北京市海淀区名校2023-2024学年高二上学期数学期中试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．（2023高二上·海淀期中）如图，分别是长方体的棱的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高二上·海淀期中）直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023高二上·海淀期中）若抛物线的焦点坐标为，则其准线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023高二上·海淀期中）如图，已知四面体的所有棱长都等于分别是棱的中点．则与分别等于（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
5．（2021高二上·昌平期末）设椭圆的两个焦点为，，过点的直线交椭圆于A、B两点，如果，那么的值为（ ）
A．2 B．10 C．12 D．14
6．（2023高二上·海淀期中）抛物线上的点到其焦点的距离的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
7．（2022·西城模拟）若双曲线的焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023高二上·海淀期中）如图，在正方体中，点为棱的中点，点为面内一点，，则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9．（2023高二上·海淀期中）若经过点的直线与直线垂直，则 ．
10．（2023高二上·海淀期中）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则 ．
11．（2023高二上·海淀期中）已知两圆和相交，则圆与圆的公共弦所在直线的方程为 ．
12．（2023高二上·海淀期中）设分别是空间两直线的方向向量，则直线所成角的大小为 ．
13．（2023高二上·海淀期中）已知是直线上一点，且是直线的一个法向量，则直线的方程为 ．
14．（2023高二上·海淀期中）设点分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好是4个，则实数的一个取值可以为 ．
三、解答题（本大题共3小题，共30分）
15．（2023高二上·海淀期中）已知的三个顶点，求经过两边和的中点的直线的方程．
16．（2023高二上·海淀期中）已知直线与圆．
（1）若直线与圆相切，求实数的值；
（2）当时，直线与圆交于点，设为原点，求的面积．
17．（2023高二上·海淀期中）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成的角的余弦值．
四、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
18．（2023高二上·海淀期中）在空间直角坐标系中，已知点，若四点共面，则 ．
19．（2023高二上·海淀期中）已知双曲线的右焦点为，过点作轴的垂线在第一象限与双曲线及其渐近线分别交于两点．若点是线段的中点，则双曲线的离心率为 ．
20．（2022高二上·房山期中）如图，在长方体中，，，点在侧面上．若点到直线和的距离相等，则的最小值是 ．
21．（2023高二上·海淀期中）在平面直角坐标系中，到两个点和的距离之积等于4的轨迹记作曲线，对于曲线及其上一点，有下列四个结论：
①曲线关于轴对称；
②曲线上有且仅有一点，满足；
③曲线上所有的点的横坐标，纵坐标；
④的取值范围是．
其中，所有正确结论的序号是 ．
五、解答题（本大题共3小题，共34分）
22．（2023高二上·海淀期中）如图，直四棱柱中，底面是边长为1的正方形，点在棱上
（1）求证：；
（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得平面，并给出证明．
条件①：为的中点；
条件②：平面；
条件③：．
（3）若为的中点，且点到平面的距离为1，求的长度．
23．（2023高二上·海淀期中）已知椭圆的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，四边形的周长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点为椭圆的左焦点，点，过点作的垂线交椭圆于点，连接与交于点．试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．
24．（2023高二上·海淀期中）个有次序的实数所组成的有序数组称为一个维向量，其中称为该向量的第个分量．特别地，对一个维向量，若，称为维信号向量．设，则和的内积定义为，且．
（1）直接写出4个两两垂直的4维信号向量．
（2）证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量．
（3）已知个两两垂直的2024维信号向量满足它们的前个分量都是相同的，求证：．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平面向量加法运算
【解析】【解答】解：因为分别是长方体的棱的中点， 所以，
故答案为：D.
【分析】向量加法要首尾相连， 和不是首尾相连，因为，所以将平移到， 和，是首尾相连，直接用法向量的加法计算。
2．【答案】D
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解：
斜率等于倾斜角的正切值，倾斜角是.
故答案为：D.
【分析】J斜率等于倾斜角的正切值
3．【答案】C
【知识点】抛物线的标准方程
【解析】【解答】解：焦点坐标为，
故答案为：C.
【分析】 抛物线 的一次项为，所以焦点在轴上，.
4．【答案】A
【知识点】平面向量数乘的运算
【解析】【解答】解：因为 分别是棱的中点，所以，又因为 所有棱长都等于 ，
所以 ；
故答案为：A.
【分析】向量内积，将不共起点的向量，平移至共起点，等到两向量的夹角，在利用内积公式求解。
5．【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】椭圆中，，
，为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于，两点，
由椭圆定义知：，
，
。
故答案为：C．
【分析】利用椭圆的标准方程求出a的值，再利用，为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于，两点，再结合椭圆的定义和，从而求出 的值 。
6．【答案】B
【知识点】抛物线的应用
【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，焦点在x轴，所以准线方程为x=-1，
因为抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以顶点到准线x=-1的距离最小，最小值为1.
故答案为：B.
【分析】把到焦点的距离转化成到准线的距离即可求解.
7．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线的一条渐近线为，所以.
又有，解得：，
所以双曲线的方程为.
故答案为：A
【分析】 利用焦点坐标到渐近线的距离求出b，然后求解a，即可得到双曲线方程.
8．【答案】A
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：以点D为原点，DA，DC，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，
则
设
则
因为所以，
整理可得z=2x-1，
点Q到直线的距离为，点Q到直线的距离为，
所以，
故
故答案为：A
【分析】以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，求出点的坐标，利用求出z=2x-1，再利用三角形的面积公式求出面积即可求解，
9．【答案】
【知识点】斜率的计算公式；用斜率判定两直线垂直
【解析】【解答】解：， 直线，斜率为，。
故答案为：.
【分析】两直线垂直斜率相乘等于-1，已知 ，利用两点的求斜率为， 将直线化为斜截式。
10．【答案】1
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；用空间向量研究平面与平面的位置关系
【解析】【解答】解： 因为，所以平面的法向量与平面的法向量平行，即 ，
故答案为：1.
【分析】两个平面平行，它们所对应的法向量互相平行，所以等到.
11．【答案】
【知识点】相交弦所在直线的方程
【解析】【解答】解：因为两圆和相交，
所以直接用两圆方程作差，解得.
故答案为：.
【分析】两圆相交，有两个公共的交点，用两圆的标准方程作差即可.
12．【答案】
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：因为，
，
因为
所以则直线所成角的大小为.
故答案为：.
【分析】利用空间向夹角的公式的坐标运算公式即可求解.
13．【答案】
【知识点】直线的斜率；用斜率判定两直线垂直；直线的点斜式方程
【解析】【解答】解：因为直线的一个法向量 是，所以法向量的斜率为，
又因为直线与法向量垂直，所以斜率相乘等于-1，解得直线斜率为，又已知直线上的，
所以
故答案为：.
【分析】利用 法向量垂直于直线 即可求出直线斜率，.再利用点斜式方程即可求解.
14．【答案】0（答案不唯一）
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意可a=2，b=1，，
所以，
设P(x，y)，所以，
则，①
又点P在椭圆上，所以，②
①②联立可得，
又因为满足成立的点恰好有4个，所以，解得-2故答案为：0 （答案不唯一）
【分析】设出点P的坐标利用可得，他、由已知可得，求出m的范围即可求解.
15．【答案】解：设和的中点分别为，
因为，所以
（或求一点，斜率）所以直线的方程为：，
整理得：，
经过两边和的中点的直线的方程为．
【知识点】直线的两点式方程；平面内中点坐标公式
【解析】【分析】 先根据中点坐标公式求出D，E的坐标，再利用两点式方程求出DE的方程即可求解.
16．【答案】（1）解：圆的圆心C(2，-3)，半径r=3，
因为直线与圆相切 ，所以，解得 .
（2）解：当时直线，
点到直线的距离为．求得，
原点到直线的距离为，的面积为．
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】(1)利用圆心到直线的距离等于半径即可求解；
（2）先求出圆心到直线的距离为 ，再利用勾股定理求出 ，再求出原点O到直线l的距离 ，最后利用三角形面积公式即可求解.
17．【答案】（1）证明：因为四棱锥的底面是矩形，
所以，又因为平面平面，
所以平面
（2）解：以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
为的中点．
，
，
设平面的法向量为，
即
令，则
平面的法向量为，
，
平面与平面所成的角的余弦值．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)利用线面平行的判定定理即可求解；
(2)建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量夹角公式即可求解.
18．【答案】2
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解： 因为点
所以，
又因为四点共面，
可设，
即
解得.
故答案为：2
【分析】先求出的坐标，再设，列出方程组解得即可求解.
19．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由已知条件可得F（c，0），渐近线方程，
直线l的方程为x=c，
联立可得，
联立可得，
因为点是线段的中点，所以，所以c=2b，
所以.
故答案为：
【分析】先联立取出A，B的坐标，再利用中点坐标公式求出c=2b，结合即可求解.
20．【答案】
【知识点】两向量的和或差的模的最值；棱柱的结构特征
【解析】【解答】如图在面A1ABB1建立平面直角坐标系，
设P（x，y）．（0≤x≤2，0≤y≤2）
∵点P到直线AA1和CD的距离相等，，即x2=y2+1．
∴
∴当P（，1）时，A1P最小为.
故填.
【分析】建立平面直角坐标系，设P（x，y）根据点P到直线AA1和CD的距离相等得到x2=y2+1，结合，即可求解.
21．【答案】①②③
【知识点】函数的值域；基本不等式；平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解：设曲线上的点P(x，y)，则，化简可得
① 用-y替换y可得不变，故曲线关于x轴对称，所以①正确；
② 若则点p在线段AB的垂直平分线上，令x=0可得可得y=0，故②正确；
③ 令y=0可得解得，
由可得即，
令可得所以，故 ③ 正确；
④ 设P(x，y)则
，
故④ 错误.
故答案为： ①②③
【分析】先求出曲线的方程即可判断①，若则点P在y轴上，令x=0即可判断②，利用方程式的特点结合换元法即可判断③ ，利用两点间的距离公式，结合基本不等式即可判断④.
22．【答案】（1）解：连结．
由直四棱柱知，平面，
又平面，所以．
因为为正方形，所以．又，
所以平面．
又平面，所以．
（2）解：选条件①、条件③，可使平面．证明如下：设，连结．
又分别是的中点，所以．
因为，所以．
由（Ⅰ）知平面，所以．
又，所以平面．
（3）解：设．
因为两两垂直，
如图，以为原点，建立空间直角坐标系，则，所以．
设平面的法向量为，则即
令，则，于是．
点到平面的距离为
则，解得，所以．
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】(1) 由直四棱柱平面可得 ，再证明 ，由线面垂直的判定定理即可证明.
(2) 选条件①、条件③ 结合（1）即可证明.
(3)建立空间直角坐标系，求出 平面的法向量为利用点到面的距离公式即可求解.
23．【答案】（1）解：依题意可得：．解得．
所以椭圆的方程为．
（2）解：为定值1，理由如下：
由，显然斜率存在，，
当时，．
当时，直线过点且与直线垂直，则直线方程为．
由得．
显然．
设，则．
则中点．直线的方程为，
由得，所以为线段的中点，所以．综上为定值1．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)利用可得，再利用 四边形的周长为 可得，联立即可求解；
(2)由题意可得 ，分 ， 两种情况讨论，结合根与系数关系和一元二次方程即可求解.
24．【答案】（1）解：．
（2）解：假设存在14个两两垂直的14维信号向量，
将这14个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的内积不变，
不妨设，
有7个分量为
设的前7个分量中有个-1，则后7个分量中有个
，矛盾
不存在14个两两垂直的14维信号向量．
（3）解：任取，计算内积，将所有这些内积求和得到，则
设的第个分量之和为，则从每个分量的角度考虑，每个分量为的贡献为
．
【知识点】平面向量的综合题
【解析】【分析】(1)根据4维信号向量的定义，每个分量的模都是1，数量积为零即可.
(2)用反证法，假设存在14个两两垂直的14维信号向量 ，得到 有7个分量为， 可得与已知矛盾，可得假设不成立.
(3) 任取 ，可得 ，结合 即可求解.
1 / 1北京市海淀区名校2023-2024学年高二上学期数学期中试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．（2023高二上·海淀期中）如图，分别是长方体的棱的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量加法运算
【解析】【解答】解：因为分别是长方体的棱的中点， 所以，
故答案为：D.
【分析】向量加法要首尾相连， 和不是首尾相连，因为，所以将平移到， 和，是首尾相连，直接用法向量的加法计算。
2．（2023高二上·海淀期中）直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解：
斜率等于倾斜角的正切值，倾斜角是.
故答案为：D.
【分析】J斜率等于倾斜角的正切值
3．（2023高二上·海淀期中）若抛物线的焦点坐标为，则其准线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】抛物线的标准方程
【解析】【解答】解：焦点坐标为，
故答案为：C.
【分析】 抛物线 的一次项为，所以焦点在轴上，.
4．（2023高二上·海淀期中）如图，已知四面体的所有棱长都等于分别是棱的中点．则与分别等于（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】A
【知识点】平面向量数乘的运算
【解析】【解答】解：因为 分别是棱的中点，所以，又因为 所有棱长都等于 ，
所以 ；
故答案为：A.
【分析】向量内积，将不共起点的向量，平移至共起点，等到两向量的夹角，在利用内积公式求解。
5．（2021高二上·昌平期末）设椭圆的两个焦点为，，过点的直线交椭圆于A、B两点，如果，那么的值为（ ）
A．2 B．10 C．12 D．14
【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】椭圆中，，
，为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于，两点，
由椭圆定义知：，
，
。
故答案为：C．
【分析】利用椭圆的标准方程求出a的值，再利用，为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于，两点，再结合椭圆的定义和，从而求出 的值 。
6．（2023高二上·海淀期中）抛物线上的点到其焦点的距离的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】B
【知识点】抛物线的应用
【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，焦点在x轴，所以准线方程为x=-1，
因为抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以顶点到准线x=-1的距离最小，最小值为1.
故答案为：B.
【分析】把到焦点的距离转化成到准线的距离即可求解.
7．（2022·西城模拟）若双曲线的焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线的一条渐近线为，所以.
又有，解得：，
所以双曲线的方程为.
故答案为：A
【分析】 利用焦点坐标到渐近线的距离求出b，然后求解a，即可得到双曲线方程.
8．（2023高二上·海淀期中）如图，在正方体中，点为棱的中点，点为面内一点，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：以点D为原点，DA，DC，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，
则
设
则
因为所以，
整理可得z=2x-1，
点Q到直线的距离为，点Q到直线的距离为，
所以，
故
故答案为：A
【分析】以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，求出点的坐标，利用求出z=2x-1，再利用三角形的面积公式求出面积即可求解，
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9．（2023高二上·海淀期中）若经过点的直线与直线垂直，则 ．
【答案】
【知识点】斜率的计算公式；用斜率判定两直线垂直
【解析】【解答】解：， 直线，斜率为，。
故答案为：.
【分析】两直线垂直斜率相乘等于-1，已知 ，利用两点的求斜率为， 将直线化为斜截式。
10．（2023高二上·海淀期中）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则 ．
【答案】1
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；用空间向量研究平面与平面的位置关系
【解析】【解答】解： 因为，所以平面的法向量与平面的法向量平行，即 ，
故答案为：1.
【分析】两个平面平行，它们所对应的法向量互相平行，所以等到.
11．（2023高二上·海淀期中）已知两圆和相交，则圆与圆的公共弦所在直线的方程为 ．
【答案】
【知识点】相交弦所在直线的方程
【解析】【解答】解：因为两圆和相交，
所以直接用两圆方程作差，解得.
故答案为：.
【分析】两圆相交，有两个公共的交点，用两圆的标准方程作差即可.
12．（2023高二上·海淀期中）设分别是空间两直线的方向向量，则直线所成角的大小为 ．
【答案】
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：因为，
，
因为
所以则直线所成角的大小为.
故答案为：.
【分析】利用空间向夹角的公式的坐标运算公式即可求解.
13．（2023高二上·海淀期中）已知是直线上一点，且是直线的一个法向量，则直线的方程为 ．
【答案】
【知识点】直线的斜率；用斜率判定两直线垂直；直线的点斜式方程
【解析】【解答】解：因为直线的一个法向量 是，所以法向量的斜率为，
又因为直线与法向量垂直，所以斜率相乘等于-1，解得直线斜率为，又已知直线上的，
所以
故答案为：.
【分析】利用 法向量垂直于直线 即可求出直线斜率，.再利用点斜式方程即可求解.
14．（2023高二上·海淀期中）设点分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好是4个，则实数的一个取值可以为 ．
【答案】0（答案不唯一）
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意可a=2，b=1，，
所以，
设P(x，y)，所以，
则，①
又点P在椭圆上，所以，②
①②联立可得，
又因为满足成立的点恰好有4个，所以，解得-2故答案为：0 （答案不唯一）
【分析】设出点P的坐标利用可得，他、由已知可得，求出m的范围即可求解.
三、解答题（本大题共3小题，共30分）
15．（2023高二上·海淀期中）已知的三个顶点，求经过两边和的中点的直线的方程．
【答案】解：设和的中点分别为，
因为，所以
（或求一点，斜率）所以直线的方程为：，
整理得：，
经过两边和的中点的直线的方程为．
【知识点】直线的两点式方程；平面内中点坐标公式
【解析】【分析】 先根据中点坐标公式求出D，E的坐标，再利用两点式方程求出DE的方程即可求解.
16．（2023高二上·海淀期中）已知直线与圆．
（1）若直线与圆相切，求实数的值；
（2）当时，直线与圆交于点，设为原点，求的面积．
【答案】（1）解：圆的圆心C(2，-3)，半径r=3，
因为直线与圆相切 ，所以，解得 .
（2）解：当时直线，
点到直线的距离为．求得，
原点到直线的距离为，的面积为．
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】(1)利用圆心到直线的距离等于半径即可求解；
（2）先求出圆心到直线的距离为 ，再利用勾股定理求出 ，再求出原点O到直线l的距离 ，最后利用三角形面积公式即可求解.
17．（2023高二上·海淀期中）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成的角的余弦值．
【答案】（1）证明：因为四棱锥的底面是矩形，
所以，又因为平面平面，
所以平面
（2）解：以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
为的中点．
，
，
设平面的法向量为，
即
令，则
平面的法向量为，
，
平面与平面所成的角的余弦值．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)利用线面平行的判定定理即可求解；
(2)建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量夹角公式即可求解.
四、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
18．（2023高二上·海淀期中）在空间直角坐标系中，已知点，若四点共面，则 ．
【答案】2
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解： 因为点
所以，
又因为四点共面，
可设，
即
解得.
故答案为：2
【分析】先求出的坐标，再设，列出方程组解得即可求解.
19．（2023高二上·海淀期中）已知双曲线的右焦点为，过点作轴的垂线在第一象限与双曲线及其渐近线分别交于两点．若点是线段的中点，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由已知条件可得F（c，0），渐近线方程，
直线l的方程为x=c，
联立可得，
联立可得，
因为点是线段的中点，所以，所以c=2b，
所以.
故答案为：
【分析】先联立取出A，B的坐标，再利用中点坐标公式求出c=2b，结合即可求解.
20．（2022高二上·房山期中）如图，在长方体中，，，点在侧面上．若点到直线和的距离相等，则的最小值是 ．
【答案】
【知识点】两向量的和或差的模的最值；棱柱的结构特征
【解析】【解答】如图在面A1ABB1建立平面直角坐标系，
设P（x，y）．（0≤x≤2，0≤y≤2）
∵点P到直线AA1和CD的距离相等，，即x2=y2+1．
∴
∴当P（，1）时，A1P最小为.
故填.
【分析】建立平面直角坐标系，设P（x，y）根据点P到直线AA1和CD的距离相等得到x2=y2+1，结合，即可求解.
21．（2023高二上·海淀期中）在平面直角坐标系中，到两个点和的距离之积等于4的轨迹记作曲线，对于曲线及其上一点，有下列四个结论：
①曲线关于轴对称；
②曲线上有且仅有一点，满足；
③曲线上所有的点的横坐标，纵坐标；
④的取值范围是．
其中，所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②③
【知识点】函数的值域；基本不等式；平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解：设曲线上的点P(x，y)，则，化简可得
① 用-y替换y可得不变，故曲线关于x轴对称，所以①正确；
② 若则点p在线段AB的垂直平分线上，令x=0可得可得y=0，故②正确；
③ 令y=0可得解得，
由可得即，
令可得所以，故 ③ 正确；
④ 设P(x，y)则
，
故④ 错误.
故答案为： ①②③
【分析】先求出曲线的方程即可判断①，若则点P在y轴上，令x=0即可判断②，利用方程式的特点结合换元法即可判断③ ，利用两点间的距离公式，结合基本不等式即可判断④.
五、解答题（本大题共3小题，共34分）
22．（2023高二上·海淀期中）如图，直四棱柱中，底面是边长为1的正方形，点在棱上
（1）求证：；
（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得平面，并给出证明．
条件①：为的中点；
条件②：平面；
条件③：．
（3）若为的中点，且点到平面的距离为1，求的长度．
【答案】（1）解：连结．
由直四棱柱知，平面，
又平面，所以．
因为为正方形，所以．又，
所以平面．
又平面，所以．
（2）解：选条件①、条件③，可使平面．证明如下：设，连结．
又分别是的中点，所以．
因为，所以．
由（Ⅰ）知平面，所以．
又，所以平面．
（3）解：设．
因为两两垂直，
如图，以为原点，建立空间直角坐标系，则，所以．
设平面的法向量为，则即
令，则，于是．
点到平面的距离为
则，解得，所以．
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】(1) 由直四棱柱平面可得 ，再证明 ，由线面垂直的判定定理即可证明.
(2) 选条件①、条件③ 结合（1）即可证明.
(3)建立空间直角坐标系，求出 平面的法向量为利用点到面的距离公式即可求解.
23．（2023高二上·海淀期中）已知椭圆的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，四边形的周长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点为椭圆的左焦点，点，过点作的垂线交椭圆于点，连接与交于点．试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．
【答案】（1）解：依题意可得：．解得．
所以椭圆的方程为．
（2）解：为定值1，理由如下：
由，显然斜率存在，，
当时，．
当时，直线过点且与直线垂直，则直线方程为．
由得．
显然．
设，则．
则中点．直线的方程为，
由得，所以为线段的中点，所以．综上为定值1．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)利用可得，再利用 四边形的周长为 可得，联立即可求解；
(2)由题意可得 ，分 ， 两种情况讨论，结合根与系数关系和一元二次方程即可求解.
24．（2023高二上·海淀期中）个有次序的实数所组成的有序数组称为一个维向量，其中称为该向量的第个分量．特别地，对一个维向量，若，称为维信号向量．设，则和的内积定义为，且．
（1）直接写出4个两两垂直的4维信号向量．
（2）证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量．
（3）已知个两两垂直的2024维信号向量满足它们的前个分量都是相同的，求证：．
【答案】（1）解：．
（2）解：假设存在14个两两垂直的14维信号向量，
将这14个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的内积不变，
不妨设，
有7个分量为
设的前7个分量中有个-1，则后7个分量中有个
，矛盾
不存在14个两两垂直的14维信号向量．
（3）解：任取，计算内积，将所有这些内积求和得到，则
设的第个分量之和为，则从每个分量的角度考虑，每个分量为的贡献为
．
【知识点】平面向量的综合题
【解析】【分析】(1)根据4维信号向量的定义，每个分量的模都是1，数量积为零即可.
(2)用反证法，假设存在14个两两垂直的14维信号向量 ，得到 有7个分量为， 可得与已知矛盾，可得假设不成立.
(3) 任取 ，可得 ，结合 即可求解.
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