内蒙古包头市2024年九年级中考预测卷数学试题(含解析)

内蒙古2024年包头中考预测卷
数学试题
注意事项：
1.本试卷满分为120分，考试时间为120分钟.
2.答题前，考生务必先将自己的座位号、姓名等相关信息填写在答题卡的指定位置上.
3.本试卷分试题卷和答题卡，请将答案写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题无效，试题卷自行保留，只交答题卡.
4.答题用0.5毫米的黑色水笔，涂卡用2B铅笔，作图可先用铅笔画出，确认后再用0.5毫米的黑色水笔描清楚，要求字迹工整.严格按题号所示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效.
5.严禁折叠、破损，严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带，保持答题卡干净整洁.
一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
1.化简的结果是 ( )
A. B. C. D.
2.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是 ( )
A.|a|＜1 B.ab＞0 C.a-b＞0 D.1﹣a＞1
3.某校在体育健康测试中，有8名男生“引体向上”的成绩(单位：次)分别是：14，12，8，9，16，10，12，7，这组数据的中位数和众数分别是 ( )
A.10，12 B.12，11 C.12，12 D.11，12
4.一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积是 ( )
A. B.8 C. D.16
5.函数的自变量的取值范围是 ( )
A. B. C. D.，且
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.根据尺规作图痕迹，下列结论一定正确的是 ( )
A.BC＝EC B.BE＝EC C.BC＝BE D.AE＝EC
第6题图 第7题图 第10题图
7.如图，扇形AOB的圆心角是，半径是，点C为弧AB的中点，过点C作交OA于点D，过点B作交DC延长线于点E，则图中阴影部分面积为 ( )
A. B. C. D.
8.下列命题中：
方程有两个不相等的实数根；
不等式的最大整数解是2；
顺次连接对角线相等的四边形各边中点得到的四边形是矩形；
直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则它的外接圆的半径为.
其中是真命题的个数有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
9.关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，且以，，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则的值为 ( )
A.24 B.25 C.24或25 D.无法确定
10.如图，在平面直角坐标系中，动点A、B分别在x轴上和函数y=x的图像上，AB＝4，CB⊥AB，BC＝2，则OC的最大值为 ( )
A.2＋2 B.2＋4 C.2 D.2＋2
二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分)
11.将59800000用科学记数法表示为__________.
12.若关于的一元一次不等式组的解集是，则的取值范围是______.
13.化简：_________.
14.甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后结果如下表：
班级 参加人数 中位数 方差 平均数
甲 55 149 191 135
乙 55 151 110 135
某同学根据上表分析得出如下结论：(l)甲、乙两班学生成绩的平均水平相同；(2)乙班优秀(每分钟输入汉字超过150个为优秀)的人数多于甲班优秀的人数；(3)甲班的成绩波动比乙班的成绩波动小、上述结论中正确的是______.(填序号)
15.如图，已知AD是∠BAC的平分线，以线段AB为直径作圆，交∠BAC和角平分线于C，D两点过D向AC作垂线DE垂足为点E，若，则直径________.
第15题图 第16题图
16.如图，双曲线(为常数，)与矩形的边相交于点，与边相交于点，将沿翻折，点恰好落在轴上的点处.则点的坐标为________.
三、解答题：本大题共有7小题，共72分.请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置.
17.(本小题满分6分)计算：.
18.(本小题满分10分)A，B两家酒店规模相当，去年下半年的月盈利折线统计图如图所示.
(1)要评价这两家酒店7~12月的月盈利的平均水平，你选择什么统计量？求出这个统计量；
(2)已知A，B两家酒店7~12月的月盈利的方差分别为1.073(平方万元)，0.54(平方万元).根据所给的方差和你在(1)中所求的统计量，结合折线统计图，你认为去年下半年哪家酒店经营状况较好？请简述理由.
(本小题满分10分)如图，我国某海域有，两个港口，相距80海里，港口在港口的东北方向，
点处有一艘货船，该货船在港口的北偏西30°方向，在港口的北偏西75°方向，求货船与港口之间的距离.(结果保留根号)
20.(本小题满分12分)某经销商3月份用18000元购进一批T恤衫售完后，4月份用39000元购进单批相同的T恤衫，数量是3月份的2倍，但每件进价涨了10元.
(1)4月份进了这批T恤衫多少件？
(2)4月份，经销商将这批T恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价180元.甲店按标价卖出a件以后，剩余的按标价八折全部售出；乙店同样按标价卖出a件，然后将b件按标价九折售出，再将剩余的按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同.
①用含a的代数式表示b；
②已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值.
(本小题满分10分)如图，C，D为⊙O上两点，且在直径AB两侧，连结CD交AB于点E，G是上
一点，∠ADC=∠G. (1)求证：∠1=∠2；(2)点C关于DG的对称点为F，连结CF，当点F落在直径AB上时，CF=10，tan∠1=，求⊙O的半径.
22(本小题满分12分)
问题探究：小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，AD是中线，求AD的取值范围.她的做法是：延长AD到E，使，连接BE，证明，经过推理和计算使问题得到解决.请回答:
(1)小红证明的判定定理是：________________________；
(2)AD的取值范围是________________________；
方法运用：
(3)如图2，AD是的中线，在AD上取一点F，连结BF并延长交AC于点E，使，求证：.
(4)如图3，在矩形ABCD中，，在BD上取一点F，以BF为斜边作，且，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：.
(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于A，B两点，经
过A，B两点的抛物线与x轴的正半轴相交于点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若P为线段AB上一点，，求AP的长；
(3)在(2)的条件下，设M是y轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案
1.B 【解析】原式.故选：B.
2.D 【解析】由数轴上a与1的位置可知：|a|>1，故选项A错误，不符合题意；
因为a＜0，b＞0，所以ab<0，故选项B错误，不符合题意；
因为a＜0，b＞0，所以a-b<0，故选项C错误，不符合题意；
因为a＜0，所以1 a>1，故选项D正确，符合题意.
故选：D.
3.D 【解析】将这组数据按从小到大的顺序排列如下：7，8，9，10，12，12，14，16.共8个数据，所以第4个和第5个数的平均数是这组数据的中位数，所以中位数为.
∵12出现了2次是出现次数最多的数，
∴众数是12.
故选D.
4.B 【解析】如图，连接AC，BD，交于点O，
由图可知，，
∵四边形ABCD是正方形，
，
，
，
∴长方体的长和宽都是，高为4，
∴长方体的体积为，
故选：B.
5.A 【解析】函数的自变量的取值范围是：，故选A.
6.C 【解析】由作图可知，CD⊥AB，CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE，
∵∠ACB＝∠CDB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，∠B+∠DCB＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∵∠BEC＝∠A+∠ACE，∠BCE＝∠ECD+∠DCB，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BC＝BE，
故选：C.
7.B 【解析】连接，过作交于，作与，
点为弧的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
四边形是菱形，
，
，
，
，
.
故选：B.
8.A 【解析】方程，，无实数根，错误；
不等式的解集为，最大整数解是1，错误；
顺次连接对角线相等的四边形各边中点得到的四边形是矩形，说法错误，应为菱形；
直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则它的外接圆的半径为，正确；
故选：A.
9.C 【解析】①当6为底边时，则，
∴，
∴，
∴方程为，
解得：，
∵，
∴5，5，6能构成等腰三角形；
②当6为腰时，则设，
∴，
∴，
∴方程为，
∴，，
∵，
∴4，6，6能构成等腰三角形；
综上所述：或25.
故选：C.
10.A 【解析】作以B为圆心，以2为半径的圆，
当OC∥AB时最大，此时OC与圆B相切，
过B作BE⊥x轴于E，过A作AD⊥OC于D，
∵BC⊥AB，OC⊥BC，
∴四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=2，CD=AB=4，
点B在y=x上，点A在x轴上，
设A(n，0)，B(m，m)，
∵∠OAD+∠BAE=90°，∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠OAD=∠ABE，
又∠ODA=∠AEB=90°，
∴△AOD∽△BAE，
∴即，
∴
在RtABE中，
AE=m-n，
由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
∵2m4，
∴4m216，
，
在Rt△OAD中，
OD=，
，
，
，
，
，
，
∴OD，
OC=OD+DC=，
故选择：A.
11. 【解析】 .
故答案为：.
12. 【解析】解不等式3x-1＞x+3，得：x＞2，
∵不等式组的解集为，
∴a＞2，
故答案为：a＞2.
13. 【解析】
.
故答案为：.
14.(1)，(2) 【解析】从表中可知，平均字数都是135，(1)正确；
甲班的中位数是149，乙班的中位数是151，比甲的多，而平均数都要为135，说明乙的优秀人数多于甲班的，(2)正确；
甲班的方差大于乙班的，则说明乙班的波动小，所以(3)错误.
(1)(2)正确.
故答案为(1)(2).
15.10 【解析】连接，，，过点作于点，
，，
，
，
是的平分线，，，
，，
，
，
在中，设，则，
，解得：，
.
故答案为：10.
16.， 【解析】作轴于，
设，则，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，.
故答案为，.
17.
【分析】本题主要考查了整式的混合运算、积的乘方、单项式乘单项式等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键.根据整式的混合运算法则计算即可.
【解析】
解：
.(6分)
18.【解析】(1)选择两家酒店月营业额的平均数：
，.(5分)
(2)A酒店营业额的平均数比B酒店的营业额的平均数大，且B酒店的营业额的方差小于A酒店，说明B酒店的营业额比较稳定，而从图像上看A酒店的营业额持续稳定增长，潜力大，说明A酒店经营状况好.(10分)
19.22.【解析】过点作于点
根据题意，得，
∵，
∴，
∴，(3分)
在中，
∵，，
∴，
∵，
∴，(6分)
在中
∵，
∴
答：货船与港口之间的距离是海里.(10分)
20.【解析】(1)设3月份购进T恤x件，
由题意得：，解得x=150，
经检验x=150是分式方程的解，符合题意，
∵4月份是3月份数量的2倍，∴4月份购进T恤300件；(4分)
(2)①由题意得，甲店总收入为，
乙店总收入为，
∵甲乙两店利润相等，成本相等，∴总收入也相等，
∴=，
化简可得，∴用含a的代数式表示b为：；(7分)
②乙店利润函数式为，
结合①可得，
∵，，∴，∴=3900，即最大利润为3900元. (10分)
21.【解析】(1)∵∠ADC=∠G，∴，
∵AB为⊙O的直径，∴，
∴，∴，∴∠1=∠2；(3分)
(2)如图，连接OD、FD，
∵，，∴点C、D关于直径AB对称，
∴AB垂直平分CD，∴FC=FD，CE=DE=CD，∠DEB=90°，(6分)
∵点C关于DG的对称点为F，∴DG垂直平分FC，∴FD=CD，
又∵CF=10，∴FC=FD=CD=10，∴DE=CD=5，
∵在Rt△DEB中，tan∠1=，∴，∴，∴BE=2，(8分)
设OB=OD=x，则OE=x–2，
∵在Rt△DOE中，，
∴，解得：，
∴⊙O的半径为.(10分)
22.【解析】(1)如图，AD是中线，
在与中，，
故答案为：.(2分)
(2)
故答案为：.(4分)
(3)证明：延长至点，使，
∵是的中线，∴，
在和中，，
∴，∴，(6分)
又∵，∴，∴，
又∵，∴，∴，
又∵，∴.(8分)
(4)证明：延长至点使，连接、、，
∵G为的中点，∴，
在和中，，
∴，∴，(9分)
在中，∵，∴，
又矩形中，，
∴，∴，∴，(10分)
又，∴，∴，
又为的外角，∴，
即，
∵，
∴，
∴，即，(11分)
在和中，，∴，
又，∴，∴，
∵，
∴，∴是直角三角形，
∵G为的中点，∴，即.(12分)
23.【解析】(1)令，则，∴点B的坐标为(0，3)，
抛物线经过点B (0，3)，C (1，0)，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：；(4分)
(2)令，则，
解得：，
∴点A的坐标为(，0)，
∴OA=3，OB=3，OC=1，
，
∵，且，∴△PAO△CAB，
∴，即，∴；(8分)
(3)存在，(9分)
①当AP为平行四边形的边时.
过点P作PD⊥x轴于点D，
∵OA=3，OB=3，∠AOB=，∴∠BAO=∠ABO=，∴△PAD为等腰直角三角形，
∵，∴PD=AD=2，∴点P的坐标为(，2)，
当N在AB的上方时，过点N作NE⊥y轴于点E，如图，
∵四边形APMN为平行四边形，∴NM∥AP，NM=AP=，
∴∠NME=∠ABO=，∴△NME为等腰直角三角形，
∴Rt△NMERt△APD，∴NE=AD=2，
当时，，∴点N的坐标为(，3). (10分)
当N在AB的下方时，过点N作NF⊥y轴于点F，如图，
同理可得：Rt△NMFRt△APD，∴NF=AD=2，
当时，，∴点N的坐标为(，).(11分)
②当AP为平行四边形的对角线时，点N的坐标为(–4，).
综上，点N的坐标为(，3) 或(，) 或(–4，).(12分)