步骤
D．能使分式方程的最简公分母等于零的未知数的值不是原分式方程的解
5.如果关于x的分式方程有解，则a的值为（ ）
A． B． C．且 D．且
二.填空题：
6.分式方程=的最简公分母是m2-1.
7.分式方程的解是x=2．
8.分式方程的解是x=3
9.若关于x的方程的解为负数，则a的取值范围为a<0且a≠-2．
10.若关于x的分式方程无解．则常数n的值是1或
三.解答题：
11.解下列分式方程
(1) (2)
解：去分母得：2+x（x+2）=x2-4，
解得：x=-3，
检验：当x=-3时，（x+2）（x-2）≠0，
故x=-3是原方程的根．
12.解分式方程,分以下四步,其中,错误的是那一步？
①方程两边分式的最简公分母是(x-1)(x+1)
②方程两边都乘以(x-1)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6
③解这个整式方程,得x=1
④原方程的解为x=1
解：方程无解，虽然化简求得，但是将代入原方程中，可发现和的分母都为零，即无意义，所以，即方程无解
13.关于x的方程：－＝1.
(1)当a＝3时，求这个方程的解；
(2)若这个方程有增根，求a的值．
解：(1)当a＝3时，原方程为－＝1,方程两边同乘x－1，得3x＋1＋2＝x－1，
解这个整式方程得x＝－2，检验：将x＝－2代入x－1＝－2－1＝－3≠0，
∴x＝－2是原分式方程的解．
(2)方程两边同乘x－1，得ax＋1＋2＝x－1，若原方程有增根，则x－1＝0，解得x＝1，将x＝1代入整式方程得a＋1＋2＝0，解得a＝－3.
14.若关于x的分式方程无解，求m的值．
解：去分母得：2mx+x2﹣x2+3x＝2x﹣6，即（2m+1）x+6＝0，
当2m+1＝0，即m＝﹣0.5时，方程无解；
当2m+1≠0，即m≠﹣0.5时，由分式方程无解，得到x＝0或x＝3，
把x＝0代入整式方程得：m无解；把x＝3代入整式方程得：6m+9＝0，
解得：m＝﹣1.5，
综上，m的值为﹣1.5或﹣0.5．
解：去分母得:
解得x=3，将检验当x=3时最简公分母，所以x=3是分式方程的增根，方程无解
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(总课时42)§5.4 分式方程(2)
【学习目标】掌握分式方程的解法；理解分式方程产生增根的原因，并会检验增根.
【学习重难点】掌握分式方程的解法.
【导学过程】
一.知识回顾
1.分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
2.下列方程中，哪些是分式方程？并给出理由．
（1）； （2）； （3）．
解：（3），分母中含有未知数．
3.解一元一次方程步骤：①去分母②去括号③移向④合并同类项⑤系数化为1⑥检验.
二.探究新知
引例1.解一元一次方程
解：方程两边同乘以12得：
8x+6=3（x+1)
去括号得：8x+6=3x+3
移项得：8x-3x=3-6
合并同类项得：5x=-3
系数化1得：x=-0.6
检验：左=0.1，右=0.1
左=右，x=-0.6是方程的解.
练习1.解方程：．
解：去分母得：2（x+2）＝3（3x﹣1），去括号得：2x+4＝9x﹣3，
移项合并得：﹣7x＝﹣7，解得：x＝1，经检验x＝1是分式方程的解．
归纳总结：
1．在方程的两边同时乘以各分母的最简公分母，约去分母，化分式方程为整式方程.
2．解这个整式方程.
3．把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去.
引例2.在解分式方程时，小亮的解法如下：
解：方程两边同时乘以x-2得：1-x=-1-2(x-2),解这个方程得：x=2.你认为x=2是原方程的根吗？为什么？与同伴交流．
检验：把x=2代入方程左边时，分式的分母为零，即分式无意义.∴x=2不是原方程的根.
总结：
①增根：使原分式方程的分母为零的未知数的值，我们称它为原方程的增根.
②增根产生的原因：去分母时，我们在方程的两边同时乘了一个使分母为零的整式.
③注意：解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须验根，发现增根须舍去增根.
④验根方法：只需把求出的未知数的值带入最简公分母中，看其是否为零，若等于零，即为增根.
三.典例与练习
例1.解方程：（1） （2）
解：(1)方程两边同乘以最简公分母x(x+1)得：
6x=x+5
解这个整式方程得：x=1
经检验得：x=1是原方程的解.
练习2.解分式方程：（1）， （2）
解：(1)x=4； (2)x=1.
例2.若关于x方程有增根，求m的值.
解：方程两边都乘以（x-2），得x-3=m. (①化分式方程为整式方程)
∵方程有增根，∴x-2=0，即x=2，（②设分母为零，求出未知数的值）
∴把x=2代入x-3=m，∴2-3=m，解得m= 1．（③代未知数的值到整式方程，求出参数的值）
练习3.当k=1时，关于x的方程有增根。
四.课堂小结
解分式方程步骤：
1.去分母，把分式方程转化为整式方程；
2.解这个整式方程；
3.检验：将未知数的值代入最简公分母，看其是否为零，若等于零，即为增根.
4.写出分式方程的根或舍去增根原方程无解.
五.分层过关
1.方程＝的解为（B）
A．x＝﹣4 B．x＝4 C．x＝1 D．x＝﹣1
2．解分式方程时，去分母正确的是（B）
A．x﹣3＝﹣2 B．x﹣3（2x﹣1）＝﹣2 C．x﹣3（2x﹣1）＝2 D．x﹣6x﹣3＝﹣2
3．若解关于x的分式方程＝1时出现了增根，则m的值为（A）
A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2
4．解方程：
（1）＝ （2）＝1
解：（1）去分母得：3（x+1）＝2（x﹣2），去括号得：3x+3＝2x﹣4， 解得：x＝﹣7，
经检验x＝﹣7是分式方程的解；
（2）去分母得：x2+2x+1＝x2﹣1+4， 解得：x＝1，
经检验x＝1是增根，分式方程无解．
5．已知关于x的方程+＝2有增根，求m的值．
解：方程两边都乘x﹣2，得2﹣（x+m）＝2（x﹣2）
∵原方程有增根，∴最简公分母x﹣2＝0，解得x＝2，
当x＝2时，m＝0．
6．若关于x的方程：+＝．
（1）有增根，求a的值；（2）无解，求a的值．
解：分式方程去分母得：3x+9+ax＝4x﹣12，
（1）由分式方程有增根，得到（x+3）（x﹣3）＝0，即x＝3或x＝﹣3，
把x＝3代入整式方程得：18+3a＝0，即a＝﹣6；
把x＝﹣3代入整式方程得：﹣3a＝﹣24，即a＝8，
综上，a的值为﹣6或8；
（2）整式方程整理得：（a﹣1）x＝﹣21，
由方程无解，得到a﹣1＝0，即a＝1或8或﹣6．
解分式方程：
解：方程两边同乘以x(x-2)得：
x=3(x-2)
去括号得：x=3x-6
移项得：x-3x=-6
合并同类项得：-2x=-6
系数化1得：x=3
检验：左=1，右=1
左=右，x=3是方程的解.
（2）方程两边同乘以最简公分母
(x+1)（x-1）得：x+1=2x
解这个整式方程得：x=1
检验：把x=1代入
(x+1)（x-1）=0，∴原方程无解.
提示：使分式方程无解有两种情况
①分式方程有增根；
②分式方程化为整式方程后无解.
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(总课时42)§5.4 分式方程(2)
一.选择题：
1.将分式方程＝去分母后得到整式方程，正确的是(A)
A．x－2＝2x B．x2－2x＝2x C．x－2＝x D．x＝2x－4
2.分式方程＝1的解为 (A)A．x＝－1 B．x＝ C．x＝1 D．x＝2
3.若关于x的分式方程＋＝2有增根，则m的值是(A)
A．m＝－1 B．m＝0 C．m＝3 D．m＝0或m＝3
4.下列说法中，错误的是（ A ）
A．分式方程的解等于0，就说明这个分式方程无解
B．解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程
C．检验是解分式方程必不可少的步骤
D．能使分式方程的最简公分母等于零的未知数的值不是原分式方程的解
5.如果关于x的分式方程有解，则a的值为（ ）
A． B． C．且 D．且
二.填空题：
6.分式方程=的最简公分母是m2-1.
7.分式方程的解是x=2．
8.分式方程的解是x=3
9.若关于x的方程的解为负数，则a的取值范围为a<0且a≠-2．
10.若关于x的分式方程无解．则常数n的值是1或
三.解答题：
11.解下列分式方程
(1) (2)
解：去分母得：2+x（x+2）=x2-4，
解得：x=-3，
检验：当x=-3时，（x+2）（x-2）≠0，
故x=-3是原方程的根．
12.解分式方程,分以下四步,其中,错误的是那一步？
①方程两边分式的最简公分母是(x-1)(x+1)
②方程两边都乘以(x-1)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6
③解这个整式方程,得x=1
④原方程的解为x=1
解：方程无解，虽然化简求得，但是将代入原方程中，可发现和的分母都为零，即无意义，所以，即方程无解
13.关于x的方程：－＝1.
(1)当a＝3时，求这个方程的解；
(2)若这个方程有增根，求a的值．
解：(1)当a＝3时，原方程为－＝1,方程两边同乘x－1，得3x＋1＋2＝x－1，
解这个整式方程得x＝－2，检验：将x＝－2代入x－1＝－2－1＝－3≠0，
∴x＝－2是原分式方程的解．
(2)方程两边同乘x－1，得ax＋1＋2＝x－1，若原方程有增根，则x－1＝0，解得x＝1，将x＝1代入整式方程得a＋1＋2＝0，解得a＝－3.
14.若关于x的分式方程无解，求m的值．
解：去分母得：2mx+x2﹣x2+3x＝2x﹣6，即（2m+1）x+6＝0，
当2m+1＝0，即m＝﹣0.5时，方程无解；
当2m+1≠0，即m≠﹣0.5时，由分式方程无解，得到x＝0或x＝3，
把x＝0代入整式方程得：m无解；把x＝3代入整式方程得：6m+9＝0，
解得：m＝﹣1.5，
综上，m的值为﹣1.5或﹣0.5．
解：去分母得:
解得x=3，将检验当x=3时最简公分母，所以x=3是分式方程的增根，方程无解
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