5.2.3 简单复合函数的导数 学案—2024春高中数学人教A版选择性必修2（含答案）

5.2.3　简单复合函数的导数
[学习目标]　
1.进一步运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.
2.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．
一、复合函数的概念
问题1　函数y＝ln(2x－1)是如何构成的？
知识梳理
复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝____________.
例1　(多选)下列哪些函数是复合函数(　　)
A．y＝xln x B．y＝(3x＋6)2
C．y＝esin x D．y＝sin
反思感悟　若f(x)与g(x)均为基本初等函数，则函数y＝f(g(x))或函数y＝g(f(x))均为复合函数．
跟踪训练1　(多选)下列哪些函数是复合函数(　　)
A．y＝log2(2x＋1) B．y＝2x2－
C．y＝2ln x D．y＝cos
二、复合函数的导数
问题2　如何求函数y＝sin 2x的导数？
知识梳理
复合函数的求导法则
一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝____________，即y对x的导数等于__________________．
例2　求下列函数的导数：
(1)y＝；
(2)y＝cos(x2)；
(3)y＝log2(2x＋1)；
(4)y＝e3x＋2.
反思感悟　(1)求复合函数的导数的步骤
(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁．
跟踪训练2　求下列函数的导数：
(1)y＝；
(2)y＝5log2(1－x)；
(3)y＝sin.
三、复合函数的导数的应用
例3　某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系式s(t)＝3sin(0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义．
反思感悟　将复合函数的求导与导数的实际意义结合，函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体在某时刻的变化状况．
跟踪训练3　我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f(x)＝ex2，则f′(x)＝______，其在点(0,1)处的切线方程为________．
1．知识清单：
(1)复合函数的概念．
(2)复合函数的求导法则．
(3)复合函数的导数的应用．
2.方法归纳：转化法．
3.常见误区：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化．
1．(多选)函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是(　　)
A．y＝un，u＝x2－1
B．y＝(u－1)n，u＝x2
C．y＝tn，t＝(x2－1)n
D. t＝x2－1, y＝tn
2．函数y＝(2 023－8x)3的导数y′等于(　　)
A．3(2 023－8x)2 B．－24x
C．－24(2 023－8x)2 D．24(2 023－8x)2
3．设f(x)＝ln(3x＋2)－3x2，则f′(0)等于(　　)
A．1 B. C．－1 D．－2
4．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.
5.2.3　简单复合函数的导数
问题1　y＝ln(2x－1)，其中的2x－1“占据”了对数函数y＝ln x中x的位置，f(x)＝ln x，而f(2x－1)＝ln(2x－1)，这里有代入、代换的思想，则函数y＝ln(2x－1)是由内层函数为幂函数的线性组合和外层函数为对数函数复合而成，是复合函数，而函数y＝(2x－1)ln x不是复合函数，它只是两个函数相乘的关系，没有代入、代换的意思．
知识梳理
f(g(x))
例1　BCD　[A不是复合函数；BCD都是复合函数．]
跟踪训练1　ACD
问题2　y＝sin 2x＝2sin xcos x，由两个函数相乘的求导法则可知：y′x＝2cos2x－2sin2x＝2cos 2x；从整体上来看，外层函数是基本初等函数y＝sin u，它的导数y′u＝cos u，内层函数是幂函数的线性组合u＝2x，它的导数是u′x＝2，发现y′x＝y′u·u′x.
知识梳理
y′u·u′x　y对u的导数与u对x的导数的乘积
例2　解　(1)令u＝1－3x，
则y＝＝u－4，
所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3.
所以y′x＝y′u·u′x
＝12u－5＝.
(2)令u＝x2，则y＝cos u，
所以y′x＝y′u·u′x＝－sin u·2x＝－2xsin(x2).
(3)设y＝log2u，u＝2x＋1，
则y′x＝y′u·u′x＝＝.
(4)设y＝eu，u＝3x＋2，
则y′x＝(eu)′·(3x＋2)′＝3eu＝3e3x＋2.
跟踪训练2　解　(1)y＝，
设y＝，u＝1－2x，
则y′x＝(1－2x)′
＝ ·(－2)
＝.
(2)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，
所以y′x＝y′u·u′x＝5(log2u)′·(1－x)′
＝＝.
(3) 设y＝sin u，u＝2x＋，
则y′x＝(sin u)′′
＝cos u·2＝2cos.
例3　解　设f(x)＝3sin x，
x＝φ(t)＝t＋，
所以s′(t)＝f′(x)φ′(t)＝3cos x·
＝cos，
将t＝18代入s′(t)，
得s′(18)＝cos ＝(m/h)．
s′(18)表示当t＝18 h时，潮水的高度上升的速度为 m/h.
跟踪训练3　　y＝1
解析　∵f(x)＝，故f′(x)＝(x2)′＝，则f′(0)＝0.故曲线y＝f(x)在点(0,1)处的切线方程为y＝1.
随堂演练
1．AD　2.C　3.B　4.2