第五章 5.2.3　简单复合函数的导数 课时练-2024春高中数学选择性必修2（人教版）（含答案）

5.2.3　简单复合函数的导数
1．(多选)下列函数是复合函数的是(　　)
A．y＝－x3－＋1 B．y＝cos
C．y＝ D．y＝(2x＋3)4
2．设f(x)＝log3(x－1)，则f′(2)等于(　　)
A．ln 3 B．－ln 3 C. D．－
3．函数y＝xln(2x＋5)的导数为(　　)
A．ln(2x＋5)－ B．ln(2x＋5)＋
C．2xln(2x＋5) D.
4．函数y＝x(1－ax)2(a>0)，且y′|x＝2＝5，则a等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
5．曲线y＝2xex－2在点(2,4)处切线的斜率等于(　　)
A．2e B．e C．6 D．2
6．(多选)下列结论中不正确的是(　　)
A．若y＝cos ，则y′＝－sin
B．若y＝sin x2，则y′＝2xcos x2
C．若y＝cos 5x，则y′＝－sin 5x
D．若y＝xsin 2x，则y′＝xsin 2x
7．质点M按规律s(t)＝(2t＋1)2 做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，则质点M在t＝2时的瞬时速度为________m/s.
8．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________．
9．求下列函数的导数：
(1)y＝ln(ex＋x2)；
(2)y＝102x＋3；
(3)y＝sin4x＋cos 4x；
(4)y＝；
(5)y＝sin 2xcos 3x；
(6)y＝x3ecos x.
10．曲线y＝esin x在点(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程．
11．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为(　　)
A. B. C. D．1
12．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是(　　)
A. B．2 C．3 D．0
13．(多选)已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值可以是(　　)
A. B. C. D.
14．设函数f(x)＝cos(x＋φ)(0<φ<π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝________.
15．设函数f在内可导，其导函数为f′，且f＝2x－ln x，则f′＝______.
16．(1)已知f(x)＝eπxsin πx，求f′(x)及f′；
(2)在曲线y＝上求一点，使过该点的切线平行于x轴，并求切线方程．
5.2.3　简单复合函数的导数
1．BCD　2.C　3.B　4.A　5.C
6．ACD　[对于A，y＝cos ，
则y′＝sin ，故错误；
对于B，y＝sin x2，
则y′＝2xcos x2，故正确；
对于C，y＝cos 5x，
则y′＝－5sin 5x，故错误；
对于D，y＝xsin 2x，
则y′＝sin 2x＋xcos 2x，故错误．]
7．20
解析　∵s(t)＝(2t＋1)2，
∴s′(t)＝2(2t＋1)×2＝8t＋4，
则质点在t＝2时的瞬时速度为s′(2)＝8×2＋4＝20(m/s)．
8．2
解析　设直线y＝x＋1切曲线y＝ln(x＋a)于点(x0，y0)，则y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)，
又曲线的导数为y′＝，
∴＝＝1，即x0＋a＝1.
又y0＝ln(x0＋a)，∴y0＝0，
∴x0＝－1，∴a＝2.
9．解　(1)令u＝ex＋x2，
则y＝ln u.
∴y′x＝y′u·u′x＝·(ex＋x2)′
＝·(ex＋2x)＝.
(2)令u＝2x＋3，则y＝10u，
∴y′x＝y′u·u′x＝10u·ln 10·(2x＋3)′＝2×102x＋3ln 10.
(3)∵y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2 x·cos2 x＝1－sin2 2x＝1－(1－cos 4x)＝＋
cos 4x.
∴y′＝－sin 4x.
(4)设y＝，u＝1－x2，
则y′x＝(1－x2)′
＝.
(5)∵y＝sin 2xcos 3x，
∴y′＝(sin 2x)′cos 3x＋sin 2x(cos 3x)′
＝2cos 2xcos 3x－3sin 2xsin 3x.
(6)y′＝(x3)′ecos x＋x3(ecos x)′＝3x2ecos x＋x3ecos x·(cos x)′＝3x2ecos x－x3ecosxsin x.
10．解　∵y＝esin x，∴y′＝esin xcos x，
∴y′|x＝0＝1.
∴曲线y＝esin x在点(0,1)处的切线方程为
y－1＝x，即x－y＋1＝0.
又直线l与x－y＋1＝0平行，
故直线l可设为x－y＋m＝0(m≠1)．
由＝得m＝－1或3.
∴直线l的方程为x－y－1＝0或x－y＋3＝0.
11．A　
[依题意得
y′＝e－2x·(－2)
＝－2e－2x，
y′|x＝0＝－2e－2×0＝－2.
所以曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y－2＝－2x，
即y＝－2x＋2.在平面直角坐标系中作出直线y＝－2x＋2，y＝0与y＝x的图象，如图所示．
因为直线y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标是，
直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐标是(1,0)，
所以结合图象可得，
这三条直线所围成的三角形的面积为
×1×＝.]
12．A　[设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．
∵y′＝，
∴＝＝2，
解得x0＝1，
∴y0＝ln(2－1)＝0，
即切点坐标为(1,0)．
∴切点(1,0)到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝＝，
即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是.]
13．CD　[因为y＝，
所以y′＝＝＝.
因为ex>0，所以ex＋≥2(当且仅当x＝0时取等号)，
所以y′∈[－1,0)，所以tan α∈[－1,0)．
又因为α∈[0，π)，所以α∈.]
14.
解析　∵f′(x)＝－sin(x＋φ)，
∴f(x)＋f′(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)，
令g(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)，
∵其为奇函数，∴g(0)＝0，
即cos φ－sin φ＝0，
∴tan φ＝，又0<φ<π，∴φ＝.
15．2e－1
解析　因为f＝2x－ln x，
令t＝ln x，则x＝et，
所以f＝2et－t，
即f＝2ex－x，
所以f′＝2ex－1，
因此f′＝2e－1.
16．解　(1)∵f(x)＝eπxsin πx，
∴f′(x)＝πeπxsin πx＋πeπxcos πx
＝πeπx(sin πx＋cos πx)．
∴f′＝
＝.
(2)设切点坐标为P(x0，y0)，
由题意可知＝0.
又y′＝，
∴＝＝0.
解得x0＝0，此时y0＝1.
即切点坐标为P(0,1)，
切线方程为y－1＝0.