高中数学选择性必修2(人教版) 综合检测试卷(二)(含解析)

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名称 高中数学选择性必修2(人教版) 综合检测试卷(二)(含解析)
格式 docx
文件大小 88.6KB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2024-03-10 14:37:20

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文档简介

高中数学选择性必修2(人教版) 综合检测试卷(二)
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在等差数列{an}中,a4=2,a8=14,则a15等于(  )
A.32 B.-32 C.35 D.-35
2.函数y=2x3-3x2-12x+5在[-2,1]上的最大值、最小值分别是(  )
A.12,-8 B.1,-8
C.12,-15 D.5,-16
3.在数列{an}中,a1=,an=(-1)n·2an-1(n≥2),则a5等于(  )
A.- B. C.- D.
4.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a等于(  )
A.0 B.1 C.2 D.3
5.已知等差数列共有10项,其偶数项之和为20,奇数项之和为5,则该数列的公差为(  )
A.-3 B.-2 C.2 D.3
6.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“诸葛亮领八员将,每将又分八个营,每营里面排八阵,每阵先锋有八人,每人旗头俱八个,每个旗头八队成,每队更该八个甲,每个甲头八个兵.”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有(  )
A.(87-8)人 B.(89-8)人
C.人 D.人
7.设曲线y=sin x上任一点(x,y)处的切线斜率为g(x),则函数y=x2g(x)的部分图象可以为(  )
8.已知数列的前n项和Sn=n2-16n,则等于(  )
A.-55 B.0 C.55 D.73
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.设f(x),g(x)在[a,b]上可导,且f′(x)>g′(x),则当aA.f(x)>g(x)
B.f(x)C.f(x)+g(a)>g(x)+f(a)
D.f(x)+g(b)10.设{an}是等比数列,Sn为其前n项和,已知a2a4=1,S3=7,则S5等于(  )
A. B. C. D.
11.已知函数f(x)=sin x+x3-ax,则下列结论正确的是(  )
A.f(x)是奇函数
B.当a=-3时,函数f(x)恰有两个零点
C.若f(x)为增函数,则a≤1
D.当a=3时,函数f(x)恰有两个极值点
12.已知数列中,前n项和为Sn,且Sn=an,则的值不可能为(  )
A.2 B.5 C.3 D.4
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知数列{an}的通项公式为an=2 023-3n,则使an>0成立的最大正整数n的值为________.
14.若函数f(x)=x3-ax2+x-5无极值点,则实数a的取值范围是________.
15.函数f(x)=(1+x2)ex-1的零点个数为__________________________________________.
16.已知在数列中,a1=1,an+1=2an+3,则a10=________.
四、解答题(本题共6小题,共70分)
17.(10分)设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R.已知f(x)在x=3处取得极值.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)在点A(1,16)处的切线方程.
18.(12分)在①Sn=n2+n,②a3+a5=16,S3+S5=42,③=,S7=56这三个条件中任选一个补充在下面的问题中,并加以解答.
设等差数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}为等比数列,________,b1=a1,b2=.求数列的前n项和Tn.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
19.(12分)函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若函数f(x)在区间(1,2)上单调递增,求a的取值范围.
20.(12分)某公司自2022年起,每年投入的设备升级资金为500万元,预计自2022年起(2022年为第1年),因为设备升级,第n年可新增的盈利an=(单位:万元),求:
(1)第几年起,当年新增盈利超过当年设备升级资金;
(2)第几年起,累计新增盈利总额超过累计设备升级资金总额.
21.(12分)已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1.
(1)证明数列{an+1}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=3n·(an+1),求数列{bn}的前n项和Tn.
22.(12分)已知函数f(x)=xex-x2-2x-1.
(1)求函数f(x)在[-1,1]上的最大值;
(2)证明:当x>0时,f(x)>-x-1.
综合检测试卷(二)
1.C [∵{an}是等差数列,
∴d==3,
∴a15=a4+11d=2+11×3=35.]
2.A [y′=6x2-6x-12,
由y′=0,得x=-1或x=2(舍去).
当x=-2时,y=1;当x=-1时,
y=12;当x=1时,y=-8,
所以ymax=12,ymin=-8.]
3.B [∵a1=,an=(-1)n·2an-1,
∴a2=(-1)2×2×=,
a3=(-1)3×2×=-,
a4=(-1)4×2×=-,
a5=(-1)5×2×=.]
4.D [令f(x)=ax-ln(x+1),
则f′(x)=a- .
由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f′(0)=a-1.又切线方程为y=2x,
则有a-1=2,所以a=3.]
5.D [∵a1+a3+a5+a7+a9=5,a2+a4+a6+a8+a10=20,∴5d=15,∴d=3.]
6.D [由题意可得将官、营、阵、先锋、旗头、队长、甲头、士兵依次成等比数列,且首项为8,公比也是8,
所以将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有
8+84+85+86+87+88=8+=人.]
7.C [由曲线方程y=sin x,
可知g(x)=cos x,
所以y=x2g(x)=x2cos x为偶函数,排除A,B;
当x=0时,y=0,排除D,故选C.]
8.D [∵Sn=n2-16n,
∴当n=1时,a1=-15,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1
=n2-16n-[(n-1)2-16(n-1)]=2n-17,令an≤0,解得n≤8,
令Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|a11|
=-a1-a2-a3-…-a8+a9+a10+a11=15+13+11+9+7+5+3+1+1+3+5=73.]
9.CD [因为f′(x)-g′(x)>0,
所以[f(x)-g(x)]′>0,
所以f(x)-g(x)在[a,b]上单调递增,
所以当af(x)-g(x)>f(a)-g(a),
所以f(x)+g(a)>g(x)+f(a),
f(x)+g(b)10.BD [设数列{an}的公比为q,
由a2a4=1,得a=1,∴a3=±1.
∵S3=7,
∴a1+a2+a3=++a3=7,
当a3=-1时,得8q2+q+1=0,无解,当a3=1时,得6q2-q-1=0,
解得q=或q=-,
当q=-时,a1==9.
∴S5=
=×=.
当q=时,a1==4.
∴S5=
=8×=.]
11.ACD [对于A选项,函数f(x)=sin x+x3-ax的定义域为R,
f(-x)=sin(-x)+(-x)3+ax=-sin x-x3+ax=-f(x),
函数f(x)为奇函数,A选项正确;
对于B选项,当a=-3时,f(x)=sin x+x3+3x,则f′(x)=cos x+3x2+3>0,
所以函数f(x)在R上为增函数,又f(0)=0,所以函数f(x)有且只有一个零点,B选项错误;
对于C选项,f′(x)=cos x+3x2-a,由于函数f(x)为增函数,则f′(x)≥0对任意的x∈R恒成立,
即a≤3x2+cos x.
令g(x)=3x2+cos x,则g′(x)=6x-sin x,令φ(x)=6x-sin x,
则φ′(x)=6-cos x>0,
所以函数g′(x)在R上为增函数,
当x<0时,g′(x)函数g(x)单调递减;
当x>0时,g′(x)>g′(0)=0,
函数g(x)单调递增.
所以g(x)min=g(0)=1,
∴a≤1,C选项正确;
对于D选项,当a=3时,
f(x)=sin x+x3-3x,
则f′(x)=cos x+3x2-3.
由C选项可知,函数f′(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,
∵f′(-1)=f′(1)=cos 1>0,
f′(0)=-2<0,
∴由函数零点存在定理可知,函数f′(x)在(-1,0)和(0,1)上都存在一个零点,因此,当a=3时,函数f(x)有两个极值点,D选项正确.]
12.BD [∵Sn=an,
∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an-an-1,
化为==1+,
由于数列为递减数列,
可得当n=2时,取得最大值2.
∴的最大值为3.]
13.674
解析 由an=2 023-3n>0,
得n<=674,
又∵n∈N*,∴n的最大值为674.
14.[-1,1]
解析 因为f(x)=x3-ax2+x-5,
所以f′(x)=x2-2ax+1,
因为函数f(x)=x3-ax2+x-5无极值点,
所以(-2a)2-4≤0,解得-1≤a≤1,
故实数a的取值范围是[-1,1].
15.1
解析 因为f′(x)=2xex+(1+x2)ex=(1+x)2ex≥0,
所以f(x)单调递增,又因为f(0)=0,
所以f(x)有且仅有1个零点.
16.2 045
解析 ∵an+1=2an+3,
∴an+1+3=2(an+3),
故数列{an+3} 为等比数列,
首项为4,公比为2.
∴an+3=4·2n-1,
∴an=4·2n-1-3=2n+1-3,
∴a10=2 045.
17.解 (1)f′(x)=6x2-6(a+1)x+6a.
因为f(x)在x=3处取得极值,
所以f′(3)=6×9-6(a+1)×3+6a=0,
解得a=3.
所以f(x)=2x3-12x2+18x+8.
(2)点A在f(x)上,
由(1)可知f′(x)=6x2-24x+18,
f′(1)=6-24+18=0,
所以切线方程为y=16.
18.解 选①:
当n=1时,a1=S1=2,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n,
又n=1满足an=2n,
所以an=2n,
Sn=
=n2+n(n∈N*);
选②:
设数列{an}的公差为d,
由a3+a5=16,S3+S5=42,

解得
所以an=2n,
Sn==n2+n(n∈N*);
选③:
由=,得=,
所以=,
即an=a1·n, S7=7a4=28a1=56,
所以a1=2,
所以an=2n,
Sn==n2+n(n∈N*).
①②③均可求得an=2n,
Sn=n2+n(n∈N*),
设{bn}的公比为q,
又因为a1=2,a2=4,
由b1=a1=2,b2==4,
得b1=2,q=2,
所以bn=2n(n∈N*),
所以数列{bn}的前n项和为=2n+1-2,
因为===-,
所以数列的前n项和为
1-+-+…+-
=1-,
故Tn=2n+1-2+1-=2n+1--1.
19.解 (1)f′(x)=3ax2+6x+3,
令f′(x)=0,
即3ax2+6x+3=0,
则Δ=36(1-a).
①若a≥1,则Δ≤0,f′(x)≥0,
所以f(x)在R上是增函数.
②因为a≠0,故当a<1时,Δ>0,
f′(x)=0有两个根,
x1=,x2=,
若00,故f(x)在(-∞,x2),(x1,+∞)上单调递增;
当x∈(x2,x1)时,f′(x)<0,
故f(x)在(x2,x1)上单调递减.
当a<0时,则当x∈(-∞,x1)或x∈(x2,+∞)时,f′(x)<0,故f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递减;当x∈(x1,x2)时,f′(x)>0,
故f(x)在(x1,x2)上单调递增.
(2)当a>0,x>0时,
f′(x)=3ax2+6x+3>0,
所以当a>0时,f(x)在区间(1,2)上单调递增.
若a<0时,f(x)在区间(1,2)上单调递增,
则f′(1)≥0且f′(2)≥0,
解得-≤a<0.
综上,a的取值范围是∪(0,+∞).
20.解 (1)当n≤5时,
an=80(n-1)>500,
解得n>7.25,即n≥8,不成立,
当n≥6时,an=1 000(1-0.6n-5)>500,即0.6n-5<0.5,0.6n-5随着n的增大而减小,
当n=6时,0.66-5=0.6<0.5不成立,当n=7时,0.67-5=0.36<0.5成立,
故第7年起,当年新增盈利超过当年设备升级资金.
(2)当n=5时,累计新增盈利总额
S5=a1+a2+a3+a4+a5=0+80+160+240+320=800<500×5,
可得所求n超过5,当n≥6时,
Sn=S5+1 000(n-5)->500n,
整理得n+3×0.6n-5>11.4,
由于3×0.6n-5随着n的增大而减小,
又当n=11时,11+3×0.611-5<11.4,
故不成立,
当n=12时,12+3×0.612-5>11.4,故成立,
故从第12年起,累计新增盈利总额超过累计设备升级资金总额.
21.解 (1)由an+1=2an+1,
可得an+1+1=2(an+1).
∵a1+1=2≠0,
∴{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列.
∴an+1=2×2n-1=2n,
∴an=2n-1.
(2)由(1)知bn=3n·2n,
∴Tn=3×21+6×22+9×23+…+3(n-1)·2n-1+3n·2n,
∴2Tn=3×22+6×23+9×24+…+3(n-1)·2n+3n·2n+1,
∴-Tn=3×(21+22+23+…+2n)-3n·2n+1
=3×-3n·2n+1
=(3-3n)2n+1-6.
∴Tn=(3n-3)·2n+1+6.
22.(1)解 f′(x)=ex+xex-2x-2=(x+1)(ex-2),
当x∈(-1,ln 2)时,f′(x)<0;
当x∈(ln 2,1)时,f′(x)>0,
∴f(x)在[-1,ln 2)上单调递减,在(ln 2,1]上单调递增,
∴f(x)max=max,
又f(-1)=--1+2-1=-,
f(1)=e-1-2-1=e-4,
∴f(x)max=f(-1)=-.
(2)证明 要证f(x)>-x-1,
只需证f(x)+x+1=xex-x2-x>0,
∵x>0,∴只需证ex-x-1>0.
令g(x)=ex-x-1,
则g′(x)=ex-1,
当x>0时,ex>1,
∴g′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,
∴g(x)在(0,+∞)上单调递增,
∴g(x)>e0-0-1=0,即当x>0时,ex-x-1>0恒成立,则原命题得证,
∴当x>0时,f(x)>-x-1.