5.3.1 函数的单调性 课时练 -2024春高中数学选择性必修2（人教版）（含答案）

§5.3　导数在研究函数中的应用
5.3.1　函数的单调性
1．已知f(x)在R上是可导函数，f(x)的图象如图所示，则不等式f′(x)>0的解集为(　　)
A．(－2,0)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－2，－1)∪(1,2)
2．(多选)如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断正确的是(　　)
A．在(－2,1)上，f(x)单调递增
B．在(1,2)上，f(x)单调递增
C．在(4,5)上，f(x)单调递增
D．在(－3，－2)上，f(x)单调递增
3．函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间为(　　)
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．(－∞，0) D．(0,2)
4．函数f(x)＝ln x－4x＋1的单调递增区间为(　　)
A. B．(0,4)
C. D.
5．已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象可能是(　　)
6．(多选)已知函数f(x)的定义域为R，其导函数f′(x)的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R，下列结论正确的是(　　)
A.<0
B.>0
C．f >
D．f <
7．函数f(x)＝(x2＋x＋1)ex的单调递减区间为________________．
8．函数f(x)的图象如图所示，f′(x)为函数f(x)的导函数，则不等式<0的解集为__________________________．
9．判断函数f(x)＝2x(ex－1)－x2的单调性．
10．已知函数f(x)＝的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0.
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的单调区间．
11．函数f(x)＝xcos x的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图象大致是(　　)
12．已知定义域为R的函数f(x)的导函数的图象如图，则关于以下函数值的大小关系，一定正确的是(　　)
A．f(a)＞f(b)＞f(0) B．f(0)＜f(c)＜f(d)
C．f(b)＜f(0)＜f(c) D．f(c)＜f(d)＜f(e)
13．若定义在R上的函数y＝f(x)满足f′(x)>f(x)，则当a>0时，f(a)与eaf(0)的大小关系为(　　)
A．f(a)eaf(0)
C．f(a)＝eaf(0) D．不能确定
14．已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(x)>0，若f(－1)＝0，则关于x的不等式xf(x)<0的解集是________________．
15．(多选)若函数exf(x)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质，下列函数中具有M性质的是(　　)
A．f(x)＝2－x B．f(x)＝x2＋2
C．f(x)＝3－x D．f(x)＝cos x
16．已知函数f(x)＝(k为常数，e为自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．
(1)求实数k的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
5.3.1　函数的单调性
1．C　2.BC　3.D　4.A
5．B　[由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)为增函数，且在区间(－1,0)上增长速度越来越快，而在区间(0,1)上增长速度越来越慢，故选B.]
6．AD　[由题中图象可知，f(x)的大致图象如图所示．
A选项表示x1－x2与f－f异号，即f(x)图象的割线斜率为负，故A正确；B选项表示x1－x2与f－f同号，即f(x)图象的割线斜率为正，故B不正确；f 表示对应的函数值，即图中点B的纵坐标，表示当x＝x1和x＝x2时所对应的函数值的平均值，即图中点A的纵坐标，
显然有f <，故C不正确，D正确．]
7．(－2，－1)
解析　f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x＋1)ex
＝ex(x2＋3x＋2)＝ex(x＋1)(x＋2)，
令f′(x)<0，解得－2所以函数f(x)的单调递减区间为(－2，－1)．
8．(－3，－1)∪(0,1)
解析　由题图知，
当x∈(－∞，－3)∪(－1,1)时，
f′(x)<0；
当x∈(－3，－1)∪(1，＋∞)时，
f′(x)>0，
故不等式<0的解集为
(－3，－1)∪(0,1)．
9．解　函数f(x)的定义域为R，
f′(x)＝2(ex－1＋xex－x)
＝2(ex－1)(x＋1)．
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；
当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.
故f(x)在(－∞，－1)和(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减．
10．解　(1)因为f(x)的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0.
所以f′(－1)＝－，
且－1＋2f(－1)＋5＝0，
即f(－1)＝－2，即＝－2，①
又f′(x)＝，
所以＝－.②
由①②得a＝2，b＝3.
(因为b＋1≠0，所以b＝－1舍去)
所以所求函数的解析式是f(x)＝.
(2)由(1)知，f′(x)＝.
令－2x2＋12x＋6＝0，
解得x1＝3－2，x2＝3＋2，
则当x<3－2或x>3＋2时，
f′(x)<0；
当3－2f′(x)>0.
故f(x)＝的单调递增区间是(3－2，3＋2)；单调递减区间是(－∞，3－2)和(3＋2，＋∞)．
11．A　[因为f(x)＝xcos x，
所以f′(x)＝cos x－xsin x.
因为f′(－x)＝f′(x)，
所以f′(x)为偶函数，
所以函数图象关于y轴对称．
由f′(0)＝1可排除C，D.
而f′(1)＝cos 1－sin 1<0，排除B.]
12．D　[由f(x)的导函数图象可知，f(x)在(a，b)，(c，e)上单调递增，在(b，c)上单调递减，所以f(a)f(0)>f(c)，B，C错误；f(c)13．B　[令F(x)＝，
则F′(x)＝＝>0，
从而F(x)＝在R上单调递增，
于是当a>0时，
F(a)＝>F(0)＝＝f(0)，
即f(a)>eaf(0)．]
14．(－∞，－1)∪(0,1)
解析　因为在(0，＋∞)上f′(x)>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又f(x)为偶函数，
所以f(－1)＝f(1)＝0，
且f(x)在(－∞，0)上单调递减，
f(x)的草图如图所示，
所以xf(x)<0的解集为
(－∞，－1)∪(0,1)．
15．AB　[设g(x)＝ex·f(x)，
对于A，g(x)＝ex·2－x＝x在定义域R上是增函数，故A正确；
对于B，g(x)＝(x2＋2)ex，g′(x)＝(x2＋2x＋2)ex＝[(x＋1)2＋1]ex>0，所以g(x)在定义域R上是增函数，故B正确；
对于C，g(x)＝ex·3－x＝x在定义域R上是减函数，C不正确；对于D，g(x)＝ex·cos x，
则g′(x)＝excos，
g′(x)>0在定义域R上不恒成立，
D不正确．]
16．解　(1)由f(x)＝，
可得f′(x)＝.
∵曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，
∴f′(1)＝0，即＝0，解得k＝1.
(2)由(1)知，f′(x)＝(x>0)，
设h(x)＝－ln x－1(x>0)，
则h′(x)＝－－<0.
可知h(x)在(0，＋∞)上单调递减，
由h(1)＝0知，
当0h(1)＝0，
故f′(x)>0；
当x>1时，h(x)故f′(x)<0.
综上，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．