5.2.2 导数的四则运算法则 课时练-2024春高中数学选择性必修2（人教版）（含答案）

5.2.2　导数的四则运算法则
1．(多选)下列运算中正确的是(　　)
A．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′
B．(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2′(x2)′
C.′＝
D．(cos x·sin x)′＝(cos x)′sin x＋cos x(sin x)′
2．曲线f(x)＝x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角为(　　)
A. B.
C. D.
3．设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0等于(　　)
A．e2 B．e
C. D．ln 2
4．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于(　　)
A．－1 B．－2 C．2 D．0
5．已知f(x)＝x2＋sin，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的大致图象是(　　)
6．(多选)当函数y＝(a＞0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0可以是(　　)
A．a B．0 C．－a D．a2
7．已知函数f(x)＝ex·sin x，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程是____________．
8．已知函数f(x)＝若f′(a)＝12，则实数a的值为________．
9．求下列函数的导数：
(1)y＝ln x＋；
(2)y＝；
(3)f(x)＝(x2＋9)；
(4)f(x)＝.
10．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8.
(1)求a，b的值；
(2)设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程．
11．已知曲线f(x)＝在点(1，f(1))处切线的倾斜角为，则实数a等于(　　)
A．1 B．－1 C．7 D．－7
12．已知曲线f(x)＝(x＋a)·ln x在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0垂直，则a等于(　　)
A. B．1 C．－ D．－1
13．如图，有一个图象是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，且a≠0)的导函数的图象，则f(－1)等于(　　)
A. B．－ C. D．－或
14．已知函数f(x)＝f′cos x＋sin x，则f 的值为________．
15．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)＝________.
16．已知函数f(x)＝，且f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象切于P点，求直线l的斜率k的取值范围．
5.2.2　导数的四则运算法则
1．AD　2.B　3.B　4.B　5.A
6．AC　[y′＝′
＝
＝，
由x－a2＝0得x0＝±a.]
7．y＝x
解析　∵f(x)＝ex·sin x，∴f′(x)＝ex(sin x＋cos x)，f′(0)＝1，f(0)＝0，∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y－0＝1×(x－0)，即y＝x.
8.或－4
解析　f′(x)＝
若f′(a)＝12，则
或
解得a＝或a＝－4.
9．解　(1)y′＝′
＝′＋′
＝－.
(2)y′＝′
＝
＝－.
(3)f(x)＝x3＋6x－，
f′(x)＝3x2＋＋6.
(4)f′(x)＝
＝
＝.
10．解　(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，
所以f′(x)＝2ax＋b，
又f′(x)＝2x－8，
所以a＝1，b＝－8.
(2)由(1)可知g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3，
所以g′(x)＝exsin x＋excos x＋2x－8，
所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7，
又g(0)＝3，
所以曲线g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，
即7x＋y－3＝0.
11．C　[∵f′(x)＝
＝，
又f′(1)＝tan ＝－1，∴a＝7.]
12．C　[因为f(x)＝(x＋a)·ln x，
x>0，
所以f′(x)＝ln x＋(x＋a)·，
所以f′(1)＝1＋a.
又因为f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0垂直，
所以f′(1)＝－，所以a＝－.]
13．B　[f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，题图(1)与题图(2)中，导函数的图象的对称轴都是y轴，此时a＝0，与题设不符合，故题图(3)中的图象是函数f(x)的导函数的图象．由题图(3)知f′(0)＝0，即f′(0)＝a2－1＝0，得a2＝1，又由题图(3)得对称轴为－＝－a>0，则a<0，解得a＝－1.
故f(x)＝x3－x2＋1，
所以f(－1)＝－.]
14．1
解析　∵f′(x)＝－f′sin x
＋cos x，
∴f′＝－f′×＋，
得f′＝－1.
∴f(x)＝(－1)cos x＋sin x，
∴f ＝1.
15．4 096
解析　因为f′(x)＝(x)′·[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x，
所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＋0＝a1a2·…·a8.
因为数列{an}为等比数列，
所以a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝8，
所以f′(0)＝84＝212＝4 096.
16．解　(1)由题意得
f′(x)＝
＝＝，
因为f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切，
所以解得
则f(x)＝.
(2)由(1)可得，f′(x)＝，
所以直线l的斜率
k＝f′(x0)＝
＝4，
令t＝，则t∈(0,1]，
所以k＝4(2t2－t)
＝82－，
则在对称轴t＝处取到最小值－，在t＝1处取到最大值4，
所以直线l的斜率k的取值范围是.