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(总课时44)§5.3简单的轴对称图形（3）
A组
1.如图1，OP平分∠MON，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为A，B.若PA＝6，则PB为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
2.如图2，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，DE平分∠ADB，则∠B＝( )
A．40° B．30° C．25° D．22.5°
3.如图3，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.若S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，则AC长是( )
A．8 B．7 C．6 D．5
4.用直尺和圆规作一个角的平分线如图4所示，说明∠AOC＝∠BOC的依据是( )．
A. SSS B. ASA C. AAS D. 角平分线上的点到角两边距离相等
5.如图5，AB∥CD，O为∠BAC，∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于点E，
且OE＝3，则AB与CD之间的距离为____.
6.已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC＝32，且BD∶CD＝9∶7，则点D到AB的距离为_____．
7.如图6，△ABC的三边AB，BC，AC的长分别为40，50，60，其三条角平
分线交于点O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝_____________．
8.如图7，A，B分别是∠NOP，∠MOP平分线上的点，AB⊥OP于点E，BC⊥MN于点C，AD⊥MN于点D，则以下结论正确的有：________
①AD＋BC＝AB，②∠AOB＝90°
③与∠CBO互余的角有2个，
④点O是CD的中点
9.如图8，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则下列四个结论中：①AD上任意一点到B、C两点的距离相等；②AD上任意一点到AB、AC的距离相等；③BD=CD，AD⊥BC；④∠BDE=∠CDF；其中正确的有____个；
10.如图9，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的三条内角平分线交于点O，OM⊥AB于点M，若OM＝4，S△ABC＝180，则△ABC的周长是 .
11.如图10，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F，连接AD，则DE与DF相等吗？为什么？
12.如图11,∠1=∠2,P为BN上一点,且PD⊥BC于点D,AB+BC=2BD.试说明:∠BAP+∠BCP=180°.
B组
13.如图12，已知：∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，点P在射线OC上．点E在射线OA上，点F在射线OB上，且∠EPF＝90°．（1）如图12.1，求证：PE＝PF；
（2）如图12.2，作点F关于直线EP的对称点F′，过F′点作FH⊥OF于H，连接EF′，F′H与EP交于点M．连接FM，图中与∠EFM相等的角共有 ____个．
图2
图1
图4
图3
图5
图6
图9
图8
图7
图10
图11
图12.1
图12.2
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(总课时44)§5.3简单的轴对称图形（3）
A组
1.如图1，OP平分∠MON，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为A，B.若PA＝6，则PB为( C )
A．2 B．4 C．6 D．8
2.如图2，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，DE平分∠ADB，则∠B＝( B )
A．40° B．30° C．25° D．22.5°
3.如图3，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.若S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，则AC长是( C )
A．8 B．7 C．6 D．5
4.用直尺和圆规作一个角的平分线如图4所示，说明∠AOC＝∠BOC的依据是( A )．
A. SSS B. ASA C. AAS D. 角平分线上的点到角两边距离相等
5.如图5，AB∥CD，O为∠BAC，∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于点E，
且OE＝3，则AB与CD之间的距离为6
6.已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC＝32，且BD∶CD＝9∶7，则点D到AB的距离为_14__．
7.如图6，△ABC的三边AB，BC，AC的长分别为40，50，60，其三条角平
分线交于点O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝4：5：6__．
8.如图7，A，B分别是∠NOP，∠MOP平分线上的点，AB⊥OP于点E，BC⊥MN于点C，AD⊥MN于点D，则以下结论正确的有：①②④.
①AD＋BC＝AB，②∠AOB＝90°
③与∠CBO互余的角有2个，
④点O是CD的中点
9.如图8，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则下列四个结论中：①AD上任意一点到B、C两点的距离相等；②AD上任意一点到AB、AC的距离相等；③BD=CD，AD⊥BC；④∠BDE=∠CDF；其中正确的有__4___个；
10.如图9，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的三条内角平分线交于点O，OM⊥AB于点M，若OM＝4，S△ABC＝180，则△ABC的周长是 90 .
11.如图10，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F，连接AD，则DE与DF相等吗？为什么？
解：相等．理由如下：在△ABD和△ACD中，
∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD(SSS)，
∴∠BAD＝∠CAD.
又DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF．
12.如图11,∠1=∠2,P为BN上一点,且PD⊥BC于点D,AB+BC=2BD.试说明:∠BAP+∠BCP=180°.
证明：如图，过点P作PE⊥BA于E.
∵PD⊥BC，PE⊥BM，∠1=∠2，∴PD=PE.
∵PD⊥BC，PE⊥BM，PD=PE，BP=BP，∴△BPD≌△BPE.
∴BE=BD.
∵AB+BC=2BD，BC=BD+DC，AB=BE-AE，∴AE=CD.
∵PD=PE，CD=AE，∠PDC=∠PEA=90°，∴△PCD≌△PAE，（SAS）∴∠PCB=∠PAE.
∵∠BAP+∠PAE=180°，∴∠BAP+∠PCB=180°.
B组
13.如图12，已知：∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，点P在射线OC上．点E在射线OA上，点F在射线OB上，且∠EPF＝90°．（1）如图12.1，求证：PE＝PF；
（2）如图12.2，作点F关于直线EP的对称点F′，过F′点作FH⊥OF于H，连接EF′，F′H与EP交于点M．连接FM，图中与∠EFM相等的角共有 4 个．
解：（1）如图1，过P作PG⊥OB于G，PH⊥AO于H，则∠PGF＝∠PHE＝90°，
∵OC平分∠AOB，PG⊥OB，PH⊥AO，∴PH＝PG，∵∠AOB＝∠EPF＝90°，
∴∠PFG+∠PEO＝180°，又∵∠PEH+∠PEO＝180°，∴∠PEH＝∠PFG，
∴△PEH≌△PFG（AAS），∴PE＝PF；
由轴对称可得，∠EFM＝∠EF′M，∵F′H⊥OF，AO⊥OB，∴AO∥F′F，
∴∠EF′M＝∠AEF′，∵∠AEF′+∠OEF＝∠OFE+∠OEF＝90°，
∴∠AEF′＝∠OFE，由题可得，P是FF′的中点，EF＝EF′，
∴EP平分∠FEF′，∵PE＝PF，∠EPF＝90°，
∴∠PEF＝45°＝∠PEF′，又∵∠AOP＝∠AOB＝45°，
且∠AEP＝180-∠OEP=180-(180-∠EPO-∠EOP)=∠AOP+∠OPE，
∴∠AEF′+45°＝45°+∠OPE，∴∠AEF′＝∠OPE，
∴与∠EFM相等的角有4个：∠EF′M，∠AEF′，∠EFO，∠EPO．故答案为：4．
图2
图1
图4
图3
图5
图6
图9
图8
图7
图10
图11
图12.1
图12.2
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(总课时44)§5.3简单的轴对称图形（3）
【学习目标】探索并掌握角平分线的有关性质，能进行简单应用；会用尺规作角的角平分线．
【学习重难点】能够运用角的性质解决实际问题.
【导学过程】
一.知识回顾
1.若OC是∠AOB的平分线,则∠AOC=∠BOC=∠AOB,∠AOB=2∠AOC=2∠BOC.
2.在△OAB中,OA=OB.若OM是△OAB的角平分线，则下列说法正确的有：②③⑤⑥.
①OM是射线；②OM＜OA；③OM垂直平分线段AB；④线段OM是线段AB的垂直平分线；⑤△OAB是轴对称图形；⑥线段OM是轴对称图形.
二.探究新知
知识点一：角的轴对称性
取一张长方形纸片，将纸片的一个直角对折。
（1）角的两边可以完全重合吗？能完全重合.由折纸可知，角是轴对称图形.
（2）折出来的两个角是多少度？都是45度.对折一个角，折痕就是角的平分线.
结论1：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.
辨析：可以说“角的平分线是它的对称轴”吗？为什么？错.角平分线是一条射线，对称轴应是直线.
知识点二：角平分线的性质
（3）如图1在上面的折纸中的折痕上任取一点C，过点C作两直角边的垂线CM和CN，
垂足分别是M，N，再将直角的两边重合，CM，CN能重合吗？改变点C的位置试试.
结论2：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
几何语言：∵OC平分∠AOB，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，
∴CD=CE.
知识点三：用尺规作角的平分线
如图2，已知∠AOB，在∠AOB内作射线OP，使∠AOP=∠BOP.
1.以O为圆心，适当长为半径作弧，分别与射线OA、OB交于M、N；
2.分别以M、N为圆心，以大于 MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点P.
3.作射线OP.则OP就是∠AOB的平分线.
试说明：OP平分∠AOB.
三.典例与练习
例1.如图3，在Rt△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，如果DC=5，求DE的值.
解：∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DC⊥BC，
∴DE=DC，
∵DC=5，∴DE=5
练习1.如图4点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，
则点P到AB的距离是3．
例2.如图5，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线交BC于点D．
若CD=2m，AB=2n，求△ABD的面积.
解：作DH⊥AB于H，如图3，
∵AD是∠BAC的平分线交BC于点D，
∴DH=DC=2m，∵AB=2n
∴△ABD的面积2mn．
练习2.如图6，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，以点A为圆心，小于AC的长为半径作弧，分别交AB，AC于M，N两点；再分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D．若△ABC的面积为9，求△ACD的面积.
解：作于，如图，由作法得平分，，
∵AB=2AC，，
．
例3.如图，△ABC，用尺规作图作角平分线．（保留作图痕迹，不要求写作法）
解：如图所示：DC即为所求．
练习3：尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)：如图8，三条公路两两相交，现计划修建一个油库P，要求油库P到这三条公路的距离都相等，那么如何选择油库P的位置？(请作出符合条件的一个即可)
解：如图8所示，点P即为所求．(答案不唯一)
四.课堂小结
1.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴；
2.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
3.用尺规作角平分线.
五.分层过关
1.如图9，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝80°，观察图中尺规作图的痕迹，则∠DCE的度数为（ B ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
2.如图10，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BD＝2CD，点D到AB的距离为4，则BC的长是（ C ）
A．4 B．8 C．12 D．16
3.如图11是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线，这条射线就是角的平分线，在这个操作过程中，运用了三角形全等的判定方法是（ A ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
4.如图12，在Rt△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD=3，AC=10，则△ACD的面积是15．
5.如图13，在四边形ABDC中，∠B＝∠D＝90°，∠BAC与∠ACD的平分线
交于点O，且点O在线段BD上，BD＝4，则点O到边AC的距离是2
6.如图14，已知CD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，垂足为E，若AC=4，
BC=10，△ABC的面积为14，求DE的长．
解:过点D作DF⊥AC交CA的延长线于点F，如图14，
∵CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，∴DF=DE．
∵△ABC的面积为14，，
，即，．
7.已知，如图15，在四边形ABCD中，BC＞BA，∠A＋∠C＝180°，BD平分∠ABC．
求证：AD＝CD．
证明：过D点作DE⊥AB，交BA的延长线于E点，作DF⊥BC于点F.
∴∠E=∠DFB=90°
∵∠A＋∠C＝180°，∠EAD+∠DAB=180°∴∠EAD=∠C
∵BD平分∠ABC,∴DE=DF
∴△DAE≌△DCF
∴AD＝CD.
图1
图2
图3
图4
图5
图6
图8
图7
图12
图11
图10
图9
图13
图14
图15
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(总课时44)§5.3简单的轴对称图形（3）
【学习目标】探索并掌握角平分线的有关性质，能进行简单应用；会用尺规作角的角平分线．
【学习重难点】能够运用角的性质解决实际问题.
【导学过程】
一.知识回顾
1.若OC是∠AOB的平分线,则∠AOC=∠BOC=________,∠AOB=2________=2________.
2.在△OAB中,OA=OB.若OM是△OAB的角平分线，则下列说法正确的有：____________.
①OM是射线；②OM＜OA；③OM垂直平分线段AB；④线段OM是线段AB的垂直平分线；⑤△OAB是轴对称图形；⑥线段OM是轴对称图形.
二.探究新知
知识点一：角的轴对称性
取一张长方形纸片，将纸片的一个直角对折。
（1）角的两边可以完全重合吗？________.由折纸可知，角是________图形.
（2）折出来的两个角是多少度？都是___度.对折一个角，折痕就是角的平分线.
结论1：角是轴对称图形，角平分线________是它的对称轴.
辨析：可以说“角的平分线是它的对称轴”吗？为什么？____________________________________.
知识点二：角平分线的性质
（3）如图1在上面的折纸中的折痕上任取一点C，过点C作两直角边的垂线CM和CN，
垂足分别是M，N，再将直角的两边重合，CM，CN能重合吗？改变点C的位置试试.
结论2：角的平分线上的点到这个角的两边的距离________.
几何语言：∵OC平分∠AOB，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，
∴____=____.
知识点三：用尺规作角的平分线
如图2，已知∠AOB，在∠AOB内作射线OP，使∠AOP=∠BOP.
1.以O为圆心，适当长为半径作弧，分别与射线OA、OB交于M、N；
2.分别以M、N为圆心，以大于 MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点P.
3.作射线OP.则OP就是∠AOB的平分线.
试说明：OP平分∠AOB.
三.典例与练习
例1.如图3，在Rt△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，如果DC=5，求DE的值.
练习1.如图4点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，
则点P到AB的距离是____．
例2.如图5，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线交BC于点D．
若CD=2m，AB=2n，求△ABD的面积.
练习2.如图6，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，以点A为圆心，小于AC的长为半径作弧，分别交AB，AC于M，N两点；再分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D．若△ABC的面积为9，求△ACD的面积.
例3.如图7，△ABC，用尺规作图作角平分线．（保留作图痕迹，不要求写作法）
练习3：尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)：如图8，三条公路两两相交，现计划修建一个油库P，要求油库P到这三条公路的距离都相等，那么如何选择油库P的位置？(请作出符合条件的一个即可)
四.课堂小结
1.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴；
2.角平分线上的点到这个角的两边的距离________；
3.用尺规作角平分线.
五.分层过关
1.如图9，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝80°，观察图中尺规作图的痕迹，则∠DCE的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
2.如图10，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BD＝2CD，点D到AB的距离为4，则BC的长是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
3.如图11是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线，这条射线就是角的平分线，在这个操作过程中，运用了三角形全等的判定方法是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
4.如图12，在Rt△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD=3，AC=10，则△ACD的面积是____．
5.如图13，在四边形ABDC中，∠B＝∠D＝90°，∠BAC与∠ACD的平分线
交于点O，且点O在线段BD上，BD＝4，则点O到边AC的距离是____.
6.如图14，已知CD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，垂足为E，若AC=4，
BC=10，△ABC的面积为14，求DE的长．
7.如图15，已知，在四边形ABCD中，BC＞BA，∠A＋∠C＝180°，BD平分∠ABC．
求证：AD＝CD．
图1
图2
图3
图4
图5
图6
图7
图8
图12
图11
图10
图9
图13
图14
图15
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