第二十三章旋转单元复习题（含解析） 人教版九年级数学上册

人教版九年级数学上册第二十三章旋转单元复习题
一、选择题
1．如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD.若∠A＝2∠D＝100°，则∠α的度数是（　　）
A．50° B．60° C．40° D．30°
2． 下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．平面直角坐标系内，点关于原点对称点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
4．下面图形分别是绿色食品标志、节水、质量安全和循环回收，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，将绕点A逆时针旋转得到，点、分别为点、的对应顶点，若，且于点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB＝4，则BE的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点的坐标是，现将绕点按逆时针方向旋转，则旋转后点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，下列结论中，不成立的是 （　　）
A．OB=OB' B．∠ACB=∠A'B'C'
C．点 A 的对称点是点A' D．BC∥B'C'
9．将点绕原点逆时针旋转得到的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
10．五星红旗上的一个五角星图案如图所示，将图案绕五角星的中心至少旋转度能与自身重合，则为（　　）
A．108 B．90 C．72 D．60
二、填空题
11．小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称．如果小明家距学校3公里，那么他们两家相距　 　公里．
12．如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接，若，则的度数为　 　．
13．三个能够重合的正六边形的位置如图所示.已知点B的坐标为(-，3)，则点A的坐标为　 　.
14．如图，点A是抛物线对称轴上的一点，连接OA，以A为旋转中心将AO逆时针旋转90°得到AO′，当O′恰好落在抛物线上时，则三角形OAO′的面积为　 　．
三、解答题
15．如图，在中，，将以B为中心顺时针旋转90°，得到.求证：.
16．如图，△ADC和△EDB成中心对称，若△ADC的面积为4，求△ABE的面积
17． 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B顺时针旋转60°得到△CBD，若点B的坐标为(2，0)，求点C的坐标.
18．如图是4×4的正方形网格，请选取一个白色的正方形并涂上阴影，使图中阴影部分是一个中心对称图形．
19．如图，点，分别在正方形的边，上，且，把绕点顺时针旋转得到．
（1）求证：≌．
（2）若，，求正方形的边长．
20．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，．
（1）将绕点旋转，请画出旋转后对应的．
（2）将平移，使点的对应点的坐标为，点的对应点为，点的对应点为，请画出平移后对应的．
（3）与关于点　 　成中心对称．
21．如图，在平面坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，．正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度
（1）先将向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到，请画出；
（2）与关于原点对称，请画出并直接写出点的长度．
22．认真观察下列4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：
（1）请写出这四个图案都具有的两个共同特征；
（2）请在下图中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征.
23．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，以、为边作，点E为中点，连接、．
（1）分别求出线段和线段所在直线解析式；
（2）点P为线段上的一个动点，作点B关于点P的中心对称点F，设点P横坐标为a，用含a的代数式表示点F的坐标（不用写出a的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，
①当点F移动到的边上时，求点P坐标；
②M为中点，N为中点，连接、．请利用备用图探究，直接写出在点P的运动过程中，周长的最小值和此时点P的坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】根据旋转的意义，图片按逆时针方向旋转80°，可得∠AOC=80°，∠C=∠A，
∵∠A＝2∠D＝100°
∴∠A=100°，∠D=50°，
∴∠DOC=180°-∠C-∠D=30°，
∴∠a=∠AOC-∠DOC=50°
故答案为：A.
【分析】根据旋转的性质，可得∠AOC=80°，∠C=∠A，利用三角形内角和定理可求出∠DOC的度数，由∠a=∠AOC-∠DOC，即可求出∠α的度数.
2．【答案】C
【解析】【解答】A：，不是中心对称图形，不符合题意；B：，不是中心对称图形，不符合题意；C：，是中心对称图形，符合题意；D：，不是中心对称图形，不符合题意；故答案为：C.
【分析】利用中心对称图形的定义进行逐一判断即可得出结论.
3．【答案】C
【解析】【解答】解： 点关于原点对称点的坐标是 .
故答案为：C.
【分析】关于原点对称点的坐标特征：横纵坐标分别互为相反数.
4．【答案】A
【解析】【解答】轴对称图形： 一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合。由此可知A正确。
故答案为：A。
【分析】掌握轴对称图形概念是解题关键。轴对称图形： 一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合。
5．【答案】B
【解析】【解答】解：根据旋转定义可知：∠BAF=45°，∠C=∠E=80°，
∵AD⊥BC于点F，
∴∠AFC=90°，
∴∠CAF=10°，
∴∠BAC=∠BAF+∠CAF=45°+10°=55°。
故答案为：B。
【分析】首先根据旋转性质得出∠BAF=45°，∠C=∠E=80°，然后根据三角形内角和定理求得∠CAF=10°，进而即可得出∠BAC=∠BAF+∠CAF°=55°。
6．【答案】B
【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，
∴ ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
故答案为：B．
【分析】根据旋转的性质可得 ， ，故 为等边三角形，即可求解．
7．【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意作图，
如图所示，旋转后的点A坐标是（-1，-4）
故答案为：B
【分析】掌握旋转作图，在准确作图的基础上可以直接读取坐标；也可以通过计算：由A、B两点的坐标找到直线AB的斜率，由垂直的两条直线的斜率乘积是-1这一关系式得到旋转后AB的斜率，代入B的坐标可以得出解析式，再设出坐标，根据两点间距离列出方程求解。
8．【答案】B
【解析】【解答】解：∵ △ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称 ，
∴ OB=OB' ， ∠ACB=∠A'C'B'， 点A的对称点是点A' ， BC∥B'C' ，
故A、C、D正确，B错误.
故答案为：B.
【分析】根据中心对称的性质逐一判断即可.
9．【答案】B
10．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意得该图案旋转角的度数为72°的倍数，
∵108，90，60均不是72的倍数，
∴72为72的倍数，
故答案为：C
【分析】根据旋转即可得到该图案旋转角的度数为72°的倍数，再结合题意即可求解。
11．【答案】6
【解析】【解答】解：∵小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称，
∴小明、小辉两家到学校距离相等，
∵小明家距学校3公里，
∴他们两家相距：6公里．
故答案为：6．
【分析】根据中心对称图形的性质可得答案。
12．【答案】
【解析】【解答】解：∵△ABC绕点B逆时针旋转48°得到△DBE，
∴BC=BE，∠CBE=48°，∠ABD=48°，∠BCE=∠BEC，
∴∠BCE=∠BEC==66°，
∵EC∥AB，
∴∠CBA=∠ECB=66°，
∴∠CBD=∠CBA-∠ABD=18°.
故答案为：18°.
【分析】根据旋转的性质可得BC=BE，∠CBE=48°，∠ABD=48°，∠BCE=∠BEC，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠BCE的度数，然后由平行线的性质求出∠CBA的度数，再根据角的构成计算即可求解.
13．【答案】(，-3)
【解析】【解答】解：由题意知：点A和点B关于原点对称，
∵
∴
故答案为：.
【分析】由题意知：点A和点B关于原点对称，根据点关于原点对称的坐标特征：横纵坐标互为相反数，据此即可求解.
14．【答案】2.5或4
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝x2-4x，
∴对称轴为直线x＝2，
∴设点A坐标为（2，a），
如图，过点A作AP⊥y轴于点P，过点O′作O′Q⊥直线x＝2于点Q，再连接OO′，
∴∠APO＝∠AQO′＝90°，
∴∠QAO′+∠AO′Q＝90°，
∵以A为旋转中心将AO逆时针旋转90°得到AO′，
∵∠QAO′+∠OAQ＝90°，
∴∠AO′Q＝∠OAQ，
∵AQ∥PO，
∴∠OAQ＝∠AOP，
∴∠AO′Q＝∠AOP，
∴△AOP≌△AO′Q（AAS），
∴AP＝AQ＝2，PO＝QO′＝a，
∴点O′（2+a，a-2），
当O′恰好落在抛物线上时，
∴a-2＝（2+a）2-4（2+a），
解得：a＝-1或a＝2，
∴点A（2，-1）或（2，2），
∴AO=AO′=或AO=AO′=2，
∴S△OAO′=AO2=×5=2.5；或S△OAO′=AO2=×8=4.
故答案为：2.5或4.
【分析】根据抛物线对称轴解析式求出对称轴，设点A坐标为（2，a），过点A作AP⊥y轴于点P，过点O′作O′Q⊥直线x＝2于点Q，再连接OO′，利用“AAS”定理证△AOP≌△AO′Q，可得得AP＝AQ＝2、PO＝QO′＝a，从而可得点O′（2+a，a-2），将点O′坐标代入抛物线解析式得到关于a的方程，解之可得a的值，再利用勾股定理求得AO的长，最后通过三角形面积公式计算，即可得解．
15．【答案】证明：由旋转知，.∵，∴，∴.
【解析】【分析】先根据旋转的性质得到，进而结合题意运用平行线的判定即可求解。
16．【答案】∵△ADC和△EDB成中心对称，△ADC的面积为4，
∴S△EDB=S△ADC =4，DB=DC，∴S△ABD=S△ADC=4，
∴S△ABE=S△EDB+S△ABD =4+4=8．
【解析】【分析】根据中心对称的性质和中线的定义可知AD平分三角形ABC,进而 求出△ABE的面积.
17．【答案】解：∵点B的坐标为(2，0)，∴OB=2，
∵直线y=x经过点A，AB⊥x轴于点B，∴y=2，
∴点A的坐标为(2，2)，∴AB=2，
由勾股定理得，OA==4，
∴∠OAB=30°，∠AOB=60°，
∵△ABO绕点B顺时针旋转60°得到△CBD，
∴∠C=30°，设AB与CD相交于点E，
∴∠BEC=90°=∠OBA，∴CD∥x轴，
在Rt△BEC中，BE=，
∴CE==3，
∴点C的横坐标为3+2=5，
∴点C的坐标为(5，).
【解析】【分析】根据题意发现旋转后DC平行于x轴，三角形底边DC上的高就是点C的纵坐标，且直角三角形中存在特殊角30°，结合图发现C的横坐标数量上分为两段，OB已知，勾股定理可求另一段，至此C的横坐标可求。
18．【答案】解：如图所示：
．
【解析】【分析】直接利用中心对称图形的性质得出涂阴影的位置．
19．【答案】（1）解：由旋转的性质得：
四边形ABCD是正方形
，即
，即
在和中，
；
（2）解：设正方形的边长为x，则
由旋转的性质得：
由（1）已证：
又四边形ABCD是正方形
则在中，，即
解得或（不符题意，舍去）
故正方形的边长为6．
【解析】【分析】（1）利用“SAS”证明即可；
（2）设正方形的边长为x，则，根据全等三角形的性质可得，再利用勾股定理可得，最后求出x的值即可。
20．【答案】（1）解：如图所示，即为所求．
（2）解：如图所示，即为所求．
（3）D
【解析】【解答】解：（3）连接C1C2，B1B2，其交点为D，即点D为对称中心。坐标为（-1，-2）
【分析】（1）在坐标系作出A，B，C关于原点O的对称点，依次连接即可求出答案。
（2）由点A到点A2：先向左平移两个单位，再向下平移4个单位；根据词平移方法平移B，C，再依次连接即可求出答案。
（3）连接A1A2，B1B2，其交点为D，即点D为对称中心。
21．【答案】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图，即为所求．
．
【解析】【分析】（1）利用平移的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）根据关于原点对称的点坐标的特征找出点A1、B1、C1的对应点，再连接并求出的长即可。
22．【答案】（1）解：特征1：都是轴对称图形；
特征2：都是中心对称图形；
特征3：这些阴影图案的面积都等于4个小正方形的面积；
（2）解：满足条件的图案有很多，这里画三个，三个都具有上述特征，如图所示：
【解析】【分析】（1）根据轴对称图形、中心对称图形的概念以及阴影部分的面积之间的关系进行解答；
（2）只要画出既是中心对称图形，又是轴对称图形，且面积为4的图形即可．
23．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∵四边形为平行四边形，，
∴，
∵点E为中点，
∴，
设所在直线的解析式为，
把，代入得：
，解得：，
∴所在直线的解析式为；
设所在直线解析式为，
把点，代入的：
，解得：，
∴所在直线解析式为．
（2）解：∵所在直线的解析式为，点P横坐标为a，
∴点，
设点，
∵点B和点F关于点P的中心对称点，
∴，
整理得：，
∴；
（3）解：①当点F在上时，
∵点F在上，
∴，解得，
∴；
当点F在上时，
∵，且F在上，
∴，解得：，
∴；
综上：或；
②周长最小值为；
∵，，
∴，
∵M为中点，N为中点，
∴，
过点E作轴于点Q，
∵，，
∴，
∴，则，
过点B作于点G，过点F作于点H，
∵点B和点F关于点P的中心对称点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
延长，过点C作于点I，
∵点E是中点，
∴，
∵，
∴，
∴，则，
∵，，
∴，
∵，，
∴设，
在中，根据勾股定理可得：，即，
解得：，
∴，
过点C作，
∵，，，
∴，
则点F在直线上运动，
作点N关于直线的对称点，
根据轴对称的性质以及平行线间的距离处处相等可得，
当点，F，M在同一条直线上时，，此时周长取最小值，
在中，根据勾股定理可得：，
∴周长最小值为；
∵，，，M为中点，N为中点，
∴，，
∵，，
∴是的中位线，则点H是中点，
∴，
过点G作于点H，
∵，，
∴，
∴
∵，
∴，即点P为中点，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可求得C（-8，6），再根据中点坐标公式，可求得E的坐标，从而根据点A、E的坐标可求得线段AE所在直线的解析式y=-x+2；根据点D、E的坐标可求得线段DE所在直线的解析式y=3x+18；
（2）因为点P在线段AE 上，所以可设P（a，-a+2），设F（x1，y1）因为B和F是关于点P的中心对称点，可知点P是BF的中点，根据中点坐标公式可求得x1=2a和y1=-2a-2，即可得出F（2a，-2a-2）；
（3）①点F移动到△ADE的边上时， 可分为两种情况：当点F在AD上时， 根据纵坐标为0，得出关于a的方程式，求得A的值；当点F在DE上时，根据DE的解析式为：y=3x+18，把点F（2a，-2a-2）代入y=3x+18中，可求得a的值；
②先根据平面直角坐标系两点间的距离公式可求得AE的长，根据中点定义可求得MN的长， 过点E作EQ⊥x轴于点Q， 根据点A、E的坐标可知△AEQ是等腰直角三角形， 过点B作BG⊥AE于点G，过点F作FH⊥AE于点H， 通过证明△BPG与△FPH全等，得出对应边BG=FH，延长AE，过点C作CL∥AE，可知点F在直线CL上运动，做点N关于CL的对称点N'，当点N'、F、M在同一条直线上时，△FMN的周长最小，即可求解；根据中点坐标公式，可求得M、N的坐标，再证明点H是MN的中点，可求得点H的坐标，求出G的坐标（-2，4），再根据P是GH中点，得出P点坐标，根据P（a，-a+2），列方程，即可求得a，进一步得出P点坐标即可。