5.1.2 导数的概念及其几何意义
第1课时 导数的概念
[学习目标]
1.了解导数概念的实际背景.
2.知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想．
一、导数的概念
问题 瞬时变化率的几何意义是什么？它的数学意义又是什么？
知识梳理
1．平均变化率
对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我们把比值，即＝____________叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．
2．导数
如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处______，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在__________处的__________(也称为瞬时变化率)，记作____________或____________________，即f′(x0)＝ ＝__________________.
例1 已知函数y＝f(x)＝2x2＋1.
(1)求函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率；
(2)求函数f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率；
(3)求函数f(x)在x＝2处的瞬时变化率．
反思感悟 求瞬时变化率的主要步骤
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)．
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.
(3)得平均变化率＝.
(4)得瞬时变化率 .
跟踪训练1 已知函数f(x)＝－.
(1)函数f(x)在区间[1,1.5]，[1,1.1]上的平均变化率各是多少？
(2)函数f(x)在x＝1处的瞬时变化率是多少？
二、导数定义的应用
例2 求函数y＝x－在x＝1处的导数．
跟踪训练2 (1)f(x)＝x2在x＝1处的导数为( )
A．2x B．2
C．2＋Δx D．1
(2)已知f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值等于( )
A．－4 B．2
C．－2 D．±2
三、导数在实际问题中的意义
例3 某机械厂生产一种木材旋切机，已知总利润c(单位：万元)与产量x(单位：千台)之间的关系式为c(x)＝－2x2＋7x＋6.求c′(1)与c′(2)，并说明它们的实际意义．
反思感悟 导数的物理意义是：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数即为它的瞬时变化率．
跟踪训练3 一只昆虫的爬行路程s(单位：米)是关于时间t(单位：分)的函数：s＝求s′(1)与s′(4)，并解释它们的实际意义．
1．知识清单：
(1)导数的概念．
(2)导数定义的应用．
(3)导数在实际问题中的意义．
2．方法归纳：定义法．
3．常见误区：对函数的平均变化率、瞬时变化率及导数概念理解不到位．
1．已知物体做直线运动的方程为s＝s(t)(位移单位：m，时间单位：s)，则s′(4)＝10 m/s表示的意义是( )
A．经过4 s后物体向前走了10 m
B．物体在前4 s内的平均速度为10 m/s
C．物体在第4 s内向前走了10 m
D．物体在第4 s末的瞬时速度为10 m/s
2．若函数f(x)可导，则 等于( )
A．－2f′(1) B.f′(1)
C．－f′(1) D．f′
3．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则等于( )
A．4 B．4x
C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2
4．已知函数f(x)＝，则f′(1)＝________.
5.1.2 导数的概念及其几何意义
第1课时 导数的概念
问题 瞬时变化率的几何意义是曲线的切线斜率．实际上，上节课我们通过研究抛物线的切线斜率就大致了解了瞬时变化率在数学中的意义．
知识梳理
1.
2．可导 x＝x0 导数 f′(x0)
例1 解 (1)∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1
＝2Δx(2x0＋Δx)，
∴函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝＝4x0＋2Δx.
(2)由(1)可知＝4x0＋2Δx，
当x0＝2，Δx＝0.01时，
＝4×2＋2×0.01＝8.02，
即函数f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率为8.02.
(3)Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)2＋1－(2×22＋1)＝2(Δx)2＋8Δx.
∴＝2Δx＋8.
故函数f(x)在x＝2处的瞬时变化率为 ＝ (2Δx＋8)＝8.
跟踪训练1 解 (1)∵f(x)＝－，
∴f(1)＝－6，f(1.5)＝－4，
f(1.1)＝－，
∴该函数在区间[1,1.5]上的平均变化率为＝＝4，
在区间[1,1.1]上的平均变化率为＝＝.
(2)函数f(x)在x＝1处的瞬时变化率为
＝
＝ ＝ ＝6.
例2 解 ∵Δy＝(1＋Δx)－－
＝Δx＋，
∴＝＝1＋，
∴ ＝ ＝2.
从而y′|x＝1＝2.
跟踪训练2 (1)B [ ＝
＝
＝ (2＋Δx)＝2.]
(2)D [因为＝
＝＝，
所以f′(m)＝ ＝－，
所以－＝－，m2＝4，
解得m＝±2.]
例3 解 设x＝1时产量的改变量为Δx，
则＝
＝
＝－2Δx＋3，
c′(1)＝ ＝ (－2Δx＋3)＝3，
设x＝2时产量的改变量为Δx，
则＝
＝＝－2Δx－1，
c′(2)＝ ＝ (－2Δx－1)
＝－1.
c′(1)的实际意义：当产量为1 000台时，多生产1台旋切机可多获利3万元；
c′(2)的实际意义：当产量为2 000台时，多生产1台旋切机少获利1万元．
跟踪训练3 解 当0≤t<3时，
s(t)＝3t2，
＝
＝＝6＋3Δt，
∴s′(1)＝ ＝ (6＋3Δt)＝6.
当t≥3时，s(t)＝15＋3(t－1)2，
＝＝
＝18＋3Δt，
∴s′(4)＝ ＝ (18＋3Δt)＝18.
s′(1)＝6说明在第1分钟时，该昆虫的爬行速度为6米/分，s′(4)＝18说明在第4分钟时，该昆虫的爬行速度为18米/分．
随堂演练
1．D 2.C 3.C 4.第2课时 导数的几何意义
[学习目标]
1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.
2.会求简单函数的导函数.
3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．
一、导数的几何意义
问题1 导数f′(x0)的几何意义是什么？
知识梳理
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的_____________．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是____________．相应地，切线方程为________________________．
例1 已知曲线y＝x3＋.
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程．
反思感悟 求曲线过某点的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．
跟踪训练1 求曲线y＝在点处的切线方程．
二、利用导数的几何意义判断函数的变化
问题2 函数的单调性和导数有什么关系？
导数值的大小与函数变化的快慢有什么关系？
知识梳理
若f′(x0)＝0，则函数在x＝x0处切线斜率k＝______；
若f′(x0)>0，则函数在x＝x0处切线斜率k______0，且函数在x＝x0附近__________________，且f′(x0)越大，说明函数图象变化得越快；
若f′(x0)<0，则函数在x＝x0处切线斜率k______0，且函数在x＝x0附近__________________，且越大，说明函数图象变化得越快．
例2 已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A．f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)
C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
反思感悟 导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决．
(1)曲线f(x)在x0附近的变化情况可通过x0处的切线刻画．f′(x0)>0说明曲线在x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x0附近曲线是上升的；f′(x0)<0说明在x0附近曲线是下降的．
(2)曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢．
跟踪训练2 已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是( )
A．f′(1)C．f′(2)三、导函数(导数)
问题3 如何利用f′(x0)的定义以及函数的概念给出导函数的概念？
知识梳理
导函数的定义
从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的__________(简称导数)．y＝f(x)的导函数记作____________或______，即f′(x)＝y′＝________________________.
例3 已知函数f(x)＝x2－x.求：
(1)f′(x)；
(2)f(x)在x＝1处的导数．
跟踪训练3 已知函数y＝ax2＋bx＋c，其中a，b，c为常数，求该函数在x＝1和x＝2处的导数．
1．知识清单：
(1)导数的几何意义．
(2)函数的单调性与导数的关系．
(3)导函数的概念．
2．方法归纳：方程思想、数形结合．
3．常见误区：切线过某点，这点不一定是切点．
1．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)等于( )
A．4 B．－4 C．－2 D．2
2．已知曲线f(x)＝x2＋x的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
3．曲线f(x)＝在点(3,3)处的切线的倾斜角α等于( )
A．45° B．60° C．135° D．120°
4．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为________．
第2课时 导数的几何意义
问题1 我们知道导数f′(x0)表示函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，反映了函数y＝f(x)在x＝x0附近的变化情况，如下图．
容易发现，平均变化率＝表示的是割线P0P的斜率，当P点沿着曲线无限趋近于P0点时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线P0T称为曲线y＝f(x)在点P0处的切线，因此函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝ ＝f′(x0)，这就是导数的几何意义．
知识梳理
切线的斜率 f′(x0) y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
例1 解 (1)∵P(2,4)在曲线y＝x3＋上，
∴曲线在点P(2,4)处切线的斜率为
k＝
＝
＝4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率为
k＝ ＝x，
∴切线方程为y－
＝x(x－x0)，
即y＝x·x－x＋.
∵点P(2,4)在切线上，
∴4＝2x－x＋，
即x－3x＋4＝0.
∴x＋x－4x＋4＝0，
∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，
∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，
解得x0＝－1或x0＝2.
故所求的切线方程为x－y＋2＝0，
或4x－y－4＝0.
跟踪训练1 解 曲线在点处的切线的斜率k＝ ＝ ＝
－，
由直线的点斜式方程可得切线方程为
y－＝－(x－2)，即x＋4y－4＝0.
问题2 如图，
当t＝t0时，函数的图象在t＝t0处的切线l0平行于t轴，即h′(t0)＝0，这时，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降．
当t＝t1时，函数的图象在t＝t1处的切线l1的斜率h′(t1)<0，这时，在t＝t1附近曲线下降，即函数在t＝t1附近单调递减．
当t＝t2时，函数的图象在t＝t2处的切线l2的斜率h′(t2)<0，这时，在t＝t2附近曲线下降，即函数在t＝t2附近单调递减．
通过研究在t＝t1和t＝t2处的切线l1和l2，发现切线l1的倾斜程度小于切线l2的倾斜程度，这说明函数在t＝t1附近比在t＝t2附近下降得缓慢．
知识梳理
0 > 单调递增 < 单调递减
例2 B [由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)跟踪训练2 B [由图象可知，函数在区间(0，＋∞)上的增长越来越快，
∴f′(1)∴通过作切线与割线可得f′(1)问题3 如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每点处都有导数，即任给x0∈(a，b)，总有 ＝f′(x0)，从而对开区间(a，b)内的每一个值x0，都有唯一确定的函数值f′(x0)与x0对应，所以在开区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数——导函数f′(x)．
知识梳理
导函数 f′(x) y′
例3 解 (1)∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)
＝(Δx)2＋2x·Δx－Δx，
∴＝2x＋Δx－.
∴f′(x)＝ ＝2x－.
(2)f′(1)＝2×1－＝.
跟踪训练3 解 ＝
＝2ax＋b＋aΔx，
(2ax＋b＋aΔx)＝2ax＋b，
当x＝1时，瞬时变化率为2a＋b，即函数的导数为2a＋b，
当x＝2时，瞬时变化率为4a＋b，即函数的导数为4a＋b，
所以y′|x＝1＝2a＋b，y′|x＝2＝4a＋b.
随堂演练
1．D 2.D 3.C 4.(3,30)