数学人教A版（2019）必修第二册9.2.2总体百分位数的估计 课件（共23张ppt）

(共23张PPT)
9.2.2 总体百分位数的估计
【学习目标】
1．理解百分位数的概念；
2．掌握求一组数据的百分位数的基本步骤；
3．通过具体问题，让学生感受总体百分位数在解决实际问题中的运用，发展学生数学抽象、逻辑推理的核心素养。
学习重点：求百分位数的步骤，会求样本数据的百分位数，并能利用样本数据的百分位数估计总体数据的百分位数.
学习难点：求样本数据的百分位数.
【环节一：复习引入】
在上节课中，我们通过作频率分布表、频率分布直方图表述了居民用户月均用水量的样本数据，并通过对图表进行分析,我们得出了一些样本数据的频率分布规律，并推测了该市全体居民用户月均用水量的分布情况。得出：“大多数的居民用户的月均用水量集中在一个较低值区域”。
【环节二：探究问题一】
（如何理解使80%的居民用户生活用水支出不受影响？）
接下来我们的问题是该如何利用这些信息，为政府决策服务呢？请同学们来想一想：如果该市政府希望使80%的居民生活用水费支出不受影响，根据上节课中的100户居民用户的月均用水量数据,你能给市政府提出确定居民用户月均用水量标准的建议吗？
引例 某市政府为了节约生活用水，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定一户居民月均用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费。
如果该市政府希望使80%的居民用户生活用水费支出不受影响，根据9.2.1节中100户居民用户的月均用水量数据，你能给市政府提出确定居民用户月均用水量标准的建议吗？
分析：首先要明确一下问题：根据市政府的要求确定居民用户月均用水量标准，就是要寻找一个数a,使全市居民用户月均用水量中不超过a的占80%, 大于a的占20%.
下面我们通过样本数据对a的值进行估计.
【环节三：探究问题二】
（100个样本数据的第80百分位数如何求？）
称此数13.7为这组数据的第80百分位数或80%分位数
1.3 1.3 2.0 2.0 ··· 13.3 13.6 13.8 13.8 ··· 28.0
（2）得到第80和第81个数据分别是13.6和13.8
（3）一般地，我们取这两个数的平均数
可以发现，区间（13.6，13.8）内的任意一个数，都能把样本数据分成符合要求的两部分.
解: （1）把100个样本数据按从小到大排序
根据样本数据的第80百分位数，我们可以估计总体数据的第80百分位数为13.7左右. 由于样本的取值规律与总体的取值规律之间会存在偏差，而在决策问題中，只要临界值近似为第80百分位数即可，因此为了实际中操作的方便，可以建议市政府把月均用水量标准定为14t，或者把年用水量标准定为168t.
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有（100-p）%的数据大于或等于这个值.
注意：求百分位数时，一定要将数据按照从小到大的顺序排列．
1.百分位数定义
判断正误：
（1）若一组样本数据的10%分位数是23，则在这组数据中有10%的数据大于23.（ ）
（2）若一组样本数据的24%分位数是24，则在这组数据中至少有76%的数据大于或等于24.（ ）
（3）若一组样本数据各不相等，则其75%分位数大于25%分位数.（ ）
×
√
√
探究新知
探究新知
第1步：按从小到大排列原始数据．
第2步：计算i＝n×p%.
第3步：若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数是第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
例如：
样本量n＝100，则由80%×100＝80，知80%分位数即是从小到大排列的第80个与第81个数的平均数，如果n＝101，则由80%×101＝80.8，得80%分位数即是第81个数.
(1)求百分位数的步骤
2.用原始数据求百分位数
常用分位数：第25百分位数，第50百分位数（中位数），第75百分位数.
这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数.
第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数.
第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数.
(2)几个重要的百分位数
像第1百分位数，第5百分位数，第95百分位数，第99百分位数也常用.
①第0百分数为数据组中的最小数，第100百分位数为数据中的最大数；
②一组数据的百分位数既可能是这组数据中的数，也可能不是这组数据中的数；
③一组数据的某些百分位数可能是同一个数.
(3)百分位数的特点
【环节四：探究问题三】
（总体百分位数的概念理解及总体百分位数估计在实际生活中的应用）
例1：已知100个数据的75%分位数是9.3，则下列说法正确的是（ ）
A.这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3
B.把这100个数据从小到大排序后，9.3是第75个数据
C.把这100个数据从小到大排序后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数
D.把这100个数据从小到大排序后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数
C
例2 : 根据9.1.2节问题3中27名女生的样本数据,估计树人中学高一年级女生的第25,50,75百分位数.
163.0 164.0 161.0 157.0 162.0 165.0 158.0 155.0 164.0
162.5 154.0 154.0 164.0 149.0 159.0 161.0 170.0 171.0
155.0 148.0 172.0 162.5 158.0 155.5 157.0 163.0 172.0
解:
把27名女生的样本数据按从小到大排序,可得
148.0 149.0 154.0 154.0 155.0 155.0 155.5 157.0 157.0
158.0 158.0 159.0 161.0 161.0 162.0 162.5 162.5 163.0
163.0 164.0 164.0 165.0 170.0 171.0 172.0 172.0 172.0
由25%×27=6.75，50%×27=13.5，75%×27=20.25，可知样本数据的第25，50，75百分位数为第7，14，21项数据，分别为155.5，161，164.
据此可以估计树人中学高一年级女生的第25，50，75百分位数分别约为155.5，161和164.
【解析】把甲、乙两名学生的数学成绩从小到大排序，可得
甲：65,71,75,76,81,86,88,89,91,94,95,107,110.
乙：78,79,83,86,88,93,98,98,99,101,103,106,114.
由13×25%＝3.25,13×50%＝6.5.
可得数据的第25,50百分位数为第4,7项数据，即学生甲的第25,50的百分位数为76,88.
学生乙的第25,50的百分位数为86,98.
例3 根据下表估计月均用水量的样本数据的80%和95%分位数.
分组 频数 频率
[1.2，4.2) 23 0.23
[4.2，7.2) 32 0.32
[7.2，10.2) 13 0.13
[10.2，13.2) 9 0.09
[13.2，16.2) 9 0.09
[16.2，19.2) 5 0.05
[19.2，22.2) 3 0.03
[22.2，25.2) 4 0.04
[25.2，28.2] 2 0.02
合计 100 1.00
有些情况下，我们只能获得整理好的统计表或统计图与原始数据相比，他们损失了一些信息。
3.用频率分布表、频率分布直方图估算百分位数
解:
由频率分布表可知,月均用水量在13.2t以下的居民用户所占比例为
在16.2t以下的居民用户所占比例为
∴80%分位数一定位于[13.2,16.2)内.由
可以估计月均用水量的样本数据的80%分位数约为14.2
分组 频数 频率
[1.2，4.2) 23 0.23
[4.2，7.2) 32 0.32
[7.2，10.2) 13 0.13
[10.2，13.2) 9 0.09
[13.2，16.2) 9 0.09
[16.2，19.2) 5 0.05
[19.2，22.2) 3 0.03
[22.2，25.2) 4 0.04
[25.2，28.2] 2 0.02
合计 100 1.00
类似地，由
可以估计月均用水量的样本数据的95%分位数约为22.95
例4 根据下图估计月均用水量的样本数据的80%和95%分位数.
先算各组的频率，解题步骤如上
月平均用水量/t
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
1.2 4.2 7.2 10.2 13.2 16.2 19.2 22.2 25.2 28.2
0.107
0.043
0.030
0.030
0.017
0.010
0.013
0.007
0.077
频率/组距
0.32
0.13
0.09
0.09
0.05
0.03
0.04
0.23
设80%分位数为m，则
0.77+(m-13.2)×0.030=0.80，解得
m=14.2.
设95%分位数为m，则
0.94+(n-22.2)×0.013=0.95，解得
n=22.97.
0.02
2. 某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间.将测试结果分成5组：[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17)，[17,18]，得到如图所示的频率分布直方图.如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1：3：7：6：3，那么成绩的70%分位数约为 秒.
16.5
解析：设成绩的70%分位数为x，
所以x∈[16,17)，
解得x＝16.5(秒).
【变式训练】
达标练习【练】
在居民用户月均用水量标准制定的问题中，根据教科书中的调查数据，如果要让60%的居民不超出标准，居民用户月均用水量标准定为多少合适？
教材202页
解：将100户居民的月均用水量按小到大的顺序排列如下：
1.3 1.3 1.8 2.0 2.0 2.0 2.0 2.1 2.2 2.3 2.3 2.4 2.4 2.6 3.0 3.2 3.2 3.6 3.6 3.7 3.8 4.0 4.1 4.3 4.4 4.6 4.7 4.9 4.9 4.9 5.1 5.1 5.1 5.2 5.3 5.4 5.4 5.5 5.5 5.5 5.5 5.6 5.7 5.7 5.9 6.0 6.0 6.4 6.4 6.8 6.8 7.0 7.1 7.1 7.1 7.5 7.7 7.8 7.8 7.9 8.1 8.6 8.8 9.0 9.5 9.9 10.0 10.1 10.2 10.2 10.5 10.8 11.1 11.2 12.0 12.0 12.4 13.3 13.6 13.6 13.8 13.8 14.0 14.9 15.7 16.0 16.7 16.8 17.0 17.9 18.3 19.4 20.5 21.6 22.2 22.4 24.3 24.5 25.6 28.0
由于100×60％=60.
∴第60百分位数为第60个和第61个数据的平均数，即
因此居民用户月均用水量标准应定为8.0合适.
解：把23名男生的样本数据按从小到大排序，结果如下：
164.0 165.0 165.0 166.0 167.0 168.0 168.0 168.0 170.0 170.0 170.0 172.0
172.0 172.0 173.0 173.0 173.0 173.0 174.0 175.0 175.0 175.0 176.0
由23×25%=5.75，23×50%=11.5，23×75%=17.25，可知样本数据的第25，50，75百分位数为第6，12，18项数据，分别为168.0，172.0，173.0.
据此可以估计树人中学高一年级男生的第25，50，75百分位数分别约为168.0，172.0，173.0.
通过增加样本量，可以减少估计的误差.
2. 根据9.1.2节问题3中男生的样本数据，请你估计树人中学高一年级男生的第25，50，75百分位数. 如果要减少估计的误差，你觉得应该怎么做
达标练习【练】
教材202页
1.某车间12名工人一天生产某产品(单位：kg)的数量分别为13.8，13，13.5，15.7，13.6，14.8，14，14.6，15，15.2，15.8，15.4，则所给数据的第25,50,75百分位数分别是 .
13.7，14.7，15.3
解析：将12个数据按从小到大排序：13，13.5，13.6，13.8，14，14.6，14.8，15，15.2，15.4，15.7，15.8.
由i=12×25%=3，得所给数据的第25百分位数是第3个数据与第4个数据的平均数，
由i=12×50%＝6，得的给数据的第50百分位数是第6个数据与第7个数据的平均数，
由i=12×75%＝9，得所给数据的第75百分位数是第9个数据和第10个数据的平均数，
补充练习
2.对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：(1)[25,30)年龄组对应小矩形的高度为________；(2)由频率分布直方图估计志愿者年龄的95%分位数为________岁．
0.04
42.5　
解析：(1)设[25,30)年龄组对应小矩形的高度为h，则5×(0.01+h+0.07+0.06+0.02)=1，解得h＝0.04.
(2)由题图可知年龄小于40岁的频率为(0.01+0.04+0.07+0.06)×5=0.9，且所有志愿者的年龄都小于45岁，
所以志愿者年龄的95%分位数在[40,45]内，因此志愿者年龄的95%分位数为
补充练习
课堂小结
①按从小到大排列原始数据．
②计算i＝n×p%.
③若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；
若i是整数，则第p百分位数是第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
2.用原始数据求百分位数
3.用频率分布表、频率分布直方图估算百分位数
1.百分位数定义
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有（100-p）%的数据大于或等于这个值.
布置作业
课时规范训练（三十五）