数学人教A版（2019）必修第二册6.4.3正弦定理 课件（共26张ppt）

(共26张PPT)
6.4.3正弦定理
学习目标
1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理，并能解决一些简单的问题；
2、通过对特殊三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，初步学会运用由特殊到一般的思想方法发现数学规律；
3、通过参与、思考、交流，体验正弦定理的发现过程，逐步培养探索精神和创新意识；通过对正弦函数的学习体会数学的对称美，和谐美.
复习三角形中的边角关系
1、角的关系
2、边的关系
3、边角关系
大角对大边，小边对小角
三角形中的边角关系
　　一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
一、什么叫做解三角形
探索：直角三角形的边角关系
二、任意三角形边角关系
在直角三角形ABC中，由锐角三角函数， 再根据正弦函数的定义，
A
B
C
a
b
c
(R为△ABC外接圆半径）
1、正弦定理
在一个三角形中，各边的长度和它所对的角的正弦的比相等
正弦定理的推导：
A
B
D
C
.
O
b
a
c
=2R
(R为△ABC外接圆半径）
证明：如图，圆⊙O为△ABC的外接圆，BD为直径,
则 ∠A=∠D,
∴
=2R
(R为△ABC外接圆半径）
方法一：
证明：
B
A
C
a
c
b
方法二：
B
A
C
a
c
b
A
B
C
类似可推出，三角形为钝角三角形时，以上关系式仍然成立．
方法三：
1.公式变形式：
(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(边化角公式）
（3）a:b:c=sinA:sinB:sinC
利用正弦定理可以实现边角互化，可以解决以下
三、正弦定理解决两类问题：
1、已知两角和任一边，求其它两边和一角。AAS
2、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。 SSA
(从而进一步求出其他的边和角，包括解的个数的讨论问题)
题型一已知两角一边，求其它元素.
例1、在△ABC中，已知
A=45
C=30 ,求b
0
0
0
0
0
105
)
30
45
(
180
)
(
180
=
+
-
=
+
-
=
C
A
B
解:
由正弦定理 得:
例2、在△ABC中,已知a=16, b= ，
A=30°，求角B,C和边c.
解：由正弦定理
得
所以
Ｂ＝60°,
或Ｂ＝120°
当 时
Ｂ＝60°
C=90°
C=30°
当Ｂ＝120°时
题型二已知两边及其中一边的对角,求其它元素.
∵b>a,∴B>A=45o,∴有两解B=60o或120o
1)当B=60o时，C=75o,
2)当B=120o时，C=15o,
作业
　　在△ABC中,已知a,b和A,以点C为圆心,边长a为半径画弧,此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形的个数.
三角形解的个数的确定
1.判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.正弦定理适用于任意三角形. (　√　)
2.在△ABC中,必有asin C=csin A. (　√　)
提示:由 = ,得asin C=csin A.
3.在△ABC 中,一定有 a∶b∶c = sin A∶sin B∶sin C. (　√　)
4.在△ABC中,a>b A>B sin A>sin B. (　√　)
5.在△ABC中,若sin 2A=sin 2B,则必有A=B. ( 　)
基础练习
2.判断题:根据已知条件判断△ABC解的情况.
(1) b=1 ，a=2，A=30o 有一解； .
(2)b=1， a=3，B=30o 无解； .
(3)b=1，a= ，A=30o 有一解； .
(4)b=1，a= ，B=150o 有一解； .
(5)b= ，a=1，B=120o有两解. .
3
3
3
练习
C
2．在△ABC中,若a＝18,b＝24,A＝45°,则此三角形有( )
A.无解 B.两解 C.一解 D.解的个数不确定
B
B
C
3或6
形状。
所以三角形ABC是等腰三角形或直角三角形。
为锐角，试判断此三角形的形状。
10、在△ABC中，如果lga-lgc=lgsinB=-lg ,且B
所以此三角形为等腰直角三角形
2.正弦定理的外在形式是公式，它由三个等式组成即
， ，
每个等式都表示三角形的两个角和它们的对边的关系.
1.三角形的三个内角及其对边叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
课堂小结
3.利用正弦定理可以解决两类解三角形的问题：一类是已知两角和一边解三角形；另一类是已知两边和其中一边的对角解三角形.对于第二类问题，要注意确定解的个数.
课堂小结