第七节导数与同构函数专练（含答案）-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.docx

第七节 导数与同构函数
知识清单
1．常见的同构函数
（1），， （2），，
（3）， （4），
2．常见的同构形式转换
（1）， （2），
（3）， （4），
观察式子结构，可以式子左右同乘，同除，凑项等手段统一形式．
题型训练
题型一 利用同构函数比较大小
1．已知且，且，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，且满足，为自然对数的底数，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知实数，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．设，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知，为自然对数的底数，若，则（ ）
A． B． C． D．
题型二 利用同构函数解决不等式恒成立问题
7．不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，若在上存在使得不等式成立，则的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
9．若不等式（）对任意恒成立，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
10．对任意的，恒成立，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．3
12．若不等式对任意的恒成立，则实数的值为
13．已知函数，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
14．已知函数，若对，不等式恒成立，求实数的取值范围．
题型三 利用同构函数证明不等式
15．已知函数，当时，证明：．
16．已知函数，证明：对任意的，．
题型四 利用同构函数求最值
17．已知函数，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
18．已知函数，，若，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
19．已知实数满足：，则的最大值为
20．已知函数，，若满足，，则的最小值为
题型五 利用同构函数解决零点问题
21．已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
22．已知函数与直线有且仅有两个交点，则实数的取值范围是
23．已知函数和有相同的最小值．
（1）求；
（2）证明：存在直线与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
24．已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）当时，函数在上有两个不同的零点，求的取值范围．
第七节 导数与同构函数参考答案
题型一 利用同构函数比较大小
1-6 D，B，D，A，C，A
题型二 利用同构函数解决不等式恒成立问题
7-11 B，D，B，C，A 12．1 13． 14．
题型三 利用同构函数证明不等式
略
题型四 利用同构函数求最值
17．A 18．B 19． 20．
题型五 利用同构函数解决零点问题
21．A 22． 23．（1） （2）略
24．（1）有极小值，无极大值
（2）