仁寿一中南校区2023级高一下入学考试
数学科试题
2024年3月6日
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出集合，再结合交集的定义求解即可.
【详解】因为，，
所以.
故选：A.
2. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据开偶数次发根号里的数大于等于零，分母不等于零计算即可.
【详解】由，
得，解得且，
所以函数的定义域为.
故选：D.
3. 命题“，”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题直接写出即可.
【详解】全称量词命题的否定为存在量词命题，
故命题“，”否定是“，”.
故选:D.
4. 用二分法求函数在内零点近似值的过程中，得到，则函数 的零点落在区间（ ）
A. B. C. D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据零点存在性定理，计算端点处函数值，即可求解.
【详解】由于 均为定义域内的单调递增函数，故在单调递增，
故存在，使得 ，
故选：B
5. 已知角的终边经过点， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由三角函数定义求得，再计算正切值．
【详解】由题意，解得，．
故选：C．
6. 一种药在病人血液中的量保持在以上，才有疗效；而低于，病人就有危险．现给某病人的静脉注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，那么距下次注射这种药物最多不能超过（ ）小时．（精确到，参考数据：）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意列出不等式，整理得指数不等式，再利用指数函数的单调性、指对关系，、换底公式和对数的运算性质，以及条件进行求解．
【详解】设应在病人注射这种药小时后再向病人的血液补充这种药，
依题意，可得，
整理，得，
则，
，
同理得，
解得：，
所以距下次注射这种药物最多不能超过7.0小时．
故选：C
7. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用对数函数的单调性及中间量和即可求解.
【详解】因为，函数在上单调递增，
所以，即.
又因为函数在上单调递增，
所以，即.
又因为，
所以.
故选：C.
8. 已知函数，若方程有六个相异实根，则实数的取值范围（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】令，则原函数方程等价为,作出函数f（x）的图象如图1：图象可知当由时，函数有3个交点，所以要使有六个相异实根，则等价为有两个根，，且，，令，则由根的分布（如图2）可得，即，即，解得，则实数的取值范围是，故选B.
点睛：本题考查复合函数零点的个数问题，以及二次函数根的分布，解决本题的关键是利用换元，将复合函数转化为我们熟悉的二次函数，换元是解决这类问题的关键；先将函数进行换元，转化为一元二次函数问题，同时利用函数的图象结合数形结合思想及一元二次函数根的分布问题，确定的取值范围
二、多选题
9. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据必要不充分条件的含义得，一一代入选项检验即可.
【详解】根据题意可知“”无法推出“”，但“”可以推出“”，
则，则ABC正确，D错误，
故选：ABC.
10. 若实数，，满足．以下选项中正确的有（ ）
A. 的最大值为
B. 的最小值为
C. 的最小值为
D. 的最小值为
【答案】AD
【解析】
【分析】利用基本不等式逐项进项检验即可求解.
【详解】因为实数，，所以（当且仅当时，也即时取等），整理可得：，故选项正确；
因为（当且仅当，也即时取等号），故选项错误；
因为，则有，
所以
（当且仅当，也即时取等号）因为，所以等号取不到，故选项错误；
因为，则有，
所以（当且仅当，也即时取等号），故选项正确，
故选：.
11. 已知函数的最小正周期为，则（ ）
A.
B. 是图象的一条对称轴
C. 在区间上单调递增
D. 在区间上的最小值为
【答案】AB
【解析】
【分析】利用函数的最小正周期为求出可判断A；代入法可判断B，利用余弦函数的单调性可判断C；根据的范围求出的值域可判断D.
【详解】对于A：因为函数的最小正周期为，
所以，可得，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，当时，，因为在单调递减，故C错误；
对于D，当时，，所以，
可得，故D错误.
故选：AB.
12. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（ ）
A. 的值域为
B. 定义域为
C.
D. 任意一个非零有理数， 对任意恒成立
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据分段函数的解析式和函数的性质逐一判断可得选项.
【详解】因为函数，所以的值城为，故A不正确；
因为函数，所以的定义域为，故B正确；
因为，所以，故C正确；
对于任意一个非零有理数，若x是有理数，则x+T是有理数；若x是无理数，则x+T是无理数，根据函数的解析式，任取一个不为零的有理数T，都有对任意恒成立，故D正确，
故选：BCD.
三、填空题
13. 幂函数的图像经过点，则_______.
【答案】
【解析】
【分析】
设幂函数，由条件求，再求的值.
【详解】设幂函数，
图像经过点，
，，
，
.
故答案为：3
【点睛】本题考查根据求幂函数的解析式和求值，意在考查基本公式，属于简单题型.
14. 化简求值：_________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据对数的运算算出答案即可.
【详解】
故答案为：2
15. 函数，的值域是______.
【答案】
【解析】
【分析】令，将函数转化为，利用二次函数的性质求解即可.
【详解】，令，
则函数为，故在上单调递增，在上单调递减，
又，，所以，
所以的值域为.
故答案为：
16. 已知函数（）的最小正周期不小于，且恒成立，则的值为____________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据的最小正周期不小于，得到，再根据，恒成立，得到的最大值为，可求出的值.
【详解】因为函数（）的最小正周期不小于，
所以，即，解得：，
因为恒成立，故的最大值为，
所以，所以，
因为，当时，.
故答案为：1.
四、解答题
17. 已知集合，，.
（1）求；
（2）若，求m的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出集合A，由交集和并集定义即可得出答案；
（2）由可得，讨论和，求解即可.
【小问1详解】
，
所以.
【小问2详解】
因为，所以，
若，则，解得：，
若，则，解得：，
所以m的取值范围为：.
18. 已知是第二象限角，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系化为关于的方程，根据所在的象限即可求解；
（2）根据诱导公式可得原式，分子分母同时除以即可求解.
【小问1详解】
由，
可得，即，
解得或.
因为是第二象限角，所以.
【小问2详解】
.
19. 已知函数.
（1）求函数的周期以及单调递增区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值及相应的值.
【答案】19. ，
20. 最大值为，相应的；最小值为，相应的.
【解析】
【分析】（1）利用正弦型函数的周期公式即可求解函数的周期；利用整体代入法和正弦函数的性质即可求出函数的单调增区间.
（2）利用整体代入法和正弦函数的性质即可求解.
【小问1详解】
由可得：函数的周期为.
令，
解得：，
∴的单调递增区间为，．
【小问2详解】
令，
因为，
所以.
所以当，即时，在区间上可取得最大值，最大值为；
当，即时，在区间上可取得最小值，最小值.
故在区间上最大值为，相应的；最小值为，相应的.
20. 在党的二十大胜利召开之际，某厂发行具有音频功能的《光辉历程》纪念册．生产该产品需要固定设备投资10万元，每生产x万册纪念册，投入生产成本万元，且每册纪念册售价30元，根据市场调查生产的纪念册能全部售出．
（1）求利润（万元）关于生产册数x（万册）的函数关系式；
（2）问生产多少册纪念册时，利润最大？并求出最大值．
【答案】（1）
（2）生产7万册纪念册时，利润最大，最大值为60万元．
【解析】
【分析】（1）根据所给条件用总销售收减去所有成本可得利用函数；
（2）根据利用函数，一段由二次函数性质得最大值，一段用基本不等式得最大值，再比较可得．
【小问1详解】
因为
所以
【小问2详解】
时，，时，最大值，
时，，当且仅当，即时等号成立．
综上，生产7万册纪念册时，利润最大，最大值为60万元．
21. 已知函数（且）的图象经过点和．
（1）求函数的解析式；
（2）令，求的最小值及取最小值时x的值．
【答案】（1）
（2）的最小值为，且取最小值时x的值为.
【解析】
【分析】（1）由求出，可得的解析式；
（2）化简得，再根据基本不等式和对数函数的单调性可求出结果.
【小问1详解】
依题意可得，解得，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，
所以，
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
又，所以，此时.
所以的最小值为，且取最小值时x的值为.
22 已知函数，．
（1）若为奇函数，求实数a的值；
（2）若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）由为奇函数，则，即可求出实数a的值；
（2）求出在区间的单调性，得到函数的最大值和最小值的差，由题意转化为一元二次不等式恒成立问题后求解.
【小问1详解】
∵是奇函数，，
∴，即，
即，∴．
【小问2详解】
，
在区间上单调递减，为增函数，
所以函数在区间上单调递减，
由题意得
即，即，
即，．
令，．
∵，∴．
∴函数在上递增，
当时，y有最小值，
∴实数a的取值范围是．仁寿一中南校区2023级高一下入学考试
数学科试题
2024年3月6日
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
3. 命题“，”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4. 用二分法求函数在内零点近似值过程中，得到，则函数 的零点落在区间（ ）
A. B. C. D. 不能确定
5. 已知角终边经过点， ，则（ ）
A. B. C. D.
6. 一种药在病人血液中量保持在以上，才有疗效；而低于，病人就有危险．现给某病人的静脉注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，那么距下次注射这种药物最多不能超过（ ）小时．（精确到，参考数据：）
A. B. C. D.
7. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，若方程有六个相异实根，则实数的取值范围（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（ ）
A. B. C. D. 2
10. 若实数，，满足．以下选项中正确的有（ ）
A. 的最大值为
B. 的最小值为
C. 的最小值为
D. 的最小值为
11. 已知函数的最小正周期为，则（ ）
A.
B. 是图象的一条对称轴
C. 区间上单调递增
D. 在区间上的最小值为
12. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（ ）
A. 的值域为
B. 的定义域为
C.
D. 任意一个非零有理数， 对任意恒成立
三、填空题
13. 幂函数的图像经过点，则_______.
14. 化简求值：_________．
15. 函数，的值域是______.
16. 已知函数（）的最小正周期不小于，且恒成立，则的值为____________．
四、解答题
17. 已知集合，，.
（1）求；
（2）若，求m的取值范围.
18. 已知是第二象限角，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
19. 已知函数.
（1）求函数的周期以及单调递增区间；
（2）求在区间上最大值和最小值及相应的值.
20. 在党的二十大胜利召开之际，某厂发行具有音频功能的《光辉历程》纪念册．生产该产品需要固定设备投资10万元，每生产x万册纪念册，投入生产成本万元，且每册纪念册售价30元，根据市场调查生产的纪念册能全部售出．
（1）求利润（万元）关于生产册数x（万册）的函数关系式；
（2）问生产多少册纪念册时，利润最大？并求出最大值．
21. 已知函数（且）的图象经过点和．
（1）求函数的解析式；
（2）令，求的最小值及取最小值时x的值．
22. 已知函数，．
（1）若为奇函数，求实数a的值；
（2）若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．
