第2课时 函数的最大(小)值
[学习目标]
1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.
2.会求某闭区间上函数的最值．
一、极值与最值的关系
问题1 如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象．显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值．你能找到函数的最大值和最小值吗？
问题2 开区间上的连续函数有最值吗？
知识梳理
函数最值的定义
(1)一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值．
例1 如图是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象，写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值．
反思感悟 最值与极值的区别与联系
(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言．
(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)．
(3)函数f(x)的极值点在定义域内，但不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点．
(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得．
跟踪训练1 设f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且在(a，b)内可导，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)的极值点一定是最值点
B．f(x)的最值点一定是极值点
C．f(x)在区间[a，b]上可能没有极值点
D．f(x)在区间[a，b]上可能没有最值点
二、求函数的最值
例2 求下列函数的最值：
(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]；
(2)f(x)＝x＋sin x，x∈[0,2π]．
反思感悟 求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最值的步骤
(1)求在(a，b)内方程f′(x)＝0的所有根；
(2)计算(1)中所有根对应的函数值；
(3)把(2)中计算的函数值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
跟踪训练2 求下列函数的最值：
(1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2,4]；
(2)f(x)＝.
三、利用最值证明不等式
例3 已知函数f(x)＝ex－e(ln x＋1)，求证：f(x)≥0恒成立．
反思感悟 证不等式恒成立，用导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式直接构成函数，利用导数的方法，通过分类讨论研究函数的最值，即可得到结果．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝x2＋ln x．求证：在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝x3的图象的下方．
1．知识清单：
(1)函数最值的定义．
(2)求函数的最值．
(3)函数最值的应用．
2．方法归纳：转化化归、分类讨论．
3．常见误区：忽视函数的最值与极值的区别与联系．
1．下列结论正确的是( )
A．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值
B．若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值
C．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是在x＝a和x＝b处取得
D．若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值
2．函数y＝x－sin x，x∈的最大值是( )
A．π－1 B.－1 C．π D．π＋1
3．函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1)( )
A．有最值，但无极值
B．有最值，也有极值
C．既无最值，也无极值
D．无最值，但有极值
4．函数f(x)＝(x＋1)ex的最小值是_______________________．
第2课时 函数的最大(小)值
问题1 最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得．显然函数的最值是函数的整体性质，且要求函数是连续不断的，而最值不同于极值，如果有最大(小)值，则唯一存在．
问题2 如图．
容易发现，开区间上的连续函数不一定有最大值和最小值，若有最值，则一定是在极值点处取到．
例1 解 由题图可知，y＝f(x)在x1，x3处取得极小值，在x2处取得极大值，所以极小值为f，f，极大值为f；比较极值和端点值可知函数的最小值是f，最大值在b处取得，最大值为f(b)．
跟踪训练1 C [根据函数的极值与最值的概念知，f(x)的极值点不一定是最值点，f(x)的最值点不一定是极值点．可能是区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A，B，D都不正确，若函数f(x)在区间[a，b]上单调，则函数f(x)在区间[a，b]上没有极值点，所以C正确．]
例2 解 (1)因为f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]，
所以f′(x)＝6x2－12
＝6(x＋)(x－)，
令f′(x)＝0，
解得x＝－ 或x＝.
因为f(－2)＝8，f(3)＝18，
f()＝－8，f(－)＝8，
所以当x＝时，
f(x)取得最小值－8；
当x＝3时，
f(x)取得最大值18.
(2)f′(x)＝＋cos x，令f′(x)＝0，
又x∈[0,2π]，
解得x＝或x＝.
因为f(0)＝0，f(2π)＝π，
f ＝＋，
f ＝－.
所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；
当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.
跟踪训练2 解 (1)f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
又f(0)＝3，f(2)＝－5，f(4)＝35，
f(－2)＝－37，
∴当x＝4时，f(x)取最大值35.
当x＝－2时，f(x)取最小值－37.
即f(x)的最大值为35，最小值为－37.
(2)函数f(x)＝的定义域为R.
f′(x)＝＝，
当f′(x)＝0时，x＝2，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示．
x (－∞，2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) 单调递增 单调递减
∴f(x)在(－∞，2)上单调递增，
在(2，＋∞)上单调递减，
∴f(x)无最小值，且当x＝2时，
f(x)max＝f(2)＝.
例3 证明 由题意知f′(x)＝ex－＝，
设F＝xex－e，
则F(x)在(0，＋∞)上单调递增，
且F＝0.
当x∈时，F<0，
∴f′＝<0，f单调递减，
当x∈时，F>0，
∴f′＝>0，
f单调递增．
f的最小值为fmin＝f＝0，
∴f≥0恒成立．
跟踪训练3 证明 设F(x)＝g(x)－f(x)，
即F(x)＝x3－x2－ln x，
则F′(x)＝2x2－x－
＝.
当x>1时，F′(x)＝>0，
从而F(x)在(1，＋∞)上单调递增，
∴F(x)>F(1)＝>0.
∴当x>1时，g(x)－f(x)>0，
即f(x)
随堂演练
1．D 2.C 3.C 4.－5.3.2 函数的极值与最大(小)值
第1课时 函数的极值
[学习目标]
1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.
2.掌握函数极值的判定及求法.
3.掌握函数在某一点取得极值的条件．
一、函数极值的概念
问题1 如图是某处群山的截面图，你能指出山峰、山谷吗？
问题2 你能描述一下在各个山峰、山谷附近的特点吗？
知识梳理
极值点与极值的概念
(1)极小值点与极小值
函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧______________，右侧__________________，则把a叫做函数y＝f(x)的__________________，f(a)叫做函数y＝f(x)的____________．
(2)极大值点与极大值
函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧______________，右侧____________，则把b叫做函数y＝f(x)的____________，f(b)叫做函数y＝f(x)的____________．
(3)极大值点、极小值点统称为__________，极大值和极小值统称为____________．
例1 函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y＝f(x)在区间(3,5)上单调递增；
②函数y＝f(x)在区间上单调递减；
③函数y＝f(x)在区间(－2,2)上单调递增；
④当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值；
⑤当x＝2时，函数y＝f(x)有极大值．
则上述判断中正确的序号是________．
反思感悟 解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数还是导函数的，对于导函数的图象，重点考查在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的，若是由正值变为负值，则在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则在该点处取得极小值．
跟踪训练1 已知函数y＝f的导函数y＝f′的图象如图所示，则函数y＝f在区间上的极小值点的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
二、求函数的极值
例2 求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；
(2)f(x)＝x－aln x(a∈R)．
反思感悟 函数极值和极值点的求解步骤
(1)确定函数的定义域．
(2)求方程f′(x)＝0的根．
(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．
(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．
跟踪训练2 求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x3－x；
(2)f(x)＝x2e－x.
三、由极值求参数的值或范围
例3 (1)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＝____________，b＝________.
(2)已知函数f(x)＝x3－(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)，在区间(1，＋∞)上有两个极值点，求实数m的取值范围．
反思感悟 已知函数的极值求参数的方法
(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号．
注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件．
(2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．
跟踪训练3 若函数f(x)＝x3－4x＋4的图象与直线y＝a恰有三个不同的交点，则实数a的取值范围是________．
1．知识清单：
(1)函数极值的概念．
(2)函数极值的判定及求法．
(3)函数极值的应用．
2．方法归纳：方程思想、分类讨论．
3．常见误区：导数值等于零不是此点为极值点的充要条件．
1．已知函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下列结论错误的是( )
A．函数f(x)在(1,2)上单调递增
B．函数f(x)在(3,4)上单调递减
C．函数f(x)在(1,3)上有极大值
D．x＝3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点
2．(多选)已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(3，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，3)
3．设函数f(x)＝xex，则( )
A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点
4．已知曲线f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1在点(1，f(1))处的切线斜率为3，且x＝是y＝f(x)的极值点，则a＝________， b＝____________.
5.3.2 函数的极值与最大(小)值
第1课时 函数的极值
问题1 在x1，x3，x5处是山峰，在x2，x4处是山谷．
问题2 以山峰x＝x1处为例来研究，在x＝x1处，它附近的函数值都比它小，且在x＝x1处的左侧函数是单调递增的，且有f′(x)>0，在x＝x1处的右侧函数是单调递减的，且有f′(x)<0，函数图象是连续不断的，f′(x)的变化也是连续不断的，并且有f′(x1)＝0.
知识梳理
(1)f′(x)＜0 f′(x)＞0 极小值点
极小值 (2)f′(x)＞0 f′(x)＜0 极大值点 极大值 (3)极值点 极值
例1 ③⑤
解析 对于①，当x∈(3,4)时，
f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(4,5)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以①错误；
对于②，当x∈时，
f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈(2,3)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以②错误；
对于③，当x∈(－2,2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以③正确；
对于④，当x∈(－2,2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，故当x＝－时，
f 不是极大值，所以④错误；
对于⑤，由②知当x＝2时，函数y＝f(x)取得极大值，所以⑤正确．
跟踪训练1 A [由图象，设y＝f′(x)的图象与x轴负半轴的两个交点的横坐标分别为c，d，其中c所以此时函数f(x)在(－∞，c)，(d，b)上单调递增，
在(c，d)上，f′(x)<0，
此时f(x)在(c，d)上单调递减，
所以x＝c时，函数取得极大值，x＝d时，函数取得极小值．
则函数y＝f(x)的极小值点的个数为1.]
例2 解 (1)函数f(x)的定义域为R.
f′(x)＝3x2－6x－9，
令f′(x)＝0，
即3x2－6x－9＝0，
解得x1＝－1，x2＝3.
当x变化时，f(x)，
f′(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
故当x＝－1时，
函数y＝f(x)有极大值，
且f(－1)＝10；
当x＝3时，函数y＝f(x)有极小值，
且f(3)＝－22.
(2)f(x)＝x－aln x的定义域为(0，＋∞)，
由f′(x)＝1－＝，x>0，知
①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上单调递增，函数f(x)无极值；
②当a>0时，由f′(x)＝0，
解得x＝a.
又当x∈(0，a)时，f′(x)<0，
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．
跟踪训练2 解 (1)函数f(x)的定义域为R.
令f′(x)＝0，得3x2－1＝0，
解得x＝－或x＝.
当x变化时，f(x)和f′(x)变化情况如下表：
x －
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 单调递增 单调递减 － 单调递增
所以f(x)在x＝－处取得极大值，在x＝处取得极小值－.
(2)函数f(x)的定义域为R，
f′(x)＝2xe－x＋x2·e－x·(－x)′＝2xe－x－x2·e－x＝x(2－x)e－x.
令f′(x)＝0，得x(2－x)·e－x＝0，
解得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) 单调递减 0 单调递增 4e－2 单调递减
因此当x＝0时，f(x)取得极小值，且极小值为f(0)＝0；
当x＝2时，f(x)取得极大值，
且极大值为f(2)＝4e－2＝.
例3 (1)4 －11
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
依题意得
即
解得或
但由于当a＝－3，b＝3时，
f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，
故f(x)在R上单调递增，不可能在x＝1处取得极值，
所以不符合题意，应舍去．
而当a＝4，b＝－11时，经检验知符合题意，
故a，b的值分别为4，－11.
(2)解 f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6.
因为函数f(x)在(1，＋∞)上有两个极值点，
所以f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)上与x轴有两个不同的交点，如图所示．
所以
解得m>3.
故实数m的取值范围是(3，＋∞)．
跟踪训练3
解析 ∵f(x)＝x3－4x＋4，
∴f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．
令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－2) －2 (－2，2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
∴当x＝－2时，函数取得极大值f(－2)＝；
当x＝2时，
函数取得极小值f(2)＝－.
且f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．
根据函数单调性、极值的情况，它的图象大致如图所示，
结合图象知－随堂演练
1．D 2.AB 3.D 4.2 －4