2023-2024学年浙江省宁波市江东区曙光中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年浙江省宁波市江东区曙光中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.二次函数图象开口方向是( )
A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右
2.如图点，，是上的三点，且，，则的直径为
( )
A. B. C. D.
3.与抛物线形状相同的抛物线是( )
A. B.
C. D.
4.掷一枚硬币次有两次正面向上，一次反面向上，则第次掷正面向上的可能性( )
A. B. C. D.
5.二次函数，当时，则( )
A. B. C. D.
6.如图，四边形是的内接四边形，，的半径为，则弦的长等于( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，正八边形中，大小为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，在平面直角坐标系中，点，，满足二次函数的表达式，则对该二次函数的系数和判断正确的是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
9.如图，在中，以为直径的半圆，分别交，于点，，连接，，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，函数为常数，且经过点，，且，下列结论：；；若点，在抛物线上，则；若，则的取值范围是其中结论正确的有( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.圆内接正方形的每条边所对的圆心角的度数是______．
12.从数字，，中任选两个数组成一个两位数，组成的数是偶数的概率是______．
13.抛物线与轴有交点，则的取值范围是______．
14.如图，在扇形中，，点在，，，于点，则图中阴影部分的面积为______．
15.如图，在半径为的中，和度数分别为和，弦与弦长度的差为______．
16.新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的倍，则称这个点为二倍点．若二次函数为常数在的图象上存在两个二倍点，则的取值范围是______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
解方程组：；
计算：．
18.本小题分
如图，在的网格图中，的三个顶点都在格斗上．
在网格图中画出的外接圆圆，并在网格图中标出圆心点的位置；
在网格图中画出把线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，并在网格图中标出点的位置；判断点是否落在圆上，若点落在圆上，直接写出的长．
19.本小题分
我校初三年级举行了“湘一梦，初三梦”演讲比赛，小明同学将选手成绩划分为，，，四个等级绘制了两种不完整统计图．
根据图中提供的信息，解答下列问题：
参加演讲比赛的学生共有人，扇形统计图中 ______， ______，并把条形统计图补充完整；
学校想从等级名男生名女生中随机选取两人，参加长沙市举办的演讲比赛，请利用列表法或树状图，求等级中一男一女参加比赛的概率男生分别用代码、表示，女生分别用代码，表示
20.本小题分
如图，已知是的内接三角形，是的直径，连结，平分．
求证：；
若，求的长．
、
21.本小题分
某商场销售成本为每件元的商品据市场调查分析，如果按每件元销售，一周能卖出件；若销售单价每涨元，每周销量就减少件设销售单价为元．
若按每件元销售，每周销量为______件；毛利润为______元
求出一周销售量件与元的函数关系式和自变量的取值范围．
设一周销售获得毛利润元，写出与的函数关系式，并确定当在什么取值范围内变化时，毛利润随的增大而增大．
22.本小题分
如图，在中，，是上一点，经过点、、，交于点，过点作，交于点．
求证：四边形是平行四边形；
．
23.本小题分
有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．
如图，在半对角四边形中，，，求出与的度数之和；
如图，锐角内接于，若边上存在一点，使得的平分线交于点，连接并延长交于点，若求证：四边形是半对角四边形．
24.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，、为轴上两点，、为轴上的两点，经过点、、的抛物线的一部分与经过点、、的抛物线的一部分组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”已知点的坐标为，点是抛物线：的顶点．
求、两点的坐标；
“蛋线”在第四象限上是否存在一点，使得的面积最大？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由；
当为直角三角形时，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：二次函数的二次项系数，
抛物线开口向上．
故选：．
由抛物线解析式可知，二次项系数，可知抛物线开口向上．
本题考查了抛物线的开口方向与二次项系数符号的关系．当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下．
2.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了圆周角定理以及勾股定理．注意得到是直径是解此题的关键．
由点，，是上的三点，，根据的圆周角对的弦是直径，可得是直径，然后由勾股定理求得答案．
【解答】解：，
是直径，
，，
，
即的直径为．
故选A．
3.【答案】
【解析】解：抛物线中，，
与已知抛物线形状相同的是抛物线．
故选B．
当二次项系数相同时，抛物线的形状相同．
二次项系数决定了抛物线的开口方向和开口大小．
4.【答案】
【解析】解：每次掷硬币正面朝上的概率都是，前面的结果对后面的概率是没有影响的，所以出现正面向上的概率是相同的．
故选：．
根据概率的意义就是事件出现的机会的大小，硬币出现正面向上与反面的机会相等，即可确定．
考查了可能性的大小的知识，理解概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小是解答本题的关键．
5.【答案】
【解析】解：二次函数，
该抛物线的对称轴为直线，且，
当时，二次函数有最大值为，
当时，二次函数有最小值为：，
综上所述，二次函数，当时，，
故选：．
先根据二次函数的已知条件，得出二次函数的图象开口向下，再根据变量在的范围内变化，再分别进行讨论，即可得出函数的最大值与最小值，即可确定的取值范围．
本题考查了二次函数对称轴的求解，考查了二次函数的最值问题，本题中求得二次函数的对称轴是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：连接，，作于，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故选：．
由圆周角定理，锐角的正弦定义，即可求解．
本题考查圆的有关计算，关键是应用圆周角定理，锐角的正弦定义．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了正多边形的性质、正方形的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．连接、、，易知四边形为正方形，根据正方形的性质即可求解．
【解答】
解：连接、、，如图所示：
则四边形为正方形，
，
故选：．
8.【答案】
【解析】解：过点、、、大致画出抛物线图象，如图所示．
观察函数图象，可知：抛物线开口向下，对称轴在轴右侧，
，，
．
故选：．
过点、、、大致画出抛物线图象，根据函数图象利用二次函数图象与系数的关系即可找出、的正负，此题得解．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，过给定的点大致画出二次函数图象，利用二次函数图象与系数的关系找出、的正负是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：连接，如图，
为直径，
，
，
．
故选：．
连接，如图，根据圆周角定理得到，利用互余得到，然后根据圆周角定理得到．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
10.【答案】
【解析】解：由所给抛物线可知，，，，
所以，故错误；
因为，且抛物线与轴的另一个交点横坐标为，
所以，
则，故正确；
因为抛物线的对称轴在直线和直线之间，
所以点离对称轴的距离比点远，
又抛物线开口向下，所以，故正确；
又因为，
两式相加得，，
又，
所以，故错误．
故选：．
根据所给的抛物线可得出，，的正负，再利用抛物线的对称性和增减性即可解决问题．
本题考查了二次函数图象与系数之间的关系及二次函数图象上点的特征，能根据图像得出，，的正负及巧用抛物线的对称性是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：圆内接正方形的一条边所对的圆心角的度数为：，
故答案为：．
根据圆内接正方形的中心角的概念计算即可．
本题考查的是正多边形与圆的关系，掌握正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角是解题的关键．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率．
画树状图展示所有种可等可能的结果数，再找出组成两位数是偶数的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】
解：画树状图为：
共有种可等可能的结果数，其中组成两位数是偶数的结果数为，
所以组成一个两位数为偶数的概率．
故答案为．
13.【答案】且
【解析】【分析】
本题考查了抛物线与轴的交点个数问题，通常是将其转化为求关于的一元二次方程的根的个数问题．解题的关键是掌握根的判别式．
直接利用根的判别式得到，再利用二次函数的定义得到，再解两个不等式即可得到的取值范围．
【解答】
解：抛物线与轴有交点，
，解得，
又，
，
的取值范围是且；
故答案为：且．
14.【答案】
【解析】解：连接，，
点为
的三等分点，，
，，
，
，
，，，
，，
图中阴影部分的面积，
故答案为：．
连接，，由点为的三等分点，，得到，，根据，得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了扇形的面积的计算，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：如图，
连接、，则为等腰三角形，顶角为，底角为；
连接、，则为等腰三角形，顶角为，底角为．
在上取一点，使得，连接，则为等腰三角形，顶角为，底角为．
在与中，
，
≌，
．
，
，
，
．
故答案为：．
连接、、、，在上取一点，使得，连接，构造三个等腰三角形，与；证明≌，则有；利用等腰三角形性质证明，因此．
此题考查了圆心角、弧、弦的关系、全等三角形、等腰三角形等知识，解题关键是添加辅助线，构造等腰三角形．
16.【答案】
【解析】解：由题意可得二倍点所在直线为，
将代入得，
将代入得，
设，，如图，
联立方程，
当时，抛物线与直线有两个交点，
即，
解得，
此时，直线和直线与抛物线交点在点，上方时，抛物线与线段有两个交点，
把代入得，
把代入得，
，
解得，
满足题意．
故答案为：．
由点的纵坐标是横坐标的倍可得二倍点在直线上，由可得二倍点所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解．
17.【答案】解：，
，得，
解得：，
将代入，得，
解得：，
所以原方程组的解为．
原式
．
【解析】可消去未知数，求出未知数，再把的值代入即可；
按照实数的运算法则进行计算即可得出答案．
本题主要考查解二元一次方程组、实数的运算及零指数幂的运算，熟练掌握解二元一次方程组的方法及实数的运算和零指数幂的运算法则即可得出答案．
18.【答案】解：如图，点即为所求；
点落在圆上，
连接，，
，，
弧的长．
【解析】线段，线段的垂直平分线的交点即为所求；
利用旋转变换的性质作出点的对应点，点在上，再利用弧长公式求解．
本题考查作图应用与设计作图，垂径定理，弧长公式等知识，解题的关键是理解三角形的外心是各边垂直平分线的交点，属于中考常考题型．
19.【答案】
【解析】解：根据题意得：参加演讲比赛的学生共有：人，
，
，
，
；
等级人数人
如图：
故答案为：，；
画树状图得：
，
共有种等可能的结果，等级中一男一女参加比赛的有种情况，
等级中一男一女参加比赛的概率为：．
根据等级可以求出参加演讲比赛的学生数，然后由扇形统计图的知识，可求得，的值，继而补全统计图；
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与等级中一男一女参加比赛的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】解：证明：平分，
，
，
；
，
，
是的直径，，
的长
【解析】本题考查了三角形的外接圆和外心，圆周角定理，弧长公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
由角平分线的定义和圆周角定理可得；
由圆周角定理可得，由弧长公式可求解．
21.【答案】
【解析】解：由题意得，若按每件元销售，每周销量为件，
毛利润为元．
故答案为：；．
由题意得，．
由题意得，，
，
当，毛利润随的增大而增大．
由“若销售单价每涨元，每周销量就减少件”知，按每件元销售，每周销量为件，利润销售数量售价成本；
直接根据“如果按每件元销售，一周能卖出件；若销售单价每涨元，每周销量就减少件”即可求解；
利用“利润销售数量售价成本”可得关于的二次函数，于是利用二次函数的性质求解即可．
本题主要考查二次函数的应用．利用二次函数解决利润问题：在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量的取值范围．
22.【答案】证明：，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
连接，
，，
，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
，
．
【解析】根据等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的判定得出，根据平行四边形的判定得出即可；
求出，根据圆内接四边形的性质得出，根据平行线的性质得出，求出，根据等腰三角形的判定得出即可．
本题考查了圆周角定理及其推论，平行四边形的判定，圆内接四边形，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
23.【答案】解：在半对角四边形中，，，
，，
，
，
．
证明：是的平分线，
，
，，
≌，
，
又，
，
连接，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
四边形是半对角四边形．
【解析】根据半对角四边形的定义和四边形的内角和为求解即可；
证明≌得出，进而可证得，连接，设，可得，，，即可证得结论；
本题考查三角形的外接圆和外心、圆周角定理等知识，理解新定义，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
24.【答案】解：，
，
当时，，，
，；
设：，将、、三点的坐标代入得：
，
解得，
故C：．
如图：过点作轴，交于，
由、的坐标可得直线的解析式为：，
设，则，
，
，
当时，有最大值，，
，
；
，
顶点坐标，
当时，，
，，
，
，
，
当为时有：或．
时有：，
解得舍去；
时有：，
解得舍去．
综上，或时，为直角三角形．
【解析】将化为交点式，即可得到、两点的坐标；
先用待定系数法得到抛物线的解析式，过点作轴，交于，用待定系数法得到直线的解析式，再根据三角形的面积公式和配方法得到面积的最大值；
先表示出，，，再分两种情况：时；时，讨论即可求得的值．
考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：抛物线的交点式，待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，三角形的面积公式，配方法的应用，勾股定理，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．
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