17.2.2 勾股定理的逆定理的应用 同步训练（原卷+答案）人教版数学八年级下册
文档属性
| 名称 | 17.2.2 勾股定理的逆定理的应用 同步训练（原卷+答案）人教版数学八年级下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 397.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-10 16:01:21 | ||
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文档简介
第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理
第2课时 勾股定理的逆定理的应用
一、选择题
1.已知△ABC的三边长分别是5，12，13，则△ABC的面积是（ ）
A.30 B. C.65 D.60
2.如图,若每个小正方形的边长都为1,A,B,C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为( )
A.90° B.60° C.45° D.30°
3.甲、乙两艘轮船同时离开港口O，航行速度都是每分40 m，甲轮船15分到达A地，乙轮船20分到达B地，若A，B两地的直线距离为1 km，则∠AOB的度数是（ ）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
4.如图，在△ABC中，BC＝3，AC＝4，AB＝5，点D是AC的中点，连接BD，则BD的长为（ ）
A. B.2
C.3 D.4
5.如图，在正方形网格内，A，B，C，D四点都在小方格的格点上，则∠BAC＋∠DAC＝（ ）
A.30° B.45°
C.60° D.75°
6．如图，在6×4的小正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，E均在格点上．则∠ABC－∠DCE＝(提示：连接AC，AD)( )
A．30° B．42° C．45° D．50°
二、填空题
7.如图，学校B前面有一条笔直的公路，学生放学后走BA，BC两条路可到达公路，经测量BC＝60m，BA＝80m，AC＝100m.现需修建一条公路从学校B到公路，则学校B到公路的最短距离为 .
8.如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12nmile和16nmile，1h后两船分别位于点A，B处，且相距20nmile，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，那么乙沿 方向航行.
9.如图，正方形网格中每个小方格边长为1，则△ABC的形状为 .
10.如图，在△ABC中，D为BC上一点，且BD＝3，DC＝AB＝5，AD＝4，则AC＝ .
11.如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝AB＝2，BC＝，CD＝，则四边形ABCD的面积为 .
12.如图，在△ABC中，AB∶BC∶CA＝3∶4∶5，且其周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动；点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动.若同时出发，则3s后，△BPQ的面积为 cm2.
三、解答题
13.如图，在△ABC中，D是BC边上的点，AB＝13，AD＝12，BD＝5，AC＝15.
（1）求证：△ABD是直角三角形；
（2）求DC的长.
14.图①是某品牌婴儿车，图②为其简化结构示意图.根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得AB＝CD＝6 dm，BC＝3 dm，AD＝9 dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°），通过计算说明该车是否符合安全标准.
15.如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝，D是BC上一点，AD＝，CD＝2，求∠B的度数.
16.如图，在四边形ABCD中，AD＝2，CD＝2，∠B＝30°，过点A作AE⊥BC，垂足为E，AE＝1，且E是BC的中点.求∠BCD的度数.
17.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA＝5.
（1）求△BCD的面积；
（2）求BD的长.
1
参考答案
一、选择题
1.已知△ABC的三边长分别是5，12，13，则△ABC的面积是（ A ）
A.30 B. C.65 D.60
2.如图,若每个小正方形的边长都为1,A,B,C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为( C )
A.90° B.60° C.45° D.30°
【解析】连接AC(图略).因为每个小正方形的边长都为1,所以AB2=12+32=10,BC2=12+22=5,AC2=12+22=5,所以AB2=BC2+AC2,且BC=AC,所以△ABC是等腰直角三角形,所以∠ABC=45°.
3.甲、乙两艘轮船同时离开港口O，航行速度都是每分40 m，甲轮船15分到达A地，乙轮船20分到达B地，若A，B两地的直线距离为1 km，则∠AOB的度数是（ D ）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
4.如图，在△ABC中，BC＝3，AC＝4，AB＝5，点D是AC的中点，连接BD，则BD的长为（ A ）
A. B.2
C.3 D.4
5.如图，在正方形网格内，A，B，C，D四点都在小方格的格点上，则∠BAC＋∠DAC＝（ B ）
A.30° B.45°
C.60° D.75°
6．如图，在6×4的小正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，E均在格点上．则∠ABC－∠DCE＝(提示：连接AC，AD)( C )
A．30° B．42° C．45° D．50°
【解析】连接AC，AD，如图，根据勾股定理可得AD＝AC＝BC＝，CD＝，∴∠ABC＝∠BAC，在△ACD中，AD2＋AC2＝()2＋()2＝10，CD2＝()2＝10，∴AD2＋AC2＝CD2，∴△ACD是直角三角形，∠DAC＝90°，∵AD＝CD，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠ACD＝45°，∵AB∥EC，∴∠BAC＝∠ACE，∴∠ABC－∠DCE＝∠BAC－∠DCE＝∠ACE－∠DCE＝∠ACD＝45°.
二、填空题
7.如图，学校B前面有一条笔直的公路，学生放学后走BA，BC两条路可到达公路，经测量BC＝60m，BA＝80m，AC＝100m.现需修建一条公路从学校B到公路，则学校B到公路的最短距离为 .
【答案】48m
8.如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12nmile和16nmile，1h后两船分别位于点A，B处，且相距20nmile，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，那么乙沿 方向航行.
【答案】北偏东50°
9.如图，正方形网格中每个小方格边长为1，则△ABC的形状为 .
【答案】直角三角形
10.如图，在△ABC中，D为BC上一点，且BD＝3，DC＝AB＝5，AD＝4，则AC＝ .
【答案】
11.如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝AB＝2，BC＝，CD＝，则四边形ABCD的面积为 .
【答案】4
12.如图，在△ABC中，AB∶BC∶CA＝3∶4∶5，且其周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动；点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动.若同时出发，则3s后，△BPQ的面积为 cm2.
【答案】18
三、解答题
13.如图，在△ABC中，D是BC边上的点，AB＝13，AD＝12，BD＝5，AC＝15.
（1）求证：△ABD是直角三角形；
（2）求DC的长.
解：（1）证明：∵AB＝13，
AD＝12，BD＝5，
∴AB2＝AD2＋BD2.
∴△ABD是直角三角形.
解：（2）由（1）知，
∠ADB＝90°，
∴△ADC是直角三角形.
在Rt△ADC中，DC＝＝9.
14.图①是某品牌婴儿车，图②为其简化结构示意图.根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得AB＝CD＝6 dm，BC＝3 dm，AD＝9 dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°），通过计算说明该车是否符合安全标准.
解：在Rt△ABD中，
BD2＝AD2－AB2＝92－62＝45，
在△BCD中，
BC2＋CD2＝32＋62＝45，
∴BC2＋CD2＝BD2.
∴∠BCD＝90°.∴BC⊥CD.
故该车符合安全标准.
15.如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝，D是BC上一点，AD＝，CD＝2，求∠B的度数.
解：在△ACD中，
AC2＋CD2＝6＋4＝10，AD2＝10，
∴AC2＋CD2＝AD2.
∴∠C＝90°.
∴BC＝＝＝.
∴AC＝BC.∴∠B＝∠BAC＝45°.
16.如图，在四边形ABCD中，AD＝2，CD＝2，∠B＝30°，过点A作AE⊥BC，垂足为E，AE＝1，且E是BC的中点.求∠BCD的度数.
解：连接AC，
∵AE⊥BC，E是BC的中点，
∴AB＝AC.
∴∠ACB＝∠B＝30°.
∴AC＝2AE＝2.
在△ACD中，
∵AD2＝8，AC2＋CD2＝4＋4＝8，
∴AD2＝AC2＋CD2.∴∠ACD＝90°.
∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝120°.
17.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA＝5.
（1）求△BCD的面积；
（2）求BD的长.
解：（1）作DM⊥BC，交BC延
长线于点M，如图所示.
则∠M＝90°，
∴∠DCM＋∠CDM＝90°.
∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC2＝AB2＋BC2＝25.∴AC＝5.
∵AD＝5，CD＝5，∴AC2＋CD2＝AD2.
∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°.
∴∠ACB＋∠DCM＝90°.∴∠ACB＝∠CDM.
在△ABC和△CMD中，
∴△ABC≌△CMD（AAS）.
∴CM＝AB＝3，DM＝BC＝4.
∴△BCD的面积为BC·DM＝×4×4＝8.
解：（2）∵CM＝3，BC＝4，∴BM＝BC＋CM＝7.
∴BD＝＝＝.
17.2 勾股定理的逆定理
第2课时 勾股定理的逆定理的应用
一、选择题
1.已知△ABC的三边长分别是5，12，13，则△ABC的面积是（ ）
A.30 B. C.65 D.60
2.如图,若每个小正方形的边长都为1,A,B,C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为( )
A.90° B.60° C.45° D.30°
3.甲、乙两艘轮船同时离开港口O，航行速度都是每分40 m，甲轮船15分到达A地，乙轮船20分到达B地，若A，B两地的直线距离为1 km，则∠AOB的度数是（ ）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
4.如图，在△ABC中，BC＝3，AC＝4，AB＝5，点D是AC的中点，连接BD，则BD的长为（ ）
A. B.2
C.3 D.4
5.如图，在正方形网格内，A，B，C，D四点都在小方格的格点上，则∠BAC＋∠DAC＝（ ）
A.30° B.45°
C.60° D.75°
6．如图，在6×4的小正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，E均在格点上．则∠ABC－∠DCE＝(提示：连接AC，AD)( )
A．30° B．42° C．45° D．50°
二、填空题
7.如图，学校B前面有一条笔直的公路，学生放学后走BA，BC两条路可到达公路，经测量BC＝60m，BA＝80m，AC＝100m.现需修建一条公路从学校B到公路，则学校B到公路的最短距离为 .
8.如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12nmile和16nmile，1h后两船分别位于点A，B处，且相距20nmile，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，那么乙沿 方向航行.
9.如图，正方形网格中每个小方格边长为1，则△ABC的形状为 .
10.如图，在△ABC中，D为BC上一点，且BD＝3，DC＝AB＝5，AD＝4，则AC＝ .
11.如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝AB＝2，BC＝，CD＝，则四边形ABCD的面积为 .
12.如图，在△ABC中，AB∶BC∶CA＝3∶4∶5，且其周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动；点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动.若同时出发，则3s后，△BPQ的面积为 cm2.
三、解答题
13.如图，在△ABC中，D是BC边上的点，AB＝13，AD＝12，BD＝5，AC＝15.
（1）求证：△ABD是直角三角形；
（2）求DC的长.
14.图①是某品牌婴儿车，图②为其简化结构示意图.根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得AB＝CD＝6 dm，BC＝3 dm，AD＝9 dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°），通过计算说明该车是否符合安全标准.
15.如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝，D是BC上一点，AD＝，CD＝2，求∠B的度数.
16.如图，在四边形ABCD中，AD＝2，CD＝2，∠B＝30°，过点A作AE⊥BC，垂足为E，AE＝1，且E是BC的中点.求∠BCD的度数.
17.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA＝5.
（1）求△BCD的面积；
（2）求BD的长.
1
参考答案
一、选择题
1.已知△ABC的三边长分别是5，12，13，则△ABC的面积是（ A ）
A.30 B. C.65 D.60
2.如图,若每个小正方形的边长都为1,A,B,C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为( C )
A.90° B.60° C.45° D.30°
【解析】连接AC(图略).因为每个小正方形的边长都为1,所以AB2=12+32=10,BC2=12+22=5,AC2=12+22=5,所以AB2=BC2+AC2,且BC=AC,所以△ABC是等腰直角三角形,所以∠ABC=45°.
3.甲、乙两艘轮船同时离开港口O，航行速度都是每分40 m，甲轮船15分到达A地，乙轮船20分到达B地，若A，B两地的直线距离为1 km，则∠AOB的度数是（ D ）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
4.如图，在△ABC中，BC＝3，AC＝4，AB＝5，点D是AC的中点，连接BD，则BD的长为（ A ）
A. B.2
C.3 D.4
5.如图，在正方形网格内，A，B，C，D四点都在小方格的格点上，则∠BAC＋∠DAC＝（ B ）
A.30° B.45°
C.60° D.75°
6．如图，在6×4的小正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，E均在格点上．则∠ABC－∠DCE＝(提示：连接AC，AD)( C )
A．30° B．42° C．45° D．50°
【解析】连接AC，AD，如图，根据勾股定理可得AD＝AC＝BC＝，CD＝，∴∠ABC＝∠BAC，在△ACD中，AD2＋AC2＝()2＋()2＝10，CD2＝()2＝10，∴AD2＋AC2＝CD2，∴△ACD是直角三角形，∠DAC＝90°，∵AD＝CD，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠ACD＝45°，∵AB∥EC，∴∠BAC＝∠ACE，∴∠ABC－∠DCE＝∠BAC－∠DCE＝∠ACE－∠DCE＝∠ACD＝45°.
二、填空题
7.如图，学校B前面有一条笔直的公路，学生放学后走BA，BC两条路可到达公路，经测量BC＝60m，BA＝80m，AC＝100m.现需修建一条公路从学校B到公路，则学校B到公路的最短距离为 .
【答案】48m
8.如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12nmile和16nmile，1h后两船分别位于点A，B处，且相距20nmile，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，那么乙沿 方向航行.
【答案】北偏东50°
9.如图，正方形网格中每个小方格边长为1，则△ABC的形状为 .
【答案】直角三角形
10.如图，在△ABC中，D为BC上一点，且BD＝3，DC＝AB＝5，AD＝4，则AC＝ .
【答案】
11.如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝AB＝2，BC＝，CD＝，则四边形ABCD的面积为 .
【答案】4
12.如图，在△ABC中，AB∶BC∶CA＝3∶4∶5，且其周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动；点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动.若同时出发，则3s后，△BPQ的面积为 cm2.
【答案】18
三、解答题
13.如图，在△ABC中，D是BC边上的点，AB＝13，AD＝12，BD＝5，AC＝15.
（1）求证：△ABD是直角三角形；
（2）求DC的长.
解：（1）证明：∵AB＝13，
AD＝12，BD＝5，
∴AB2＝AD2＋BD2.
∴△ABD是直角三角形.
解：（2）由（1）知，
∠ADB＝90°，
∴△ADC是直角三角形.
在Rt△ADC中，DC＝＝9.
14.图①是某品牌婴儿车，图②为其简化结构示意图.根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得AB＝CD＝6 dm，BC＝3 dm，AD＝9 dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°），通过计算说明该车是否符合安全标准.
解：在Rt△ABD中，
BD2＝AD2－AB2＝92－62＝45，
在△BCD中，
BC2＋CD2＝32＋62＝45，
∴BC2＋CD2＝BD2.
∴∠BCD＝90°.∴BC⊥CD.
故该车符合安全标准.
15.如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝，D是BC上一点，AD＝，CD＝2，求∠B的度数.
解：在△ACD中，
AC2＋CD2＝6＋4＝10，AD2＝10，
∴AC2＋CD2＝AD2.
∴∠C＝90°.
∴BC＝＝＝.
∴AC＝BC.∴∠B＝∠BAC＝45°.
16.如图，在四边形ABCD中，AD＝2，CD＝2，∠B＝30°，过点A作AE⊥BC，垂足为E，AE＝1，且E是BC的中点.求∠BCD的度数.
解：连接AC，
∵AE⊥BC，E是BC的中点，
∴AB＝AC.
∴∠ACB＝∠B＝30°.
∴AC＝2AE＝2.
在△ACD中，
∵AD2＝8，AC2＋CD2＝4＋4＝8，
∴AD2＝AC2＋CD2.∴∠ACD＝90°.
∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝120°.
17.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA＝5.
（1）求△BCD的面积；
（2）求BD的长.
解：（1）作DM⊥BC，交BC延
长线于点M，如图所示.
则∠M＝90°，
∴∠DCM＋∠CDM＝90°.
∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC2＝AB2＋BC2＝25.∴AC＝5.
∵AD＝5，CD＝5，∴AC2＋CD2＝AD2.
∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°.
∴∠ACB＋∠DCM＝90°.∴∠ACB＝∠CDM.
在△ABC和△CMD中，
∴△ABC≌△CMD（AAS）.
∴CM＝AB＝3，DM＝BC＝4.
∴△BCD的面积为BC·DM＝×4×4＝8.
解：（2）∵CM＝3，BC＝4，∴BM＝BC＋CM＝7.
∴BD＝＝＝.