行知中学高二数学
一 填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1. 已知函数，则曲线在点处的切线方程是_______．
【答案】
【解析】
【分析】求导，x=0代入求k，点斜式求切线方程即可
【详解】则又
故切线方程为y=x+1
故答案为y=x+1
【点睛】本题考查切线方程，求导法则及运算，考查直线方程，考查计算能力，是基础题
2. 函数在上的最大值为______.
【答案】2
【解析】
【分析】先对函数求导，研究其在给定区间的单调性，求出极值，从而可得出最值.
【详解】因为，所以，
由得或；由得；
又
即函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，函数有极大值；
当时，函数有极小值；
又当时，；当时，，
因此函数在上最大值为.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查由导数的方法求函数的最值，属于基础题型.
3. 已知函数的导函数为，若，，则不等式的解集为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得解.
【详解】构造函数，则该函数的定义域为，且，
所以，，则函数在上为增函数，
由可得，即，解得.
因此，不等式的解集为.
故答案为：.
4. 已知函数的导函数为，且满足关系式，则______.
【答案】
【解析】
【分析】求导即得解.
【详解】解：由题得
所以.
故答案为：
5. 已知函数，若，则______.
【答案】－1
【解析】
【分析】根据题意，由导数的定义可得，计算即可得出结果.
【详解】根据题意，由导数的定义可得
，
.
故答案为：－1.
6. 已知存在，使得成立，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】存在，使得成立，即，通过导数求的最大值．
【详解】令，则
令，则
在上单调递增，在上单调递减
∴，即
故答案为：．
7. 已知，若在区间上存在，使得成立，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】由题知，函数在区间不是单调函数，进而转化为在上有解问题求解即可.
【详解】解：，
因为在区间上存在，使得成立，
所以函数在区间不是单调函数，
所以在上有解，
所以在上有解，
所以.
所以，实数a的取值范围是.
故答案为：
8. 若函数存在单调递增区间，则的取值范围是___.
【答案】
【解析】
【分析】将题意转化为：，使得，利用参变量分离得到，转化为
，结合导数求解即可．
【详解】，其中，则．
由于函数存在单调递增区间，则，使得，
即，，构造函数，则．
，令，得．
当时，；当时，．
所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，则，
所以，，故答案为．
【点睛】本题考查函数的单调性与导数，一般来讲，函数的单调性可以有如下的转化：
（1）函数在区间上单调递增，；
（2）函数在区间上单调递减，；
（3）函数在区间上存在单调递增区间，；
（4）函数在区间上存在单调递减区间，；
（5）函数在区间上不单调函数在区间内存在极值点．
9. 已知函数f（x）=ex-2x+a有零点，则a的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据零点定义，分离出 ，构造函数，通过研究的值域来确定 的取值范围．
【详解】根据零点定义，则
所以
令
则，令
解得
当时，，函数单调递减
当时，，函数单调递增
所以当时取得最小值，最小值为
所以由零点的条件为
所以，即的取值范围为
【点睛】本题考查了函数零点的意义，通过导数求函数的值域，分离参数法的应用，属于中档题．
10. 已知函数，当时，函数有极值，则函数在上的最大值为_________.
【答案】13
【解析】
【分析】
由题可得在的导数值等于0，可求得，再根据导数讨论函数的单调性，即可求出最值.
详解】，当时，函数有极值，
，解得，
，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
在处取得极大值，
且，，
在上的最大值为13.
故答案为：13.
【点睛】方法点睛：利用导数求函数在闭区间上最值的方法：
（1）先求出函数的导数；
（2）根据导数的正负判断函数的单调性；
（3）求出极值，端点值，即可判断出最值.
11. 已知函数，其导函数的图像经过点、.如图，则下列说法正确的是______
①当时，函数取得最小值；
②有两个极值点;
③当时函数取得极小值；
④当时函数取得极大值；
【答案】②③④
【解析】
【分析】由导函数的图像判断出函数f(x)的单调性，从而得到极值的情况，即可得到正确答案.
【详解】由图象可知,当时,;当时, ;当时, .
所以函数f(x)在上单增，在上单减，在上单增，无最大最小值，所以①错；f(x)有两个极值点1和2，且当x=2时函数取得极小值，当x=1时,函数取得极大值，所以②③④正确.
故答案为：②③④.
12. 设函数，若存在的极大值点满足，则实数的取值范围是__________;
【答案】
【解析】
【分析】求出函数的导数，即可得到函数的单调区间，从而求出以及的值，得到关于的不等式，解出即可．
【详解】解：因为
所以，
令，解得或，
令，解得，
故在单调递增，在单调递减，在单调递增，
故是的极大值点，即，
而，
故，即，
即，
解得：，
故答案为：．
二 选择题（本大题共4题，满分20分）
13. 函数，正确的命题是
A. 值域为 B. 在 是增函数
C. 有两个不同的零点 D. 过点的切线有两条
【答案】B
【解析】
【分析】利用导数研究函数值域、单调性、零点与切线.
【详解】因为，所以，
因此当时在上是增函数，即在上是增函数；
当时在上是减函数，因此；值域不为R;
当时,当时只有一个零点，即只有一个零点；
设切点为，则，所以过点的切线只有一条；
综上选B.
【点睛】本题考查利用导数研究函数值域、单调性、零点与切线，考查基本分析求解能力，属中档题.
14. 已知函数，那么下列说法正确的是（ ）
A. 在点处有相同的切线
B. 函数有两个极值点
C. 对任意恒成立
D. 的图象有且只有两个交点
【答案】D
【解析】
【分析】结合切线的斜率、极值点、不等式恒成立、函数图象的交点对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】A选项，，，，所以A选项错误.
B选项，令，
，
所以在区间递减；在区间递增.
所以有极小值也即是有最小值，无极大值，无最大值，函数有个极值点，
，，
，
所以有个零点，也即的图象有且只有两个交点，
所以BC选项错误，D选项正确.
故选：D
15. 函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的解析式，利用，分别排除A、B、D项，即可求解.
【详解】由题意，函数，
因为，即函数的图象过点，可排除A、B项；
又因为，可排除D项，
故选：C
16. 已知函数，若的零点都在区间内，当取最小值时，则等于（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】先求得函数是单调递增函数，并用零点存在性定理求得函数零点所在的区间，零点向右移个单位后得到的零点，即可求解.
【详解】依题意，
当时，根据等比数列求和公式，有，
故函数在上为增函数．，
故函数零点在区间内，
所以零点在内，
故当取最小值时，
所以.
故选：C
三 解答题（本大题共有5题，满分76分）
17. 已知的图象在处的切线与直线平行．
（1）求函数的极值；
（2）若，，，求实数的取值范围．
【答案】（1）极大值为，无极小值；（2），．
【解析】
【分析】(1)可利用导数的几何意义求出a的值,然后利用函数导数得到函数的单调性,求得函数的极值;
(2)所给不等式含有两个变量,通过变形使两个变量分别在不等式两侧,然后构造新函数g(x),转化为函数的单调性即可求解m的范围.
【详解】（1）的导数为，
可得的图象在，（1）处的切线斜率为，
由切线与直线平行，可得，
即，，
，
由，可得，由，可得，
则在递增，在递减，
可得在处取得极大值为，无极小值；
（2）可设，若，，
，可得，
即有，
设在为增函数，
即有对恒成立，
可得在恒成立，
由的导数为得：
当，可得，
递减，在，递增，
即有在处取得极小值，且为最小值，
可得，
解得，
则实数的取值范围是，．
【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求解参数的值和范围,属于中等难度题型,第一问解题中关键是导数几何意义的应用;第二问中关键是将不等式转化,然后构造新函数,再利用新函数的单调性求解参数m的范围.
18. 已知.
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）当时，求函数的单调区间.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由导数的几何意义求解，
（2）由导数与单调性的关系求解，
【小问1详解】
当时，，，
所以，.
所以函数在点处的切线方程为.
【小问2详解】
因为，定义域为，
所以.
①当时，与在上的变化情况如下：
1
+ 0 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以函数在及内严格增，在内严格减；
②当时， 恒成立，所以函数的单调增区间为.
综上，当时，函数单调增区间为及，单调减区间为；
当时，函数单调增区间为.
19. 已知函数,其中.
（1）求函数在点的切线方程;
（2）函数是否存在极值点,若存在求出极值点,若不存在,请说明理由;
（3）若关于的不等式在区间上恒成立,求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）,不存在极值点;,存在一个极小值点,无极大值点
（3）
【解析】
【分析】(1)对求导,求出切点斜率,再根据切点求出切线方程即可;
(2)令,对进行求导,再讨论及时导函数的正负及极值点即可;
(3)将代入,先讨论时的取值范围,再全分离,构造新函数,求导求单调性求最值,即可得出的取值范围.
【小问1详解】
解:由题知,
,
所以在点的切线方程为,
即;
【小问2详解】
设,定义域,
,
当时,恒成立,
所以在单调递增,
所以不存在极值点,
当时,令，
当时,，
当时,，
所以在单调递减,在单调递增,
所以函数存在一个极小值点,无极大值点,
综上:时,不存在极值点,
时,存在一个极小值点,无极大值点;
【小问3详解】
由题知原不等式,
可化为,
当时,恒成立,
当时,
即,
由(2)知在有最小值,
所以,
,
,
,
,
即,
,,
综上: .
【点睛】方法点睛:该题考查导数的综合应用，属于难题，关于恒成立问题的方法如下:
(1)若，恒成立，则只需;
(2) 若，恒成立，则只需;
(3) 若，恒成立，则只需;
(4) 若，恒成立，则只需;
(5) 若，恒成立，则只需;
(6) 若，恒成立，则只需;
(7) 若，恒成立，则只需;
(8) 若，恒成立，则只需.
20. 已知函数，.
（1）判断函数的奇偶性；
（2）若函数在处有极值，且关于x的方程有3个不同的实根，求实数m的取值范围；
（3）记（是自然对数的底数）.若对任意、且时，均有成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）时，为偶函数；时，为非奇非偶函数
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的性质以及奇偶函数的定义，即可判断；
（2）根据极值，求出，得到，利用导数的性质，判断有3个不同的实根时，的取值范围；
（3）根据的单调性，问题转化为，整理得，，分别判断函数和函数在上的单调性，根据不等式恒成立的性质，分离参数，即可求出的取值范围.
【小问1详解】
，因为的对称轴为，故当时，的对称轴为轴，此时为偶函数；时，为非奇非偶函数.
【小问2详解】
在处有极值，因为，则，故，得；
，此时，，
故和上，单调递增，上，单调递减，
因为关于x的方程有3个不同的实根，根据导数的性质，当时，满足题意，得，故
【小问3详解】
，单调递减，对任意、且时，
，，
则对任意、且时，均有成立，
转化为，对任意、且时，均有成立，即
，
所以，函数在上单调递减，函数在上单调递增，
①函数在上单调递减，即在上恒成立，
又因为，，，故，
得在上恒成立，令，，令，得，所以，在上单调递增，在上单调递减，故，故；
②函数在上单调递增，即在上恒成立，
又因为，，，故，得
在上恒成立，因为函数在上为单调递增函数，故，此时，；
综上所述，实数的取值范围为：.
21. 若函数同时满足下列两个条件，则称在上具有性质．
①在上的导数存在；
②在上的导数存在，且（其中）恒成立．
（1）判断函数在区间上是否具有性质？并说明理由．
（2）设、均为实常数，若奇函数在处取得极值，是否存在实数，使得在区间上具有性质？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
（3）设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值．
【答案】（1）函数在区间上具有性质；
（2）存在实数，使得在区间上具有性质，的取值范围是；
（3）的最大值为.
【解析】
【分析】（1）令，按照题目所给定义，求出和，并判断是否恒成立即可；
（2）先利用为奇函数且在处取得极值求出实数，的值，再按照题目所给定义，求出，即可求出的取值范围；
（3）分离参数得，构造函数，通过的最小值，即可确定正整数的最大值.
【小问1详解】
令，，
则，，
，，
当时，恒成立，
∴函数在区间上具有性质；
【小问2详解】
∵，
∴，
∵在处取得极值，且为奇函数，
∴在处也取得极值，
∴，解得，
∴， ，
当时，令，解得；令，解得；
故在单调递减，在单调递增，满足在处取得极值，
∴，
当时，恒成立，
∴存在实数，使在区间上恒成立，
∴存在实数，使得在区间上具有性质，的取值范围是；
【小问3详解】
∵，
∴，
令，
则，
令，
则，
当时，，在区间上单调递增，
又∵，，
∴存在，使，
∴当时，，，在区间上单调递减，
当时，，，在区间上单调递增，
∴当时，的最小值为，
由，有，
∴，
∵，∴，
又∵恒成立，
∴，
∵且，
∴的最大值为.
【点睛】关键点点睛：本题中存在无法求解零点，使用了虚设零点的方法，设，再通过的代换，求得的最小值，这种方法，是解决“隐零点”的常用方法之一.行知中学高二数学
一 填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1. 已知函数，则曲线在点处的切线方程是_______．
2. 函数在上的最大值为______.
3. 已知函数的导函数为，若，，则不等式的解集为__________.
4. 已知函数的导函数为，且满足关系式，则______.
5. 已知函数，若，则______.
6. 已知存在，使得成立，则实数取值范围是__________．
7. 已知，若在区间上存在，使得成立，则实数a的取值范围是________．
8. 若函数存在单调递增区间，则的取值范围是___.
9. 已知函数f（x）=ex-2x+a有零点，则a的取值范围是___________．
10. 已知函数，当时，函数有极值，则函数在上的最大值为_________.
11. 已知函数，其导函数的图像经过点、.如图，则下列说法正确的是______
①当时，函数取得最小值；
②有两个极值点;
③当时函数取得极小值；
④当时函数取得极大值；
12. 设函数，若存在的极大值点满足，则实数的取值范围是__________;
二 选择题（本大题共4题，满分20分）
13. 函数，正确的命题是
A. 值域为 B. 在 是增函数
C. 有两个不同的零点 D. 过点的切线有两条
14. 已知函数，那么下列说法正确的是（ ）
A. 在点处有相同的切线
B. 函数有两个极值点
C. 对任意恒成立
D. 图象有且只有两个交点
15. 函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
16. 已知函数，若的零点都在区间内，当取最小值时，则等于（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
三 解答题（本大题共有5题，满分76分）
17. 已知的图象在处的切线与直线平行．
（1）求函数的极值；
（2）若，，，求实数的取值范围．
18 已知.
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）当时，求函数单调区间.
19. 已知函数,其中.
（1）求函数在点的切线方程;
（2）函数是否存在极值点,若存在求出极值点,若不存在,请说明理由;
（3）若关于的不等式在区间上恒成立,求实数的取值范围.
20 已知函数，.
（1）判断函数的奇偶性；
（2）若函数在处有极值，且关于x的方程有3个不同的实根，求实数m的取值范围；
（3）记（是自然对数的底数）.若对任意、且时，均有成立，求实数a的取值范围.
21. 若函数同时满足下列两个条件，则称在上具有性质．
①在上的导数存在；
②在上的导数存在，且（其中）恒成立．
（1）判断函数在区间上是否具有性质？并说明理由．
（2）设、均为实常数，若奇函数在处取得极值，是否存在实数，使得在区间上具有性质？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
（3）设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值．
