人教版八年级数学上册《13.3 等边三角形》同步练习
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学上册《13.3 等边三角形》同步练习 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 210.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-09-01 16:12:39 | ||
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文档简介
等边三角形
典题探究
例1. 如图，ΔABC是等边三角形，AE⊥BC于E，AD⊥CD于D，若AB∥CD，则图中60°的角有_____个．
( http: / / www.21cnjy.com )
例2. 如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（ ）
A. 180° B. 220° C. 240° D. 300°
( http: / / www.21cnjy.com )
例3. 如图，已知ΔABC中，AB＝AC ( http: / / www.21cnjy.com )，∠BAC＝120°，DE垂直平分AC交BC于D，垂足为E，若DE＝2cm，则BC＝_____cm.
( http: / / www.21cnjy.com )
例4. 如图，△ABC为正三角形，D为边B ( http: / / www.21cnjy.com )A延长线上一点，连接CD，以CD为一边作正三角形CDE，连接AE，判断AE与BC的位置关系，并说明理由．
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演练方阵
A档（巩固专练）
1．下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2cm时，这个六边形的周长为（ ）cm．
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A． 30 B． 40 C． 50 D． 60
2．如图，△ABC中，AB=AC，△DEF为等边三角形，则α、β、γ之间的关系为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
3．如图，等边△ABC的边长为4，AD是B ( http: / / www.21cnjy.com )C边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． 15° B． 22.5° C． 30° D． 45°
4．如图，△ABC是等边三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形，P是BC上任意一点，PD⊥AB，PE⊥AC，连接DE．记△ADE的周长为L1，四边形BDEC的周长为L2，则L1与L2的大小关系是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． Ll=L2 B． L1＞L2 C． L2＞L1 D． 无法确定
5．如图，△ABC为边长是5的等边三角形，点E在AC边上，点F在AB边上，ED⊥BC，且ED=AE，DF=AF，则CE的长是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． 20+10 D． 20﹣10
6．如图中左边图形，连接等边三角形的各 ( http: / / www.21cnjy.com )边中点将得到一个小等边三角形，右边的图形就是这样得到的，请问右边图形中的阴影部分面积大还是空白部分面积大（ ）
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A． 阴影部分面积大 B． 空白部分面积大 C.一样大 D． 不确定
7．如图，等边三角形ABC内有一点 ( http: / / www.21cnjy.com )P，过点P向三边作垂线，垂足分别为S、Q、R，且PQ=6，PR=8，PS=10，则△ABC的面积等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． 190 B． 192 C． 194 D． 196
8．在边长为2cm的等边三角形内，随意取一些点，如果要保证所取的点中一定存在距离小于1cm的两点，那么取的点至少应有（ ）
A． 4个 B． 5个 C． 6个 D． 7个
9．如图，已知等边△ABC外有一点 ( http: / / www.21cnjy.com )P，P落在∠ABC内，设点P到BC、CA、AB三边的距离分别为h1、h2、h3，且满足h2+h3﹣h1=6，那么等边△ABC的面积为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． 12 B． 9 C． 8 D． 4
10．如图所示，△ABC为正三角形，P是BC上的一点，PM⊥AB，PN⊥AC，设四边形AMPN，△ABC的周长分别为m、n，则有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
11．如图，AC=BC，AC⊥BC于C，AB=AD=BD，CD=CE=DE．若AB=，则BE=（ ）
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A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
12．如图，D，E，F为等边三角形ABC三边 ( http: / / www.21cnjy.com )中点，AE、BF、CD交于O，DE，EF，FD为三条中位线，则图中能数出不同的直角三角形的个数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． 36 B． 32 C． 30 D． 28
13．如图，由四个全等的正三角形砌成一个大的正三角形，如果小正三角形的面积为25，则大正三角形的周长是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． 100 B． 60 C． 100 D． 60
14．在凸四边形ABCD中，DA=DB=DC=BC，则这个四边形中最大角的度数是（ ）
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A． 120° B． 135° C． 150° D． 165°
B档（提升精练）
15．如图，△ABC是边长 ( http: / / www.21cnjy.com )为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为 _________ ．
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16．如图，将边长为3+的等边△ABC折叠，折痕为DE，点B与点F重合，EF和DF分别交AC于点M、N，DF⊥AB，垂足为D，AD=1，则重叠部分的面积为 _________ ．
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17．如右图，以等边△O ( http: / / www.21cnjy.com )AB的高OC为边向逆时针方向作等边△OCD，CD交OB于点E，再以OE为边向逆时针方向作等边△OEF，EF交OD于点G，再以OG为边向逆时针方向作等边△OGH，…，按此方法操作，最终得到△OMN，此时ON在OA上．若AB=1，则ON= _________ ．
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18．已知正△ABC的面积是1，P是△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC内一点，并且△PAB、△PBC、△PCA的面积相等，那么满足条件的点P共有 _________ 个；△PAB的面积是 _________ ．
19．如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1、3、5，则这个等边三角形的边长为 _________ ．
( http: / / www.21cnjy.com )
20．如图所示，直线AB、CD相交于点O．若OM=ON=MN，那么∠APQ+∠CQP= _________ ．
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21．在正△ABC中（如图），D为AC ( http: / / www.21cnjy.com )上一点，E为AB上一点，BD，CE相交于P，若四边形ADPE与△BPC的面积相等，那么∠BPE= _________ ．
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22．如图，平行于BC的线段MN把 ( http: / / www.21cnjy.com )等边△ABC分成一个三角形和一个四边形，已知△AMN和四边形MBCN的周长相等，则BC与MN的长度之比是 _________ ．
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23．正三角形ABC的边长BC=2，以该等边三角形的高AD为正方形的边长，则正方形的面积为 _________ ．
C档（跨越导练）
24．阅读材料：
如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：，∴r1+r2=h（定值）．
（1）类比与推理
如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”， ( http: / / www.21cnjy.com )那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3=h（定值）．
（2）理解与应用
△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？ _________ （填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r= _________ ．若不存在，请说明理由． ( http: / / www.21cnjy.com )
25．小明在找等边三角形ABC一边的 ( http: / / www.21cnjy.com )三等分点时，他是这样做的，先做∠ABC、∠ACB的角平分线并且相交于点O，然后做线段BO、CO的垂直平分线，分别交BC于E、F，他说：“E、F就是BC边的三等分点．”你同意他的说法吗？请说明你的理由．
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26．在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD，
（1）请说明DB=DE的理由．
（2）若等边△ABC的边长为4cm，求△BDE的面积．
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27．如图，设O为△ABC内一点，且∠ ( http: / / www.21cnjy.com )AOB=∠BOC=∠COA=120°，P为任意一点（不是O）．求证：PA+PB+PC＞OA+OB+OC．
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28．如图，等边△ABC，D、E分别在BC、AC上，且CD=AE，AD、BE相交于点P，试求∠BPD的度数．
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29．阅读下列材料，解答相应问题：
已知△ABC是等边三角形，AD ( http: / / www.21cnjy.com )是高，设AD=h．点P（不与点A、B、C重合）到AB的距离PE=h1，到AC的距离PF=h2，到BC的距离PH=h3．
如图1，当点P与点D重合时，我们容易发现：h1=h，h2=h，因此得到：h1+h2=h．
小明同学大胆猜想提出问题：如图2，若点P在BC边上，但不与点D重合，结论h1+h2=h还成立吗？通过证明，他得到了肯定的答案．证明如下：
证明：如图3，连接AP．
∴S△ABC=S△ABP+S△APC．
设等边三角形的边长AB=BC=CA=a．
∵AD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴BC AD=AB PE+AC PF
∴a h=a h1+a h2．
∴h1+h2=h．
（1）进一步猜想：当点P在BC的延长线 ( http: / / www.21cnjy.com )上，上述结论还成立吗？若成立，请你证明；若不成立，请猜想h1，h2与 h之间的数量关系，并证明．（借助答题卡上的图4）
（2）我们容易知道，当点P在CB的延长线及直线AB，AC上时，情况与前述类似，这里不再说明．
继续猜想，你会进一步提出怎样的问题呢？请在答题卡上借助图5画出示意图，写出你提出的问题，并直接写出结论，不必证明．
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30．如图△ABC是边长为2的等边三角形， ( http: / / www.21cnjy.com )D是AB边的中点，P是BC边上的动点，Q是AC边上的动点，当P、Q的位置在何处时，才能使△DPQ的周长最小？并求出这个最值．
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典题探究
例1. 如图，ΔABC是等边三角形，AE⊥BC于E，AD⊥CD于D，若AB∥CD，则图中60°的角有_____个．
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例2. 如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（ ）
A. 180° B. 220° C. 240° D. 300°
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例3. 如图，已知ΔABC中，AB＝AC ( http: / / www.21cnjy.com )，∠BAC＝120°，DE垂直平分AC交BC于D，垂足为E，若DE＝2cm，则BC＝_____cm.
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例4. 如图，△ABC为正三角形，D为边B ( http: / / www.21cnjy.com )A延长线上一点，连接CD，以CD为一边作正三角形CDE，连接AE，判断AE与BC的位置关系，并说明理由．
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演练方阵
A档（巩固专练）
1．下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2cm时，这个六边形的周长为（ ）cm．
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A． 30 B． 40 C． 50 D． 60
2．如图，△ABC中，AB=AC，△DEF为等边三角形，则α、β、γ之间的关系为（ ）
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A． B． C． D．
3．如图，等边△ABC的边长为4，AD是B ( http: / / www.21cnjy.com )C边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（ ）
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A． 15° B． 22.5° C． 30° D． 45°
4．如图，△ABC是等边三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形，P是BC上任意一点，PD⊥AB，PE⊥AC，连接DE．记△ADE的周长为L1，四边形BDEC的周长为L2，则L1与L2的大小关系是（ ）
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A． Ll=L2 B． L1＞L2 C． L2＞L1 D． 无法确定
5．如图，△ABC为边长是5的等边三角形，点E在AC边上，点F在AB边上，ED⊥BC，且ED=AE，DF=AF，则CE的长是（ ）
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A． B． C． 20+10 D． 20﹣10
6．如图中左边图形，连接等边三角形的各 ( http: / / www.21cnjy.com )边中点将得到一个小等边三角形，右边的图形就是这样得到的，请问右边图形中的阴影部分面积大还是空白部分面积大（ ）
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A． 阴影部分面积大 B． 空白部分面积大 C.一样大 D． 不确定
7．如图，等边三角形ABC内有一点 ( http: / / www.21cnjy.com )P，过点P向三边作垂线，垂足分别为S、Q、R，且PQ=6，PR=8，PS=10，则△ABC的面积等于（ ）
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A． 190 B． 192 C． 194 D． 196
8．在边长为2cm的等边三角形内，随意取一些点，如果要保证所取的点中一定存在距离小于1cm的两点，那么取的点至少应有（ ）
A． 4个 B． 5个 C． 6个 D． 7个
9．如图，已知等边△ABC外有一点 ( http: / / www.21cnjy.com )P，P落在∠ABC内，设点P到BC、CA、AB三边的距离分别为h1、h2、h3，且满足h2+h3﹣h1=6，那么等边△ABC的面积为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． 12 B． 9 C． 8 D． 4
10．如图所示，△ABC为正三角形，P是BC上的一点，PM⊥AB，PN⊥AC，设四边形AMPN，△ABC的周长分别为m、n，则有（ ）
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A． B． C． D．
11．如图，AC=BC，AC⊥BC于C，AB=AD=BD，CD=CE=DE．若AB=，则BE=（ ）
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A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
12．如图，D，E，F为等边三角形ABC三边 ( http: / / www.21cnjy.com )中点，AE、BF、CD交于O，DE，EF，FD为三条中位线，则图中能数出不同的直角三角形的个数是（ ）
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A． 36 B． 32 C． 30 D． 28
13．如图，由四个全等的正三角形砌成一个大的正三角形，如果小正三角形的面积为25，则大正三角形的周长是（ ）
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A． 100 B． 60 C． 100 D． 60
14．在凸四边形ABCD中，DA=DB=DC=BC，则这个四边形中最大角的度数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． 120° B． 135° C． 150° D． 165°
B档（提升精练）
15．如图，△ABC是边长 ( http: / / www.21cnjy.com )为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为 _________ ．
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16．如图，将边长为3+的等边△ABC折叠，折痕为DE，点B与点F重合，EF和DF分别交AC于点M、N，DF⊥AB，垂足为D，AD=1，则重叠部分的面积为 _________ ．
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17．如右图，以等边△O ( http: / / www.21cnjy.com )AB的高OC为边向逆时针方向作等边△OCD，CD交OB于点E，再以OE为边向逆时针方向作等边△OEF，EF交OD于点G，再以OG为边向逆时针方向作等边△OGH，…，按此方法操作，最终得到△OMN，此时ON在OA上．若AB=1，则ON= _________ ．
( http: / / www.21cnjy.com )
18．已知正△ABC的面积是1，P是△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC内一点，并且△PAB、△PBC、△PCA的面积相等，那么满足条件的点P共有 _________ 个；△PAB的面积是 _________ ．
19．如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1、3、5，则这个等边三角形的边长为 _________ ．
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20．如图所示，直线AB、CD相交于点O．若OM=ON=MN，那么∠APQ+∠CQP= _________ ．
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21．在正△ABC中（如图），D为AC ( http: / / www.21cnjy.com )上一点，E为AB上一点，BD，CE相交于P，若四边形ADPE与△BPC的面积相等，那么∠BPE= _________ ．
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22．如图，平行于BC的线段MN把 ( http: / / www.21cnjy.com )等边△ABC分成一个三角形和一个四边形，已知△AMN和四边形MBCN的周长相等，则BC与MN的长度之比是 _________ ．
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23．正三角形ABC的边长BC=2，以该等边三角形的高AD为正方形的边长，则正方形的面积为 _________ ．
C档（跨越导练）
24．阅读材料：
如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：，∴r1+r2=h（定值）．
（1）类比与推理
如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”， ( http: / / www.21cnjy.com )那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3=h（定值）．
（2）理解与应用
△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？ _________ （填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r= _________ ．若不存在，请说明理由． ( http: / / www.21cnjy.com )
25．小明在找等边三角形ABC一边的 ( http: / / www.21cnjy.com )三等分点时，他是这样做的，先做∠ABC、∠ACB的角平分线并且相交于点O，然后做线段BO、CO的垂直平分线，分别交BC于E、F，他说：“E、F就是BC边的三等分点．”你同意他的说法吗？请说明你的理由．
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26．在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD，
（1）请说明DB=DE的理由．
（2）若等边△ABC的边长为4cm，求△BDE的面积．
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27．如图，设O为△ABC内一点，且∠ ( http: / / www.21cnjy.com )AOB=∠BOC=∠COA=120°，P为任意一点（不是O）．求证：PA+PB+PC＞OA+OB+OC．
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28．如图，等边△ABC，D、E分别在BC、AC上，且CD=AE，AD、BE相交于点P，试求∠BPD的度数．
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29．阅读下列材料，解答相应问题：
已知△ABC是等边三角形，AD ( http: / / www.21cnjy.com )是高，设AD=h．点P（不与点A、B、C重合）到AB的距离PE=h1，到AC的距离PF=h2，到BC的距离PH=h3．
如图1，当点P与点D重合时，我们容易发现：h1=h，h2=h，因此得到：h1+h2=h．
小明同学大胆猜想提出问题：如图2，若点P在BC边上，但不与点D重合，结论h1+h2=h还成立吗？通过证明，他得到了肯定的答案．证明如下：
证明：如图3，连接AP．
∴S△ABC=S△ABP+S△APC．
设等边三角形的边长AB=BC=CA=a．
∵AD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴BC AD=AB PE+AC PF
∴a h=a h1+a h2．
∴h1+h2=h．
（1）进一步猜想：当点P在BC的延长线 ( http: / / www.21cnjy.com )上，上述结论还成立吗？若成立，请你证明；若不成立，请猜想h1，h2与 h之间的数量关系，并证明．（借助答题卡上的图4）
（2）我们容易知道，当点P在CB的延长线及直线AB，AC上时，情况与前述类似，这里不再说明．
继续猜想，你会进一步提出怎样的问题呢？请在答题卡上借助图5画出示意图，写出你提出的问题，并直接写出结论，不必证明．
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30．如图△ABC是边长为2的等边三角形， ( http: / / www.21cnjy.com )D是AB边的中点，P是BC边上的动点，Q是AC边上的动点，当P、Q的位置在何处时，才能使△DPQ的周长最小？并求出这个最值．
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