5.2.1 基本初等函数的导数 课时练-2024春高中数学选择性必修2（人教版）（含答案）

§5.2　导数的运算
5.2.1　基本初等函数的导数
1．下列求导运算正确的是(　　)
A．(cos x)′＝－sin x
B．(x3)′＝x3ln x
C．(ex)′＝xex－1
D．(ln x)′＝
2．下列各式中正确的个数是(　　)
①(x7)′＝7x6；②(x－1)′＝x－2；
③()′＝；④(cos 2)′＝－sin 2.
A．1 B．2 C．3 D．4
3．函数y＝3x在x＝2处的导数为(　　)
A．9 B．6 C．9ln 3 D．6ln 3
4．已知函数f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)，若f′(－1)＝－4，则α的值等于(　　)
A．4 B．－4 C．5 D．－5
5．若f(x)＝，g(x)＝ln x，则f′(1)＋g′(x)＝1的x的值为(　　)
A.
B.
C.
D．2
6．(多选)已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为(　　)
A．(－1,1)
B．(－1，－1)
C．(1,1)
D．(1，－1)
7．若曲线y＝在点P(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是________________________．
8．已知f(x)＝cos x，g(x)＝x，则关于x的不等式f′(x)＋g′(x)≤0的解集为_______________．
9．点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
10．已知抛物线y＝x2，求过点且与抛物线相切的直线方程．
11．直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b的值为(　　)
A．2
B．ln 2＋1
C．ln 2－1
D．ln 2
12．如图，函数y＝f的图象在点P处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于(　　)
A．－4 B．3 C．－2 D．1
13．设正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　)
A.∪
B．[0，π)
C.
D.∪
14．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 023(x)＝________.
15．函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．
16．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg xn，求a1＋a2＋…＋a99的值．
5.2.1　基本初等函数的导数
1．A　2.B　3.C　4.A　5.C
6．BC　[y′＝3x2，因为k＝3，
所以3x2＝3，所以x＝±1，
则P点坐标为(－1，－1)或(1,1)．]
7．4
8.
解析　∵f′(x)＝－sin x，g′(x)＝1，
由f′(x)＋g′(x)≤0，
得－sin x＋1≤0，
即sin x≥1，则sin x＝1，
解得x＝＋2kπ，k∈Z，
∴其解集为.
9．解　如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近．
则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，
又y′＝(ex)′＝ex，
所以＝1，得x0＝0，
代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．
利用点到直线的距离公式得最小距离为.
10．解　设直线的斜率为k，直线与抛物线相切的切点坐标为(x0，y0)，
则直线方程为y＋2＝k，
因为y′＝2x，所以k＝2x0，
又点(x0，y0)在切线上，
所以x＋2＝2x0，
解得x0＝1或x0＝－2，
则k＝2或k＝－4，
所以直线方程为y＋2＝2或
y＋2＝－4，
即2x－y－1＝0或4x＋y＋4＝0.
11．C　[∵y＝ln x的导数y′＝，
∴令＝，得x＝2，
∴切点为(2，ln 2)．
代入直线y＝x＋b，
得b＝ln 2－1.]
12．D　[由图象可得函数y＝f的图象在点P处的切线是l，与x轴交于点，与y轴交于点，则l：x＋y＝4，∴f＝2，f′(2)＝－1，
f(2)＋f′(2)＝1.]
13．A　[∵(sin x)′＝cos x，
∴kl＝cos x，
∴－1≤tan α≤1，又∵α∈[0，π)，
∴α∈∪.]
14．－cos x
解析　由已知得，f1(x)＝cos x，
f2(x)＝－sin x，
f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，
f5(x)＝cos x，…，依次类推可得，
函数呈周期变化，且周期为4，
则f2 023(x)＝f3(x)＝－cos x.
15．21
解析　∵y′＝2x，∴y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线方程为y－a＝2ak(x－ak)．
又该切线与x轴的交点坐标为(ak＋1,0)，
∴ak＋1＝ak，即数列{ak}是首项为a1＝16，公比为q＝的等比数列，
∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.
16．解　导函数y′＝(n＋1)xn，
切线斜率k＝y′|x＝1＝n＋1，
所以切线方程为y＝(n＋1)x－n，
可求得切线与x轴的交点为，
则an＝lg ＝lg n－lg(n＋1)，
所以a1＋a2＋…＋a99＝(lg 1－lg 2)＋(lg 2－lg 3)＋…＋(lg 99－lg 100)＝lg 1－lg 100＝－2.