第四章 数列 章末检测试卷一 -2024春高中数学选择性必修2（人教版）（含解析）

第四章　数　列 章末检测试卷一
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知数列1，，，，…，，则3是这个数列的第(　　)
A．20项 B．21项
C．22项 D．23项
2．在等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
3．在等比数列{an}中，a2＋a3＝1，a3＋a4＝2，则a4＋a5等于(　　)
A．4 B．8 C．16 D．32
4．已知圆O的半径为5，|OP|＝3，过点P的2 023条弦的长度组成一个等差数列{an}，最短弦长为a1，最长弦长为a2 023，则其公差为(　　)
A. B. C. D.
5．已知等比数列{an}的各项均为正数，若log3a1＋log3a2＋…＋log3a12＝12，则a6a7等于(　　)
A．1 B．3 C．6 D．9
6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＋a7>0，a6＋a8<0，则Sn最大时n的值为(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
7．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a4＋a8＝8(a1＋a5)，a2＋a6＋a10＝10，则S12等于(　　)
A．45 B．75 C．80 D．90
8．若数列{an}的前n项和为Sn，bn＝，则称数列{bn}是数列{an}的“均值数列”．已知数列{bn}是数列{an}的“均值数列”且通项公式为bn＝n，设数列的前n项和为Tn，若TnA．(－1,3)
B．[－1,3]
C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．在等比数列{an}中，已知a1＝3，a3＝27，则数列{an}的通项公式是(　　)
A．an＝3n，n∈N*
B．an＝3n－1，n∈N*
C．an＝(－1)n－13n，n∈N*
D．an＝2n－1，n∈N*
10．在等差数列{an}中，是一个与n无关的常数，则该常数可能为(　　)
A．1 B．－ C. D．－1
11．设d，Sn分别为等差数列{an}的公差与前n项和，若S10＝S20，则下列论断中正确的是(　　)
A．当n＝15时，Sn取最大值
B．当n＝30时，Sn＝0
C．当d>0时，a10＋a22>0
D．当d<0时，|a10|>|a22|
12．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则使得为整数的正整数n的值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．14
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若an＝(－1)n·(2n－1)，则数列{an}的前21项和S21＝________.
14．在等差数列{an}中，前m(m为奇数)项和为135，其中偶数项之和为63，且am－a1＝14，则a100的值为________．
15．设等比数列{an}满足a1＋a2＝12，a1－a3＝6，则an＝__________；a1a2·…·an的最大值为________．
16．已知函数f(x)＝，数列{an}满足an＝f ，则数列{an}的前2 022项和为________．
四、解答题(本题共6小题，共70分)
17．(10分)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an.
(1)求{an}的通项公式；
(2)数列{bn}是等差数列，Sn为{bn}的前n项和，若b1＝a1＋a2＋a3，b3＝a3，求Sn.
18．(12分)已知等差数列{an}中，a5－a2＝6，且a1，a6，a21依次成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Sn，若Sn＝，求n的值．
19．(12分)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100.
20．(12分)在数列{an}中，前n项和Sn＝1＋kan(k≠0，k≠1)．
(1)证明：数列{an}为等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)当k＝－1时，求a＋a＋…＋a.
21．(12分)近几年，我国在电动汽车领域有了长足的发展，电动汽车的核心技术是动力总成，而动力总成的核心技术是电机和控制器，我国永磁电机的技术已处于国际领先水平．某公司计划今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要安装、人工等费用24万元，从第二年起，包括人工、维修等费用每年所需费用比上一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元．
(1)引进该生产线几年后总盈利最大，最大是多少万元？
(2)引进该生产线几年后平均盈利最多，最多是多少万元？
22．(12分)在如图所示的三角形数阵中，第n行有n个数，aij表示第i行第j个数，例如，a43表示第4行第3个数．该数阵中每一行的第一个数从上到下构成以m为公差的等差数列，从第三行起每一行的数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中m>0)．已知a11＝2，a41＝
a32＋2，＝m.
(1)求m及a53；
(2)记Tn＝a11＋a22＋a33＋…＋ann，求Tn.
第四章　数　列 章末检测试卷一
1．D　[已知数列1，，，，…，，则该数列的通项公式为an＝，若＝3＝，
即2n－1＝45，解得n＝23，
则3是这个数列的第23项．]
2．B　[∵a1＋a5＝2a3＝10，∴a3＝5，
∴d＝a4－a3＝7－5＝2.]
3．A　[由a3＋a4＝q(a2＋a3)，
可得q＝2，
所以a4＋a5＝q(a3＋a4)＝4.]
4．B　[由题意，知最长弦长为直径，即a2 023＝10，最短弦长和最长弦长垂直，由弦长公式得a1＝2＝8，
所以d＝＝.]
5．D　[因为等比数列{an}的各项均为正数，且log3a1＋log3a2＋…＋log3a12＝12，即log3(a1·a2·…·a12)＝12，所以a1·a2·…·a12＝312，所以(a6a7)6＝312，所以a6a7＝32＝9.]
6．C　[∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a6＋a7>0，a6＋a8<0，
∴a6＋a8＝2a7<0，
∴a6>0，a7<0，
∴Sn最大时n的值为6.]
7．B　[设等比数列{an}的公比为q，由a4＋a8＝8可知a1q3＋a5q3＝8，
所以q＝2，S12＝＋＋
＋
＝(a2＋a6＋a10)＋(a2＋a6＋a10)＋q(a2＋a6＋a10)＋q2(a2＋a6＋a10)
＝
＝10×＝75.]
8．D　[由题意，得数列{an}的前n项和为Sn，
由“均值数列”的定义可得＝n，
所以Sn＝n2，
当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，
a1＝1也满足an＝2n－1，
所以an＝2n－1，
所以＝
＝，
所以Tn＝＋…＋＝<，
又Tn整理得m2－2m－3≥0，
解得m≤－1或m≥3.
即实数m的取值范围为
(－∞，－1]∪[3，＋∞)．]
9．AC　[由a3＝a1q2，得q2＝9，
即q＝±3.
∴an＝a1qn－1＝3×3n－1＝3n或an＝a1qn－1＝3×(－3)n－1＝(－1)n－13n.故数列{an}的通项公式是an＝3n，n∈N*或an＝(－1)n－13n，n∈N*.]
10．AC　[因为数列{an}是等差数列，
所以设数列{an}的通项公式为
an＝a1＋(n－1)d，
则a2n＝a1＋(2n－1)d，
所以＝，
因为是一个与n无关的常数，
所以a1－d＝0或d＝0，
所以可能为1或.]
11．BC　[因为S10＝S20，所以10a1＋d＝20a1＋d，
解得a1＝－d.
所以Sn＝－dn＋d＝n2－15nd＝[(n－15)2－225]．对于选项A，因为d的正负不确定，
Sn不一定有最大值，故A错误；
对于选项B，S30＝30a1＋d＝30×＋15×29d＝0，
故B正确；
对于选项C，a10＋a22＝2a16＝2(a1＋15d)＝2＝d>0，
故C正确；
对于选项D，a10＝a1＋9d＝－d＋d＝－d，a22＝a1＋21d＝－d＋d＝d，因为d<0，
所以|a10|＝－d，|a22|＝－d，
|a10|<|a22|，故D错误．]
12．ACD　[由题意可得＝＝＝，则＝＝＝＝3＋，
由于为整数，则n＋1为15的正约数，则n＋1的可能取值有3,5,15，
因此，正整数n的可能取值有2,4,14.]
13．－21
解析　S21＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…－41＝2×10－41＝－21.
14．101
解析　∵在前m项中偶数项之和为S偶＝63，
∴奇数项之和为S奇＝135－63＝72，
设等差数列{an}的公差为d，
则S奇－S偶＝
＝72－63＝9.
又am＝a1＋d(m－1)，
∴＝9，
∵am－a1＝14，∴a1＝2，am＝16.
∵＝135，∴m＝15，
∴d＝＝1，
∴a100＝a1＋99d＝101.
15.n－4　64
解析　设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，
由a1＋a2＝12，a1－a3＝6，
可得
解得
∴an＝8×n－1＝n－4.
∴a1a2·…·an＝－3－2－1＋0＋1＋…＋(n－4)
＝.
令f(n)＝n(n－7)＝(n2－7n)
＝2－，
∴当n＝3或n＝4时，f(n)有最小值，即f(n)min＝－6，
∴a1a2·…·an的最大值为－6＝64.
16．1 011
解析　依题意，函数f(x)＝，f(1－x)＝＝，所以f(x)＋f(1－x)＝1，因为数列{an}满足an＝f ，所以a1＋a2 022＝a2＋a2 021＝a3＋a2 020＝…＝1.设此数列前2 022项的和为S2 022，则有S2 022＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 022，
S2 022＝a2 022＋a2 021＋a2 020＋…＋a1，
所以2S2 022＝1×2 022，
即S2 022＝1 011.
17．解　(1)因为a1＝1，an＋1＝3an，
所以数列{an}是首项为1，
公比为3的等比数列，所以an＝3n－1.
(2)由(1)得，b1＝a1＋a2＋a3＝1＋3＋9＝13，b3＝9，
则b3－b1＝2d＝－4，解得d＝－2，
所以Sn＝13n＋×(－2)＝－n2＋14n.
18．解　(1)设数列{an}的公差为d，因为a5－a2＝6，所以3d＝6，解得d＝2.
因为a1，a6，a21依次成等比数列，所以a＝a1a21，即(a1＋5×2)2＝a1(a1＋20×2)，解得a1＝5，所以an＝2n＋3.
(2)由(1)知bn＝＝，
所以bn＝，
所以Sn＝
＋…＋＝，
由＝，
得n＝15.
19．解　(1)由于数列{an}是公比大于1的等比数列，设首项为a1，公比为q，
依题意有
解得或(舍)，
所以{an}的通项公式为an＝2n，n∈N*.
(2)由于21＝2,22＝4,23＝8,24＝16,25＝32,26＝64，27＝128，
所以b1对应的区间为(0,1]，则b1＝0；
b2，b3对应的区间分别为(0,2]，(0,3]，
则b2＝b3＝1，即有2个1；
b4，b5，b6，b7对应的区间分别为
(0,4]，(0,5]，(0,6]，(0,7]，
则b4＝b5＝b6＝b7＝2，即有22个2；
b8，b9，…，b15对应的区间分别为(0,8]，(0,9]，…，(0,15]，则b8＝b9＝…＝b15＝3，即有23个3；
b16，b17，…，b31对应的区间分别为(0,16]，(0,17]，…，(0,31]，
则b16＝b17＝…＝b31＝4，即有24个4；
b32，b33，…，b63对应的区间分别为(0,32]，(0,33]，…，(0,63]，
则b32＝b33＝…＝b63＝5，即有25个5；
b64，b65，…，b100对应的区间分别为(0,64]，(0,65]，…，(0,100]，
则b64＝b65＝…＝b100＝6，
即有37个6.
所以S100＝1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×37＝480.
20．(1)证明　因为Sn＝1＋kan，①
Sn－1＝1＋kan－1(n≥2)，②
由①－②，得Sn－Sn－1＝kan－kan－1(n≥2)，所以an＝an－1.
由已知可得当an＝0时，
Sn＝1无意义，所以an≠0.
当n＝1时，S1＝a1＝1＋ka1，
所以a1＝.
所以{an}是首项为，公比为的等比数列．
(2)解　因为a1＝，q＝，
所以an＝·n－1
＝－.
(3)解　因为在数列{an}中，a1＝，
公比q＝，
所以数列{a}是首项为2，
公比为2的等比数列．
当k＝－1时，等比数列{a}的首项为，公比为，所以a＋a＋…＋a
＝
＝×.
21．解　(1)设引进设备n年后总盈利为f万元，设除去设备引进费用，第n年的成本为an，构成一等差数列，前n年成本之和为万元，
所以f＝100n－[24n＋4n(n－1)＋196]＝－4n2＋80n－196
＝－42＋204，n∈N*，
所以当n＝10时，fmax＝204(万元)，
即引进生产线10年后总盈利最大，为204万元．
(2)设n年后平均盈利为g万元，
则g(n)＝＝－4n－＋80，n∈N*，因为g＝－4＋80，
当n∈N*时，n＋≥2＝14，
当且仅当n＝，即n＝7时取等号，
故当n＝7时，gmax＝g＝24(万元)，
即引进生产线7年后平均盈利最多，为24万元．
22．解　(1)由已知得a31＝a11＋(3－1)×m＝2m＋2，
a32＝a31×m＝(2m＋2)×m＝2m2＋2m，a41＝a11＋(4－1)×m＝3m＋2，
∵a41＝a32＋2，
∴3m＋2＝(2m2＋2m)＋2，
即m2－2m＝0.
又m>0，∴m＝2，∴a51＝a11＋4×2＝10，
∴a53＝a51×22＝40.
(2)由(1)得an1＝a11＋(n－1)×2＝2n.
当n≥3时，ann＝an1·2n－1＝n·2n.(*)
又a21＝a11＋2＝4，a22＝ma21＝2×4＝8.
a11＝2，a22＝8符合(*)式，∴ann＝n·2n.
∵Tn＝a11＋a22＋a33＋…＋ann，
∴Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋4×24＋…＋n·2n，①
2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，②
由①－②得，－Tn＝21＋22＋23＋24＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1
＝2n＋1－2－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2，
∴Tn＝(n－1)·2n＋1＋2.