5.1.2 导数的概念及其几何意义
第1课时 导数的概念
1．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
2．已知函数f(x)可导，且满足＝2，则函数y＝f(x)在x＝3处的导数为( )
A．－1 B．－2 C．1 D．2
3．设函数f(x)在x0处附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )
A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b
4．若函数y＝f(x)在x＝x0处导数为f′(x0)，则 等于( )
A．－f′(x0) B．3f′(x0)
C．－3f′(x0) D．－4f′(x0)
5．若可导函数f(x)的图象过原点，且满足＝－1，则f′(0)等于( )
A．－2 B．2 C．－1 D．1
6．(多选)若函数f(x)在x＝x0处存在导数，则的值( )
A．与x0有关 B．与h有关
C．与x0无关 D．与h无关
7．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a＝________.
8．已知函数y＝f(x)＝2x2＋1在x＝x0处的瞬时变化率为－8，则f(x0)＝________.
9．求函数y＝2x2＋4x在x＝3处的导数．
10．一条水管中流过的水量y(单位：m3)与时间t(单位：s)之间的函数关系为y＝f(t)＝3t.求函数y＝f(t)在t＝2处的导数f′(2)，并解释它的实际意义．
11．设f(x)为可导函数，且满足 ＝－1，则f′(1)为( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
12.A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有( )
A．两机关节能效果一样好
B．A机关比B机关节能效果好
C．A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率大
D．A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大
13．设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且 ＝a，则f′(x0)＝________.
14．如图所示，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________．
15．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的导数为f′(x)，已知f′(0)>0，且对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为________．
16．一小球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s(t)＝t2(位移单位：m，时间单位：s)．求小球在5 s～6 s间的平均速度和5 s～5.1 s间的平均速度，并与用匀加速直线运动速度公式求得的t＝5 s时的瞬时速度进行比较．
5.1.2 导数的概念及其几何意义
第1课时 导数的概念
1．B 2.B 3.C 4.D 5.C
6．AD [由导数的定义可知，函数f(x)在x＝x0处的导数与x0有关，与h无关，故选AD.]
7．3
8．9
解析 由题知－8＝ ＝ (2Δx＋4x0)＝4x0，得x0＝－2，所以f(x0)＝f(－2)＝2×(－2)2＋1＝9.
9．解 Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)
＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx
＝2(Δx)2＋16Δx，
∴＝＝2Δx＋16.
∴y′|x＝3＝ ＝ (2Δx＋16)＝16.
10．解 因为＝
＝＝3，
所以f′(2)＝ ＝3.
f′(2)的实际意义：水流在t＝2时的瞬时流速为3 m3/s.
11．B [令x→0，
则Δx＝1－(1－2x)＝2x→0，
所以
＝
＝f′(1)＝－1.]
12．B [由题图可知，A，B两机关用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，由平均变化率的几何意义知，A机关用电量在[0，t0]上的平均变化率小于B机关的平均变化率，从而A机关比B机关节能效果好．]
13．－a
解析 ∵
＝
＝－3f′(x0)＝a，∴f′(x0)＝－a.
14．[x3，x4]
解析 由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别为，，
，
结合图象可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]．
15．2
解析 由导数的定义，
得f′(0)＝
＝
＝ [a·(Δx)＋b]＝b>0.
又∴ac≥，
∴c>0.
∴＝≥≥＝2.
当且仅当a＝c＝时等号成立．
16．解 小球在5 s～6 s间的平均速度为
＝＝36－25＝11(m/s)，
在5 s～5.1 s间的平均速度为
＝＝
＝10.1(m/s)，
因为s＝t2，所以t＝5 s时的瞬时速度为
v＝
＝ (10＋Δt)＝10(m/s)．
所以5 s～5.1 s间的平均速度更接近5 s时的瞬时速度．第2课时 导数的几何意义
1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )
A．不存在
B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直
D．与x轴斜交
2．若 ＝x2，则f的导函数f′等于( )
A．2x B.x3 C．x2 D．3x2
3．已知曲线f(x)＝3x＋x2在点(1，f(1))处的切线斜率为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
4．曲线f(x)＝－在点M(1，－2)处的切线方程为( )
A．y＝－2x＋4
B．y＝－2x－4
C．y＝2x－4
D．y＝2x＋4
5．已知函数f(x)满足f′(x1)>0，f′(x2)<0，则在x1和x2附近符合条件的f(x)的图象大致是( )
6．(多选)下列各点中，在曲线y＝x3－2x上，且在该点处的切线倾斜角为的是( )
A．(0,0)
B．(1，－1)
C．(－1,1)
D．(1,1)
7．已知函数y＝f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则y′|x＝2＝________.
8．已知f(x)＝x2＋ax，f′(1)＝4，曲线f(x)在x＝1处的切线在y轴上的截距为－1，则实数a的值为________．
9．在抛物线y＝x2上哪一点处的切线平行于直线4x－y＋1＝0？哪一点处的切线垂直于这条直线？
10．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2，求直线l2的方程．
11．若曲线y＝x＋上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－1)
B．(－1,1)
C．(－∞，1)
D．(1，＋∞)
12.已知函数f(x)在R上有导函数，f(x)的图象如图所示，则下列不等式正确的是( )
A．f′(a)B．f′(b)C．f′(a)D．f′(c)13．函数y＝2的导数是( )
A．－2
B.2
C．2
D．2
14．若点P是抛物线y＝2x2＋1上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________．
15．已知函数f(x)＝x3，过点P作曲线f(x)的切线，则其切线方程为____________________．
16．点P在曲线f(x)＝x2＋1上，且曲线在点P处的切线与曲线y＝－2x2－1相切，求点P的坐标．
第2课时 导数的几何意义
1．B 2.C 3.C 4.C 5.D
6．BC [设切点坐标为(x0，y0)，则
＝
＝3x－2＝tan ＝1，
所以x0＝±1，
当x0＝1时，y0＝－1.
当x0＝－1时，y0＝1.]
7．3
解析 因为直线3x－y－2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y′|x＝2＝3.
8．2
解析 由导数的几何意义，
得切线的斜率k＝f′(1)＝4.
又切线在y轴上的截距为－1，
所以曲线f(x)在x＝1处的切线方程为y＝4x－1，
从而可得切点坐标为(1,3)，
所以f(1)＝1＋a＝3，即a＝2.
9．解 y′＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x.
设抛物线上点P(x0，y0)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，
则y′|x＝x0＝2x0＝4，解得x0＝2，
所以y0＝x＝4，即P(2,4)，经检验，符合题意．
设抛物线上点Q(x1，y1)处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0，
则＝2x1＝－，
解得x1＝－，
所以y1＝x＝，即Q，经检验，符合题意．
故抛物线y＝x2在点(2,4)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，在点处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0.
10．解 因为y′＝ ＝ ＝2x＋1，所以y′|x＝1＝3，
所以直线l1的方程为y＝3(x－1)，
即y＝3x－3，
设直线l2与曲线相切于点
P(x0，x＋x0－2)，
则直线l2的方程为
y－(x＋x0－2)＝(2x0＋1)(x－x0)．
因为l1⊥l2，
所以2x0＋1＝－，x0＝－，
所以直线l2的方程为3x＋9y＋22＝0.
11．C [y＝x＋上任意一点P(x0，y0)处的切线斜率
k＝＝
＝ ＝1－<1.
即k<1.]
12．A [如图，分别作曲线在x＝a，x＝b，x＝c三处的切线l1，l2，l3，设切线的斜率分别为k1，k2，k3，易知k113．C [y′＝
＝
＝
＝2x－2＝2.]
14.
解析 由题意知，当点P到直线y＝x－2的距离最小时，点P为抛物线y＝2x2＋1的一条切线的切点，且该切线平行于直线y＝x－2.设y＝f(x)＝2x2＋1.由导数的几何意义知y′＝f′(x)＝ ＝4x＝1，解得x＝，∴P，故点P到直线y＝x－2的最小距离d＝＝.
15．y＝0或3x－y－2＝0
解析 设切点为Q(x0，x)，得切线的斜率为
k＝f′(x0)＝ ＝3x，
切线方程为y－x＝3x(x－x0)，
即y＝3xx－2x.
因为切线过点P，
所以2x－2x＝0，
解得x0＝0或x0＝1，
从而切线方程为y＝0或3x－y－2＝0.
16．解 设P(x0，y0)，则y0＝x＋1，
f′(x0)＝ ＝2x0，
所以在点P处的切线方程为
y－y0＝2x0(x－x0)，
即y＝2x0x＋1－x，
而此直线与曲线y＝－2x2－1相切，
所以切线与曲线y＝－2x2－1只有一个公共点，
由
得2x2＋2x0x＋2－x＝0，
则Δ＝4x－8(2－x)＝0，
解得x0＝±，则y0＝，
所以点P的坐标为
或.
