17.2.1 勾股定理的逆定理 同步训练（原卷 +答案）人教版数学八年级下册
文档属性
| 名称 | 17.2.1 勾股定理的逆定理 同步训练（原卷 +答案）人教版数学八年级下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 129.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-10 16:29:10 | ||
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文档简介
第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理
第1课时 勾股定理的逆定理
一、选择题
1.下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是（ ）
A.3，4，5 B.4，5，6
C.6，8，10 D.5，12，13
2.如果三角形的三边长分别为，，2，那么这个三角形的最大内角的度数为（ ）
A.30° B.45° C.60° D.90°
3.下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A.，， B.，，
C.0.3，0.4，0.5 D.25，60，65
4.已知下列命题：①若a＞b，则a2＞b2；②若a＞1，则（a－1）0＝1；③两个全等三角形的面积相等.其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ）
A.0 B.3 C.2 D.1
5.△ABC的三边长分别为a，b，c.下列条件：①∠A＝∠B－∠C；②a∶b∶c＝5∶12∶13；③∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5；④a＝32，b＝42，c＝52.其中能判断△ABC是直角三角形的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题
6.在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边.若（a－1）2＋｜b－｜＋＝0，则这个三角形一定是 .
7.如图，分别以△ABC的三边为直径向外作3个半圆，它们的面积分别为4π，5π，9π，则△ABC 直角三角形（填“是”或“不是”）.
8.观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数： .
9.命题“如果a＋b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为 .
10.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝60°，BC＝4，CD＝8，则∠ADC＝ °.
11.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，A，B，C三点是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为 .
12.如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB＋∠PBA＝ °（点A，B，P是网格线交点）.
三、解答题
13.在△ABC中，已知a＝2n，b＝n2－1，c＝n2＋1（n＞1），试判断△ABC的形状，并说明理由.
14.写出下列各命题的逆命题，
并判断逆命题的真假性.
（1）两直线平行，同位角相等；
（2）全等三角形的对应角相等；
（3）线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距
离相等；
（4）如果a是偶数，那么2a是偶数.
15.如图，已知AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，CE＝1，DE＝2，AE＝4.
（1）求AD的长；
（2）求证：AD垂直平分线段BC.
16.如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，以AB为边向外作△ABE，DE为AB边上的高，DE＝12，S△ABE＝60，求∠C的度数.
17.阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c称为勾股数.世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数.
应用：当n＝1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长.
7
参考答案
一、选择题
1.下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是（ B ）
A.3，4，5 B.4，5，6
C.6，8，10 D.5，12，13
2.如果三角形的三边长分别为，，2，那么这个三角形的最大内角的度数为（ D ）
A.30° B.45° C.60° D.90°
3.下列各组数中，是勾股数的是（ D ）
A.，， B.，，
C.0.3，0.4，0.5 D.25，60，65
4.已知下列命题：①若a＞b，则a2＞b2；②若a＞1，则（a－1）0＝1；③两个全等三角形的面积相等.其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ A ）
A.0 B.3 C.2 D.1
5.△ABC的三边长分别为a，b，c.下列条件：①∠A＝∠B－∠C；②a∶b∶c＝5∶12∶13；③∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5；④a＝32，b＝42，c＝52.其中能判断△ABC是直角三角形的有（ B ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题
6.在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边.若（a－1）2＋｜b－｜＋＝0，则这个三角形一定是 .
【答案】直角三角形
7.如图，分别以△ABC的三边为直径向外作3个半圆，它们的面积分别为4π，5π，9π，则△ABC 直角三角形（填“是”或“不是”）.
【答案】是
8.观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数： .
【答案】13，84，85
9.命题“如果a＋b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为 .
【答案】如果a，b互为相反数，那么a＋b＝0
10.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝60°，BC＝4，CD＝8，则∠ADC＝ °.
【答案】150
11.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，A，B，C三点是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为 .
【答案】45°
12.如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB＋∠PBA＝ °（点A，B，P是网格线交点）.
【解析】如图，延长AP交格点于D，连接BD，则PD2＝BD2＝12＋22＝5，PB2＝12＋32＝10，
∴PD2＋DB2＝PB2.
∴∠PDB＝90°.
∴∠DPB＝∠PAB＋∠PBA＝45°.故答案为45.
三、解答题
13.在△ABC中，已知a＝2n，b＝n2－1，c＝n2＋1（n＞1），试判断△ABC的形状，并说明理由.
解：△ABC是直角三角形.理由如下：
∵a＝2n，b＝n2－1，c＝n2＋1（n＞1），
∴a2＋b2＝（2n）2＋（n2－1）2＝n4＋2n2＋1，c2＝（n2＋1）2＝n4＋2n2＋1.
∴a2＋b2＝c2.
∴△ABC是直角三角形.
14.写出下列各命题的逆命题，
并判断逆命题的真假性.
（1）两直线平行，同位角相等；
（2）全等三角形的对应角相等；
（3）线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距
离相等；
（4）如果a是偶数，那么2a是偶数.
解：（1）同位角相等，两直线平行.真命题.
（2）对应角相等的三角形全等.假命题.
（3）到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上.真命题.
（4）如果2a是偶数，那么a是偶数.假命题.
15.如图，已知AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，CE＝1，DE＝2，AE＝4.
（1）求AD的长；
（1）解：∵DE⊥AC于点E，
∴∠AED＝90°.
在Rt△ADE中，AD2＝AE2＋DE2＝42＋22＝20，
∴AD＝2.
（2）求证：AD垂直平分线段BC.
（2）证明：在Rt△ADE中，∠AED＝90°，
∴AD2＝AE2＋DE2＝42＋22＝20.
同理CD2＝5，∴AD2＋CD2＝25.
∵AC＝AE＋CE＝4＋1＝5，∴AC2＝25.
∴AD2＋CD2＝AC2.∴△ADC是直角三角形.
∴∠ADC＝90°.
∵AD是△ABC的中线，∴AD垂直平分线段BC.
16.如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，以AB为边向外作△ABE，DE为AB边上的高，DE＝12，S△ABE＝60，求∠C的度数.
解：∵DE＝12，S△ABE＝DE·AB＝60，∴AB＝10.
∵AC＝8，BC＝6，82＋62＝102，
∴AC2＋BC2＝AB2.
由勾股定理的逆定理得∠C＝90°.
17.阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c称为勾股数.世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数.
应用：当n＝1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长.
解：当n＝1时，a＝（m2－1）①，b＝m②，c＝（m2＋1）③.
∵直角三角形有一边长为5，
当a＝5时，（m2－1）＝5，
解得m＝±（舍去）；
当b＝5时，即m＝5，代入①③得a＝12，c＝13；
当c＝5时，（m2＋1）＝5，解得m＝±3.
∵m＞0，∴m＝3.
代入①②得a＝4，b＝3.
综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，4.
17.2 勾股定理的逆定理
第1课时 勾股定理的逆定理
一、选择题
1.下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是（ ）
A.3，4，5 B.4，5，6
C.6，8，10 D.5，12，13
2.如果三角形的三边长分别为，，2，那么这个三角形的最大内角的度数为（ ）
A.30° B.45° C.60° D.90°
3.下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A.，， B.，，
C.0.3，0.4，0.5 D.25，60，65
4.已知下列命题：①若a＞b，则a2＞b2；②若a＞1，则（a－1）0＝1；③两个全等三角形的面积相等.其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ）
A.0 B.3 C.2 D.1
5.△ABC的三边长分别为a，b，c.下列条件：①∠A＝∠B－∠C；②a∶b∶c＝5∶12∶13；③∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5；④a＝32，b＝42，c＝52.其中能判断△ABC是直角三角形的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题
6.在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边.若（a－1）2＋｜b－｜＋＝0，则这个三角形一定是 .
7.如图，分别以△ABC的三边为直径向外作3个半圆，它们的面积分别为4π，5π，9π，则△ABC 直角三角形（填“是”或“不是”）.
8.观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数： .
9.命题“如果a＋b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为 .
10.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝60°，BC＝4，CD＝8，则∠ADC＝ °.
11.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，A，B，C三点是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为 .
12.如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB＋∠PBA＝ °（点A，B，P是网格线交点）.
三、解答题
13.在△ABC中，已知a＝2n，b＝n2－1，c＝n2＋1（n＞1），试判断△ABC的形状，并说明理由.
14.写出下列各命题的逆命题，
并判断逆命题的真假性.
（1）两直线平行，同位角相等；
（2）全等三角形的对应角相等；
（3）线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距
离相等；
（4）如果a是偶数，那么2a是偶数.
15.如图，已知AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，CE＝1，DE＝2，AE＝4.
（1）求AD的长；
（2）求证：AD垂直平分线段BC.
16.如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，以AB为边向外作△ABE，DE为AB边上的高，DE＝12，S△ABE＝60，求∠C的度数.
17.阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c称为勾股数.世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数.
应用：当n＝1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长.
7
参考答案
一、选择题
1.下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是（ B ）
A.3，4，5 B.4，5，6
C.6，8，10 D.5，12，13
2.如果三角形的三边长分别为，，2，那么这个三角形的最大内角的度数为（ D ）
A.30° B.45° C.60° D.90°
3.下列各组数中，是勾股数的是（ D ）
A.，， B.，，
C.0.3，0.4，0.5 D.25，60，65
4.已知下列命题：①若a＞b，则a2＞b2；②若a＞1，则（a－1）0＝1；③两个全等三角形的面积相等.其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ A ）
A.0 B.3 C.2 D.1
5.△ABC的三边长分别为a，b，c.下列条件：①∠A＝∠B－∠C；②a∶b∶c＝5∶12∶13；③∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5；④a＝32，b＝42，c＝52.其中能判断△ABC是直角三角形的有（ B ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题
6.在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边.若（a－1）2＋｜b－｜＋＝0，则这个三角形一定是 .
【答案】直角三角形
7.如图，分别以△ABC的三边为直径向外作3个半圆，它们的面积分别为4π，5π，9π，则△ABC 直角三角形（填“是”或“不是”）.
【答案】是
8.观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数： .
【答案】13，84，85
9.命题“如果a＋b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为 .
【答案】如果a，b互为相反数，那么a＋b＝0
10.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝60°，BC＝4，CD＝8，则∠ADC＝ °.
【答案】150
11.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，A，B，C三点是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为 .
【答案】45°
12.如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB＋∠PBA＝ °（点A，B，P是网格线交点）.
【解析】如图，延长AP交格点于D，连接BD，则PD2＝BD2＝12＋22＝5，PB2＝12＋32＝10，
∴PD2＋DB2＝PB2.
∴∠PDB＝90°.
∴∠DPB＝∠PAB＋∠PBA＝45°.故答案为45.
三、解答题
13.在△ABC中，已知a＝2n，b＝n2－1，c＝n2＋1（n＞1），试判断△ABC的形状，并说明理由.
解：△ABC是直角三角形.理由如下：
∵a＝2n，b＝n2－1，c＝n2＋1（n＞1），
∴a2＋b2＝（2n）2＋（n2－1）2＝n4＋2n2＋1，c2＝（n2＋1）2＝n4＋2n2＋1.
∴a2＋b2＝c2.
∴△ABC是直角三角形.
14.写出下列各命题的逆命题，
并判断逆命题的真假性.
（1）两直线平行，同位角相等；
（2）全等三角形的对应角相等；
（3）线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距
离相等；
（4）如果a是偶数，那么2a是偶数.
解：（1）同位角相等，两直线平行.真命题.
（2）对应角相等的三角形全等.假命题.
（3）到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上.真命题.
（4）如果2a是偶数，那么a是偶数.假命题.
15.如图，已知AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，CE＝1，DE＝2，AE＝4.
（1）求AD的长；
（1）解：∵DE⊥AC于点E，
∴∠AED＝90°.
在Rt△ADE中，AD2＝AE2＋DE2＝42＋22＝20，
∴AD＝2.
（2）求证：AD垂直平分线段BC.
（2）证明：在Rt△ADE中，∠AED＝90°，
∴AD2＝AE2＋DE2＝42＋22＝20.
同理CD2＝5，∴AD2＋CD2＝25.
∵AC＝AE＋CE＝4＋1＝5，∴AC2＝25.
∴AD2＋CD2＝AC2.∴△ADC是直角三角形.
∴∠ADC＝90°.
∵AD是△ABC的中线，∴AD垂直平分线段BC.
16.如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，以AB为边向外作△ABE，DE为AB边上的高，DE＝12，S△ABE＝60，求∠C的度数.
解：∵DE＝12，S△ABE＝DE·AB＝60，∴AB＝10.
∵AC＝8，BC＝6，82＋62＝102，
∴AC2＋BC2＝AB2.
由勾股定理的逆定理得∠C＝90°.
17.阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c称为勾股数.世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数.
应用：当n＝1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长.
解：当n＝1时，a＝（m2－1）①，b＝m②，c＝（m2＋1）③.
∵直角三角形有一边长为5，
当a＝5时，（m2－1）＝5，
解得m＝±（舍去）；
当b＝5时，即m＝5，代入①③得a＝12，c＝13；
当c＝5时，（m2＋1）＝5，解得m＝±3.
∵m＞0，∴m＝3.
代入①②得a＝4，b＝3.
综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，4.