第五章　一元函数的导数及其应用 章末复习课 学案（含答案）

第五章　一元函数的导数及其应用
一、导数的几何意义与运算
1．此部分内容涉及导数的几何意义，基本初等函数求导法则、运算法则、复合函数求导，作为数形结合的桥梁，导数的几何意义成为最近几年高考的高频考点，主要考查切线方程及切点，与切线平行、垂直问题，常结合函数的切线问题转化为点到直线的距离，平行线间的距离问题，进而研究距离最值，难度中低档．
2．通过求切线方程的有关问题，培养数学运算、数学抽象等核心素养．
例1　(1)已知函数f(x)＝，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)等于(　　)
A. B.
C. D.
(2)曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为______________．
跟踪训练1　(1)已知曲线f(x)＝aln x＋x2在点(1,1)处的切线与直线x＋y＝0平行，则实数a的值为(　　)
A．－3 B．1 C．2 D．3
(2)设f′(x)是函数f(x)的导函数，若f(x)＝x·ln(2x－1)，则f′(1)＝________.
二、函数的单调性、极值、最值
1．利用导数研究函数的单调性、极值、最值，并能解决有关的问题，是最近几年高考的重点内容，难度中高档．
2．通过求函数的单调性、极值、最值问题，培养逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养．
例2　已知函数f(x)＝ex＋ax2－x.
(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；
(2)当x≥0时，f(x)≥x3＋1，求a的取值范围．
反思感悟　(1)利用导数判断函数的单调性是解决一切应用问题的基础，一般按照求导、通分、因式分解、分类讨论的思路研究函数的单调性，从而掌握函数图象的变化趋势，达到解决问题的目的．
(2)①极值点是f′(x)的变号零点，除了找f′(x)＝0的实数根x0外，还需判断f(x)在x0左侧和右侧的单调性．
②求函数最值时，不可想当然地认为极值就是最值，需通过比较端点值大小才能下结论．
跟踪训练2　(1)设函数f(x)＝＋ln x，则(　　)
A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
(2)函数f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1在区间[0,2π]上的最小值、最大值分别为(　　)
A．－， B．－，
C．－，＋2 D．－，＋2
三、与导数有关的综合性问题
1．以函数为背景的实际问题给高考数学提供了广阔的空间．导数是研究函数性质以及解决实际问题中的最大、最小值的强有力的工具， 多以选择题和填空题的形式出现，难度中低档．从近几年高考题看，利用导数研究方程的根、函数的零点、证明不等式这些知识点常考到，一般出现在解答题中．其实质就是利用求导数的方法研究函数的性质及图象，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解．一般出现在高考题解答题中，难度中高档．
2．通过利用导数解决实际问题，培养数学建模，解决函数方程问题，提升逻辑推理，直观想象及数学运算等核心素养．
例3　已知函数f(x)＝－ax2＋ln x(a∈R)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若存在x∈(1，＋∞)，使f(x)>－a，求a的取值范围．
跟踪训练3　某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
章末复习课
例1　(1)D　[根据题意，
知函数f(x)＝，
其导函数f′(x)＝
＝＝.]
(2)5x－y＋2＝0
解析　y′＝′
＝＝，
所以y′|x＝－1＝＝5，
所以切线方程为y＋3＝5(x＋1)，
即5x－y＋2＝0.
跟踪训练1　(1)A　[由f(x)＝aln x＋x2，得f′(x)＝＋2x，则曲线在点(1,1)处的切线斜率为k＝a＋2，由切线与直线x＋y＝0平行，可得k＝－1，即a＋2＝－1，解得a＝－3.]
(2)2
解析　因为f(x)＝x·ln(2x－1)，
所以f′(x)＝ln(2x－1)＋·(2x－1)′
＝ln(2x－1)＋，则f′(1)＝2.
例2　解　(1)当a＝1时，
f(x)＝ex＋x2－x，
f′(x)＝ex＋2x－1，
令φ(x)＝ex＋2x－1，
由于φ′(x)＝ex＋2>0，
故f′(x)单调递增，注意到f′(0)＝0，
故当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，
f(x)单调递减，
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，
f(x)单调递增．
(2)由f(x)≥x3＋1得，
ex＋ax2－x≥x3＋1，其中x≥0，
①当x＝0时，不等式为1≥1，显然成立，符合题意；
②当x>0时，分离参数a得，
a≥－，
记g(x)＝－，
g′(x)＝－，
令h(x)＝ex－x2－x－1(x≥0)，
则h′(x)＝ex－x－1，
令t(x)＝h′(x)，x≥0，
则t′(x)＝ex－1≥0，
故h′(x)单调递增，
h′(x)≥h′(0)＝0，
故函数h(x)单调递增，
h(x)≥h(0)＝0，
由h(x)≥0可得ex－x2－x－1≥0恒成立，
故当x∈(0,2)时，g′(x)>0，
g(x)单调递增；
当x∈(2，＋∞)时，g′(x)<0，
g(x)单调递减；
因此，g(x)max＝g(2)＝，
综上可得，a的取值范围是.
跟踪训练2　(1)D　[因为f(x)＝＋ln x，x>0，
所以f′(x)＝－＋，令f′(x)＝0，
即－＋＝＝0，解得x＝2.
当0当x>2时，f′(x)>0，
所以x＝2为f(x)的极小值点．]
(2)D　[f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1，x∈[0,2π]，则f′(x)＝－sin x＋sin x＋(x＋1)·cos x＝(x＋1)cos x，x∈[0,2π]．
令f′(x)＝0，解得x＝－1(舍去)，
x＝或x＝.
因为f ＝cos ＋sin ＋1＝2＋，
f ＝cos ＋sin ＋1＝－，
又f(0)＝cos 0＋(0＋1)sin 0＋1＝2，
f(2π)＝cos 2π＋(2π＋1)sin 2π＋1＝2，
所以f(x)max＝f ＝2＋，
f(x)min＝f ＝－.]
例3　解　(1)f′(x)＝－2ax＋＝，
当a≤0时，f′(x)>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝，
令f′(x)>0，得x∈；
令f′(x)<0，得x∈，
所以f(x)在上单调递增，
在上单调递减．
(2)由f(x)>－a，
得a(x2－1)－ln x<0，
因为x∈(1，＋∞)，所以－ln x<0，x2－1>0，
当a≤0时，a(x2－1)－ln x<0，
符合题意；
设g(x)＝a(x2－1)－ln x(x>1)，
则g′(x)＝>0，
当a≥时，
g(x)在(1，＋∞)上单调递增，
所以g(x)>g(1)＝0，不符合题意；
当00，
得x∈，
令g′(x)<0，得x∈，
所以g(x)min＝g则存在x∈(1，＋∞)，使g(x)<0，
综上，a的取值范围是.
跟踪训练3　解　(1)因为蓄水池侧面的建造成本为100·2πrh＝200πrh(元)，底面的建造成本为160πr2元，
所以蓄水池的总建造成本为(200πrh＋160πr2)元，
又200πrh＋160πr2＝12 000π，
所以h＝(300－4r2)，
所以V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．
因为r>0，又由h>0可得r<5，
故函数V(r)的定义域为(0,5)．
(2)因为V(r)＝(300r－4r3)，
所以V′(r)＝(300－12r2)．
令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(舍去)．
当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上单调递增；当r∈(5,5)时，V′(r)<0，故V(r)在(5,5)上单调递减．由此可知，V(r)在r＝5处取得极大值也为最大值，此时h＝8，
即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．